错位相减法求和附答案解析
不可一世是什么意思-
错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于<
/p>
{a
n`
b
n
}
型数列，其中
{a
< br>n
},{b
n
}
分别是等差数列和等比数列，在应用
过程中要注意：
项的对应需正确；
相减后应用等比数
列求和部分的项数为（
n-1
）项；
若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为
1
1.
已知二次函数
和为<
/p>
，点
的图象经过坐标原点，
其导函数
均在函数
的通项公式；
的图象上．
，
数列
的前
项
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）设
，
是数列
的前<
/p>
项和，求
．
[
解析
]
考察专题：
，
，
，
；难度：一般
[
答案
]
（Ⅰ）由于二次函数
的图象经过坐标原点，
则设
，
，
∴
，∴
，
<
/p>
又点
均在函数
的图象上，
∴
．
∴当
时，
，
又
，适合上式，
∴
．
．
．
．
．
．
．
．<
/p>
．
．
．
．
（
7
分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
∴
，
∴
，
上面两式相减得：
．
整理得
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
（
14
分）
2.
已知数列
的各项均为
正数，
是数列
的前
n
< br>项和，且
．
（
1
）求数列
的通项公式；
（
2
）
的值
.
[
答案
]
查看解析<
/p>
[
解析
]
（
1
）当
n
= 1
时，
解出
a
1
= 3,
又
4S
n
=
a
n
+
2a
n
－
3
①
2
当
时
4s
n
－
1
=
+
2a
n-1
－
3
②
①－②
,
即
，
∴
,
（
）
，
是以
3
为首项，
2
为公差的等差数列，
6
分
．
（
2
）
③
又
④
④－③
=
12
分
3.
（
2013
年四川成都市高新区高三
4
月月考，
19,12
分）
设函数
数列
前
项和
，
，数列
，满足
.
，
（Ⅰ）求数列
的通项公式
；
（Ⅱ）
设数列
的前
项和为
，
数列
的前
项和为
，
证明：
.
[
答案] (Ⅰ)
由
，得
是以
为公比的等比数列，故
.
（Ⅱ）由
，
得
…
，
记
…+
，
用错位相减法可求得：
.
（注：此题用到了不等式：
进行放大
.
）
4.
已知
等差数列
中，
；
是
与
的等比中项．
（Ⅰ）求数列
的通项公式：
（Ⅱ）若
．求数列
的前
项和
[
解析
]
（Ⅰ）因为数列
是等差数列，
是
与
的等比中项．所以
，
又因为
，设公差为
，则
，
所以
，解得
或
，
当
时
,
，
；
当
时，
.
所以
或
.
（
6
分
)
（Ⅱ）因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
两式相减得
，
所以
.
（
13
分）
5.
已知数列
且公差
< br>.
的前
项和
< br>，
，
，
等差数列
中
，
（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数
，使得
若不存在，说明理由
.
< br>
若存在，求出
的最小值，<
/p>
[
解析
]
（Ⅰ）
时，
相减得：
，又
，
，
<
/p>
数列
是以
1
为首
项，
3
为公比的等比数列，
.
又
，
，
.
（
6
分）
（Ⅱ）
令
………………①
…………………②
①－②得：
，
，即
，当
，
，当
。
的最小正整数为
4.
（
12
分）
6.
数列
满足
，等比数列
满足
.
（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.
[
解析
]
（
Ⅰ）由
，所以数列
是等差数列，又
，<
/p>
所以
，
由
，所以
，
，所以
，即
，
所以
.
（
6
分
)
（Ⅱ）因为
，所以
，
则
，
所以
，
两式相减的
，
所以
.
(12
分）
7.
< br>已知数列
满足
，其中
为数列
的前
项和．
(Ⅰ) 求
的通项公式；
(Ⅱ) 若数列
满足：
(
)
，求
的前
项和公式
.
[
解析]Ⅰ)
∵
，①
∴
②
②－①得，
，又
时，
，
，
.
（
5
分）
(Ⅱ) ∵
，
，
，
两式相减得
，
.
