等差与等比数列综合运用中的错位相减法
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2021年02月08日 15:30
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蛋树-
等差与等比数列综合运用中的错位相减法
回忆
等比数列的前
n
项求和公式的推导
<
/p>
记
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
n
1
①
等式的两端同乘
< br>q
，得
qS
< br>n
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
3
a
1
q
n
1
< br>a
1
q
n
②
①—②得
(
1
q
< br>)
S
n
a
1
a
1
q
n
③
当
q
1
时，由①可得
S
n
na
1
a
1
a
1
q
n
当
q
1
时，由③得
S
n
1
q
na
1
,
(
q
1
)
n
于是
S
n
a
1
a
1
q
,
(
q
1
)
1
< br>q
反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如
{
x
n
y<
/p>
n
}
的数列的和，其中
< br>{
x
n
}
为
等差数列，
{
y
< br>n
}
为等比数列。
1
2
3
4
n
n
2
4
8
16<
/p>
2
1
1
1
设
{
n
}
，其中
{
n
}
为等差数列，
{
n
}
为等比数列，公比为
，利用错位相减法求和。
2
2
2
1
1
1
1
1
解：
S
n
1
2
2
3
3
4
4
n
n
<
/p>
2
2
2
2
2
1
两端同乘以
，得
2
1
1
1
1
1
1
1
S
n
1
2
< br>2
3
3
4
4
5
(
n
1
)
n
n
n
< br>
1
2
2
2
2
2
2
2
例
1
：求和
：
S
n
两式
相减得
1
1
1
1
1
1
n<
/p>
S
n
2
3
4
n
n
1
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
1
n
于是
S
n
2
n
1
n
。
2
< br>2
例
2.
已知数列
{
a
n
}
< br>是等差数列，且
a
1
2
，
a
1
a
2
< br>a
3
12
。
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）令
b
n
< br>
a
n
2
n
求数列
{
b
n
}
的前项和。
< br>