高中数学一轮复习之数列求和之倒序相加与错位相减法
高一化学必修一知识点总结-
第
5
节
倒序相加与错位相减法
【基础知识】
1
．倒序相加法：类似于等差数列的前
n
项和的公式的推导方
法，如果一个数列
a
n
的前
n
项中首末两端等“
距离”的两项的和相等或等于同一个常数，
那么求这个数列的前
n
项和即
可用倒序相加法，如等差数列的前
n
项和公式即是用此法推导的．
2
．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构
成
的，
那么这个数列的前
n
项和即可用此法来求，
如等比数列的前
n
项和公式就是用此法推导
的．
若
a
n
b
n
c
n
，其中
b
n
是等差数列，
< br>c
n
是公比为
q
等比数列，令
S<
/p>
n
b
1
c
1
b
2
c
2
b
n
1
c
n
1
b
n<
/p>
c
n
，则
qS<
/p>
n
b
1
c
2
b
2
c
3
b
n
1
c
n
b
n
c
n<
/p>
1
两式错位相
减并整理即得
.
【规律技巧】
(1)
一般地，如果数列
{
a
n
}
是等差数列，
{
b
n
}
是等
比数列，求数列
{
a
n
·
b
n
}
的前
n
项和时，
可采用错位相减法
求和，一般是和式两边同乘以等比数列
{
b
n
}
的公比，然后作差求解；
<
/p>
(2)
在写出
“
S
n
”
与
“<
/p>
qS
n
”
的表达
式时应特别注意将两式
“
错项对齐
”<
/p>
以便下一步准确写出
“
S
n
－
qS
n
< br>”
的表达式．
应用错位相减法求和时需注意：
①给
数列和
S
n
的等式两边所乘的常数应不
为零，否则需讨论；
②在转化为等比数列的和后，求其和时需
看准项数，不一定为
n
.
【典例讲解】
【例
1
】<
/p>
已知首项都是
1
的两个数列
{
a
n
}
< br>，
{
b
n
}(
b
n
≠0
，
n
∈
N
*
)
满足
a
n<
/p>
b
n
＋
1
－
a
n
＋
1
b
n
＋
2
b
n
＋
1
b
n
＝
0.
a
n
(1)
令
c
n
＝
，求数列
{
c
n
}
的通项公式；
b
n
(2)
若
b
n
＝
3
n
1
，求数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和
S
n
.
－
【解析】
(1)
因为
a
n
b
n
＋
1
－
a
n
＋
1
b
n
＋
2
b
n<
/p>
＋
1
b
n
＝
0
，
b
n
≠0(
n
∈
N
*
)
，
a
n
＋
1
a
n
所以
－
＝
2
，即
c
n
＋
1
－<
/p>
c
n
＝
2. <
/p>
b
n
＋
1
b
n
所以数列
{
c
n
}
是以首项<
/p>
c
1
＝
1
，公差
d
＝
2
的等差数列，故
c
n
＝
2
n
－
1.
(2)
由
b
n
＝
3
n
－
1
知
a
n
＝
c
n
b
n
＝
(2
n
－
1)3
n
1
，
－
－
于是数列
{
a
n
< br>}
前
n
项和
S
n
＝
1·
3
0
＋
3·
3
1
＋
5·
3
2
＋
…
＋
(2
n
－
1)·<
/p>
3
n
1
，
3
S
n
＝
1·
3
1
＋
3·
3
2
＋
…
＋
(2
< br>n
－
3)·
3
< br>n
1
＋
(2
n
－
1)·
3
n
，
－
相减得－
2
S
n
＝
1
＋
2·
(3
1
＋
3
2
＋
…
＋
3
n
1
)
－
(2
n
－
1)·
3
n
＝－
2
－
(2
n
－
2)3
n
，所以
－
S
n
＝
(
n
－
1)3
n
＋
1.
【变式探究】
数列
< br>{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
na
n
＋
1
＝
(
n
＋
1)
a
n
＋
n
(
n
＋
1)
，
n
∈
N
*
.
a
n
(1)
证明：数列
n
是等差数列；
(2)
设
b
n
＝
3
n
·
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
0
1
2
n
【例
2
】
求证：
C
n
3
C
n
5
C
n
<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
(
n
1
)
2
n
0
1
2
n
证明：
设
S
n
C<
/p>
n
…………………………..
①
3
C
n
5
C
n
(
< br>2
n
1
)
C
n
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
S
n
(
2
n
1
)
C
n<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
（反序）
m
n
m
又由
C<
/p>
n
可得
C
n
0
1
n
1
n
S
n
(
2
n
1
)
C
n
…………..……..
②
(
2
n
1
)
C
n
< br>3
C
n
C
n
0
1
n
1
n
2
S
n
(
2
n
2
)(
C
n
C
n
C
n
C
n
)<
/p>
2
(
n
1
)
2
n
①
+
②
得
（反序相加）
∴
S
n
(
n
1
)
2
n
< br>【变式探究】求
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
sin
2
89
的值
解：设
S
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
sin
2
89
………….
①
将①式右边反序得
S
sin
2
89
<
/p>
sin
2
88
sin
2
3
sin
2
2
sin
2
1
………….
.
②
（反序）
又因为
sin
x
c
os(
90
x
),
sin
x
cos
x
1
①
+
②
2<
/p>
2
得
（反序相加）
2
S
(sin
2
< br>1
cos
< br>2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
(s
in
2
89
cos
2
89
)
＝
89