求数列的前n项和列(教案+例题+习题)
话梅排骨-
四
.
数列求和的常用
方法
1.
公式法
：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明
：运用等比数列求和公式，务必检查其
公比与
< br>1
的关系，必要时需分类讨论
.
；
③
常
用
公<
/p>
式
：
1
2
3
，
n
1
n
(
n
1
)
1
2
2
2
<
/p>
2
n
2
1
n
(
n
1)(2
n
1)
，
6
1
3
2
3
3
3
n
3
[
n
(
n<
/p>
1)
2
]
.
2
例
1
、已知
log
3
x
1
2
3
n
，求
x
x
x
x
的前
n
项和
.
log
2
< br>3
解
：由
log
3
x
1
1
log
3
x
log
3
2
x
log
2
3
2
由等比数列求和公式得
S
n
x
< br>
x
2
x
3
x
n
（利用常用公式）
1
1
(
1
)
n
x
(
1
x
n<
/p>
)
2
2
＝
1
－
1
＝
＝
1
2
n
1
x
1
2
ｎ
2
< br>2
2
2
练一练：
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
ｎ
＝
2
< br>－１，则
a
1
＝
_____
；
a
2
a
3
a
n
2.
分组求和法
：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合
并在一
起，再运用公式法求和
.
1
1
1
4
,
2
7
,
,
n
< br>
1
3
n
2
，
…
a
a
a
1
1
1
解
：设
S
n
(
1
1
)
(
4
)
(
2
7
)
<
/p>
(
n
1
3
n
2
)
a
a
a
例
2
、
求数列的前
n
项和：
1
1
,
将其每一项拆开再重新组合得
1
1
1
2<
/p>
n
1
)
(
1
4
7
3
n
2<
/p>
)
（分组）
a
a
a
(
3
n
1
)
n
(
3
n
1
)
< br>n
当
a
＝
1
时，
S
n
n
＝
（分组求和）
2
2
1
1
n
(
3
n
<
/p>
1
)
n
a
a
1
n
(
3
n
1
)
n
a
当
a
1
时，
S
n
＝
1
a
1
2
2
1
a
练一练：
求和：
S
n
1
3
5
7
(
1)
n
(2
n
1)
S
n
(
1
3.
倒序相加法
：若和式中到首尾距离相等
的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关
联，
则常可考虑选
用倒序相加法，
发挥其共性的作用求和
（这也是等差数列前
n
和公式的推
导方法）
.
例
3
、
求
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
88
<
/p>
sin
2
89
的值
1
解
：设
S<
/p>
sin
2
1<
/p>
sin
2<
/p>
2
sin<
/p>
2
3
sin
2
88
sin
2
89
………….
①
将①式右边反序得
S
sin
2
89
sin
2
88
sin
2
3
sin
2
2
sin
2
1
…………..
②
（反序）
又因为
sin
x
cos(
90
< br>
x
),
sin
2
x
cos
2
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
S
(sin
< br>2
1
cos
2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
<
/p>
(sin
2
89
cos
2
89
)
＝
8
9
∴
S
＝
44.5
1
1
1
x
2
f
(1)
f
(2)
f
(3)
f
(4)
f
(
)
f
(
)
f
(
)
＝
练
一
< br>练
：
已
知
f
(
x
)
，
则
2
2
3
4
1
x
______
；
4.
错位
相减法
：
如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数
列的通项相乘构
成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法）
.
例
4
、
求和：
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
< br>
(
2
n
1
)
x
n
1
………………………
< br>①
解
：
由题可知，
{
(
2
< br>n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等比数列
{
x
n
1
}<
/p>
的通项之
积
设
xS
n
1<
/p>
x
3
x
2
5
x
3
7
x
4
(
2
n
1
)
x<
/p>
n
……………………….
②
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x<
/p>
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
(
1
x
)
2
2
4
6
2
n
< br>例
5
、求数列
,
2
,
3
,
,
n
,
<
/p>
前
n
项的和
.
2
2
2
2
2
n
1
解
：由题可知，
{
n
}<
/p>
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等比
数列
{
n
}
的
通项之积
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n
2
3
n
…………………………………
< br>①
2
2
2
2
1
2
4
6
2
n
S
n
2
3
4
< br>n
1
……………………………
…
②
（设制
错
2
2
2
2<
/p>
2
位）
2