高考数学-等差数列、等比数列与数列求和
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等差、等比数列与数列求和
等差、等比数列与数列求和
【基础知识】
1
．等差数列与等比数列
(1)
等差数列与等比数列的联系
<
/p>
等差数列
{
a
n
}
中的加、减、乘、除运算与等比数列
{
a
n
}
中的
乘、除、乘方、开方对应．
(2)
等差数列与等比数列的探求
<
/p>
要判定一个数列是等差数列或等比数列，
可用定义法或等差
(
比
)
中项法、
而要说明一个数列不是等差数列或等比数
列，只要说明某连续三项不
成等差数列或等比数列即可．
*
<
/p>
S
n
S
S
S
k
S
3
k
S
2
k
a
n
k
N
（
3
）
若数列
是等差数列，
是其前
n
项的和，
，
那么
k
，
2
k
，
成
数
列
（
4
）
{a
n
}
是等差数列则
{
S
n
/n}
也是等差数列，首项与
2
．数列求和的常用方法
a
n
相同，公差是
a
n
的
1/2
(1)<
/p>
公式法：直接利用等差数列、等比数列的前
n
项和公式求和
①
等差数列的前<
/p>
n
项和公式：
n
a
1
＋<
/p>
a
n
n
n
－
1
S
n
＝
＝
na
＋
1
< br>2
2
d
；
②
等比数列的前
n
项和公式：
na
1
，
q
＝
1
，
n
S
< br>＝
a
1
－
a
n
q
a
1
1
－
q
1
－
q
＝
1
－
q
，
q
< br>≠
1.
n
(2)
倒序相加法：如果一个数列<
/p>
{
a
n
}
的前
n
项中首末两端等
“
距离
”
的两项的和相等或等于同一
个常数，那么求这个
数列的前
n
项和即
可用倒序相加法，如等差数列的前
n
项和即是用此法推导的．<
/p>
(3)
错位相减法：
< br>如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，
那么
这个数列的前
n
项和即可用此法来求，如等比数列的前
n
项和就是用此法推导的．
< br>(4)
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互
抵消，从而求得其和．
1
(5)
分
组转化求和法：
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成
，
则求和时可用分
组求和法，分别求和而后相加减．
(6)
并项求和法：一个数列的前
n
项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
a
n
＝
(
－
1)
n
f
(<
/p>
n
)
类型，可采
用两项合并求解．
例如，
S
n
＝
100
2
－
99
2
＋
98
2
－
97
2
＋
…
＋
2
2
－
1
2
＝
(100
＋
< br>99)
＋
(98
＋
97)
＋
…
＋
(2
＋
1)
＝
5 050.
【高考命题】
一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某
种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
三个裂项公式
(1)
1
1
1
＝
n
－
；
n
n
＋
1<
/p>
n
＋
1
1
1
1
1
－
；
(2)
＝
2
n
－
1
2
n
＋
1
2
2
n
－
1
2
n
＋
1
(3)
1
n
＋
n
＋
1
＝
n
＋
< br>1
－
n
1
=
a
n
a
n
1
（
4
）
a
n
为等差数列，公差为
d
，则
【小测】
S
5
1
．
设
S
n
为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
8
a
2
＋
a
5
＝
0
，则
S<
/p>
＝
________.
2
3
．
(2012·
无锡市第一学期期末考试<
/p>
)
设
S
n
是等比数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和，
S
3
，
S
9
，
S
6
成等差数列，且
a
2
＋
a
5
＝
2
a
m
，则
m
＝
________.
a
11
4<
/p>
．数列
{
a
n<
/p>
}
是等差数列，若
a
＜－
1
，且它的前
n
项和
S
n
有最大值，那么当
S
n
取得最小正值时，
n
＝
________.
1
0
【考点
1
】等差数列与等比数列的综
合
【例
1
】
<
/p>
(2011·
江西卷
)(1)
已知两个等比数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
，满足
a
1
＝
a
(
a
＞
0)
，
b
1
－
a
1
＝
1
，
b
2
－
a
2
＝
2
，
b<
/p>
3
－
a
3
＝
3
，
若数列
{
a
n
}
唯一，求
a
的值；
(2)
是否存在两个等比数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
，使得
b
1
－
a
1
，
b
2
－
a
2
，<
/p>
b
3
－
a
3
，
b
4
－
a
4
成公差不为
0
的等差数列？若存在，
求
< br>{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；若不存在，说明理由．
2
【变式】
(2012·
苏州市自主学习调查
)
已知数列
{
a
n
}
各项均为正数，其前
n
项和为
S
n
，点
(
a
n
，
S
n
)
在曲线
(
x
＋
1)
2
＝
4
y
上．
< br>(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设数列
{
b<
/p>
n
}
满足
b
1
＝
3
，令
b
n
＋
1
＝
ab
n
，设数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求数列
{
T
n
－
6
n
}
中最小项的值．
【考点
2
】等差数列与等比数列的判定或证
明
【例
2
】
<
/p>
(2012·
盐城调研二
)
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，且对任意的
k
∈
N
*
，
a
2
k
－
< br>1
，
a
2
k
，
a
2
k
＋
1
成等比数列，其公比
为
q
k
.
(1)
若
q
k
＝
2(
k
∈
< br>N
*
)
，求
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＋<
/p>
…
＋
a
2
k
－
1
；
1
(2)
若对任意的<
/p>
k
∈
N
*
，
a
2
k
，
a
2
k
＋
1
，
a
2
k
＋
2
成等差数列，其公差为
d
k
，设
b
k
＝
.
q
k
－
1
求证：
{
b
k
}
是等差数列，并指出其公差；
3
【变式】
数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和记
为
S
n
，
a<
/p>
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
1(
n
≥1)
．
(1)
求
{
a
n
}
< br>的通项公式；
(2)
等差数列
{
b
n
}
的各项为正，其前
n
项和为
T
n
，且
T
< br>3
＝
15
，又
< br>a
1
＋
b
1
，
a
2
＋
b
2
，
a
3
＋
b
3
成等比数列，求
T
n
.
【考点
3
】裂项相消法求和
1
【例
3
】
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，当
n
≥
2
时，其前
n
项和
S
n
满足
S
2
n
＝
a
n
S
n
－
2
.
(1)<
/p>
求
S
n
的表达式
；
(2)
设
b
n
＝
S
n
，求
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2
n
＋
1
[
方法总结
]
使用裂项相消法求和时，
要注意正负项相消时消
去了哪些项，
保留了哪些项，
切不可漏写未被
< br>消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
< br>
【变式】
在数列
{
a
n
}
中，
a
n
＝
< br>1
2
n
2
＋
＋
…
＋
，
又
b
n
＝
，求
数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
n
＋<
/p>
1
n
＋
1
n
＋
1
a
n
·
a
n
＋
1
4