数列求和的基本题型与解题方法
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数列求和的基本题型与解题方法
一、
分组求和法
（通项分解法）
< br>
如果通项能转化为等差数列与等比数列和（或差）
，即
a
n
b
n
c
n
例
1
、求数列
1
1
,
4
,
二、错位相减法<
/p>
如果通项能转化为等差数列
与等比数列的积，
一般适用于数列
a
n
b
n
的前
n
项
求和，<
/p>
其中
a
n
成等差，
1
a<
/p>
1
1
7
,
,
3
n
2
,
的前
n
< br>项和
S
n
.
< br>a
2
a
n
1
b
n
成等比，
即
a
n
b
n<
/p>
c
n
例
2
、求和
1
2
a
3
a
2
na
n
< br>
1
(
a
0
)
.
2
3
n
1<
/p>
S
1
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x
n<
/p>
求和：
三、倒序相加法
把数列正写和倒写再
相加，如等差数列前
n
项和公式的推导。
例
3
、
设
f
(
x
)
1
，
利
用
课
本
中
推
导
等
差
< br>数
列
前
n
项
和
的
公
式
的
方
法
，
可
求
得
x
2
2
f
(
5)
f
(
4)
< br>
f
(0)
f
(5)
f
(6)
四、裂项相消法：
通项是分式结构，
分母因式成等差数列关系，
可以把通项写成两项之差
a
n
=f(n+1)
－<
/p>
f(n)
，
然后累加
抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。
常见的裂项公式：
1
1
1
1
；
a
n<
/p>
a
n
1
d
a
n
a
n
1
1
1
1
1
⑵
；<
/p>
2
n
1
2
n
1
2
2
n
< br>
1
2
n
1
1
1
a
b
.
⑶
a
b
a
b
1
1
1
< br>1
例
4
、
求数列
1
的前
n
项和
S
n
；
1
2<
/p>
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
n
⑴若
a
n
是公差为
d
的等差数列，则
五、
奇偶讨论法（并项求和法）
：把数列的某些项放在一起先求和，然后再求
S
n
.
例
5
、
（
1
）求和
S
n
1
3
5
7
(
1
)
n
1<
/p>
(
2
n
1
)
（
2
）数列
{a
n
}
：
练习题：
a
1
1
,
a
2
3
,
a
3
2
,
a
n
2
a<
/p>
n
1
a
n
，求
S
2011
1
1
1
,
的前
n
项和
S
n
等于（
）
4
8
2
n
1
1
2
2
A
．
n
1
< br>n
B.
2
n
n
1
n
2
2
1
1
2
2
C
．
n
< br>
1
n
1
D.
n
n
1
n
2
2
1.
<
/p>
数列
1
,
3
,
5
,
(
2
n
1
)
２
.
< br>数列
1
，
（
1+2
）
，
（
1+2+2
）
，…，
（
1+2+2
+
…
+2
）
,
…的前
n
项和等于（
）
A.
2
n
2
2
n-1
1
2
B.
2
-n C.2
-n-2
D.n
·
2
n+1
n
n
3.
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
n
A
.
1
B
.
5
6
C
.
1
6
1
，则<
/p>
S
5
等于
（
）
n
(
n
1)
1
D
.
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