（
13
分）
8.
设
d
为非
零实数
, a
n
=
[
d+2
d
+…+(n
-1)
2
d
+n
d
](n∈N
) .
n-1
n
*
(Ⅰ)
写出
a
1
,
a
2
, a
3
并判断
{a
n
}
是否为等比数列
.
若是
,
给出证明
;
若不是
,
说明理由
;
(Ⅱ) 设
b
n
=nda
n
(n∈N
) ,
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
*
[
答案] (Ⅰ)
由已知可得
a
1
=d,
a
2
=d(1+d) ,
a
3
=d(1+d)
.
2
当
n≥2,
k≥1
时
,
=
,
因此
a
n
=
.
由此可见
,
当
d≠
-1
时
, {a
n
}
是以
< br>d
为首项
,
d+1
为公比的等比数列
;
当
d=-1
时
,
a
1
=-1,
a
n
=0(n≥2) , 此时
{a<
/p>
n
}
不是等比数列
. (7
分
)
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知
,
a
n
=d(d+1)
,
n-1
从而
b
n
=nd
(d+1)
,
2
n-
1
S
n
=d
[
1+2(d+1) +3(d+1)
+…+(n
-1)
(d+1)
+n(d+1)
].
①
2
2
n-
2
n-1
当
d=-1
< br>时
,
S
n
=d
=1.
2
当
d≠<
/p>
-1
时,
①式两边同乘
d+1
得
(d+1)
S
n
=d
[(d+1)
+2(d+1)
+…+(n
-1) (d+1)
+n(d+1)
]. ②
2
2
n-1
n
①, ②式相减可得
-dS
< br>n
=d
[1+(d+1) +(d+1)
+…+(d+1)
-n(d+1)
]
2
2
n-1
n
=d
2<
/p>
.
n
化简即
得
S
n
=(d+1)
(nd-1) +1.
综上
,
S
n
=(d+1)
(nd-1)
+1. (12
分
)
n
9.
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
=0,
a
2
=2,
且对任意
m, n∈N
都有
a
2m-1
+a
2n-1
=2a
m+n-1
+2(m-n)
.
*
2
(Ⅰ)
求
a
3
,
a
5
;
(Ⅱ) 设
b
n
=a
2n+1
-a
2n-1
(n∈N
) ,
证明
:{b
n
}
是等差数列
;
*
(Ⅲ) 设
c
n
=(a
n+1
-a
n
)
q
(q≠0, n∈N
) ,
求数列
{c
n
}
的前
n
项和
S
n<
/p>
.
n-1
*
[
答案] (Ⅰ) 由题意
,
令
m=2, n=1
可得
a
3
=2a
2
-a
1
+2=6.
再令
m=3, n=1
可得
a
5
=2a
3
-a
1
+8=20.
(2
分
)
(Ⅱ) 证明
:
当
n∈N
时
,
由已知
(
以
n+2
代替
m)
可得
a
2n+3<
/p>
+a
2n-1
=2a
2n+1
+8.
*
于是
[a
2(n+1)
+1
-a
2(n+1) -1
]-(a
2n+1
-a
2n-1
) =8,
即
b
n+1
-b
n
=8.
所以
,
数列
{b
n
}
是公差为
8
的等差数列
.
(5
分
)
(Ⅲ) 由(Ⅰ) 、(Ⅱ) 的解答可知
{b
n
}
是首项
b
1
=a
3
-a
1
=6,
公差为
8
的等差数列
.
则<
/p>
b
n
=8n-2,
即
a
2n+1
-a
2n-1
=8n-2.
另
由已知
(
令
m=1)
可得
,
a
n
=
-(n-1)
.
2
那么
, a
n+1
-a
n
=
于是
,
c
n
=2nq
.
n-1
-2n+1=
-2n+1=2n.
当
q=1
时
,
S
n
=2+4+6+…+2n=n(n+1) .
当
q≠1
时
,
S
n
=2·q
+4·q
+6·q
+…+2n·q
.
0
1
2
n-1
两边同乘
q
可得