数列求和专题.
对不起我爱你简谱-
中高考培优专注品牌
**
教育五环教学案
日期：
授课人：
学生：
科目：
数学
今日格言：
柏拉图说：
“
数学是一切知识中的最高形式
”
课
数列求和专题
题
高考对
本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：
1.
以递推公
式或图、表形式给出条件，求通项公
教
式，考查学生用等差、等
比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题
.2.
通过分
组、错位相减等转化为
学
目
等差或等比
数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．
标
1
．
数列求和的方法技巧
(1)
分组转化法
< br>有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数
列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(2)
错位相减法
< br>这是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种
方法主要用于求数列
{
a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{
a
n
}
，
{
b
n
}
< br>分别是等差数列和等比数列．
知
识
点
(3)
倒序相加法
及
这是在推导等差数列前
n
项和公式
时所用的方法，
也就是将一个数列倒过来排列
(
反序
)
，
当它与原数列相
重
难
加时若有公式可提，并且剩余项的和易
于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
点
梳
(4)
裂项相消法
理
利用通项变形，将通项分裂成两项
或
n
项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的
和．这种
1
1
1
1
1
方法，适用于求通项为
的数列的
前
n
项和，其中
{
a
n
}
若为等差数列，则
＝
a
－
a
.
a
n
a
n
＋
1
a
n
a
n
＋
1
d
<
/p>
n
n
＋
1
常见的拆项公式：
①
②
1
1
1
＝
－
；
n
n
＋
1
n
n
＋
1
1
1
< br>1
1
＝
(
－
)
；
n
n
＋
k
k
n
n
＋
k
教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，
一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂！
1
中高考培优专注品牌
③
④
1
1
1
1
＝
(
－
)
；
2
n
< br>－
1
2
n
＋
1
2
2
n
－
1<
/p>
2
n
＋
1
1
1
＝
(
n
＋
k
－
n
)
．
n
＋
n
＋
k
k
考点一
分组转化求和法
例
1
等比数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
，
a
2
，
a
3
分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且
a
1
，
a
2<
/p>
，
a
3
中的任何
两个数
不在下表的同一列
.
第一行
第二行
第三行
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足：
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
< br>ln
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
第一列
3
6
9
第二列
2
4
8
第三列
10
14
18
考
点
训
练
在处理一般数列求和时，一定要注
意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列
进行求和，在求和时要分
析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组
求和法
求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数
n
进行讨论，最后再验证是否可以合并
为一个公式．
教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂！
2
中高考培优专注品牌
设数列
{
a
n
}
满足
a<
/p>
1
＝
2
，
a
2
＋
a
4
＝
8
，且对任意
n
∈
N
*
，函数
f
(
x
)
＝
(
a
n
－
a
n
＋
1
＋
a
n
＋
2
)
x<
/p>
＋
a
n
＋
1
cos
x
－
π
a
n
＋
2
sin
x
满足
f
′
2
＝
0.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
；
1
a
n<
/p>
＋
，求数列
{
b
n
}
的前<
/p>
n
项和
S
n
.
(2)
若
b<
/p>
n
＝
2
2
a
n
考点二
错位相减求和法
例
2
设等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
＝
4
S
2
，
a
2
n
＝
2
a
n
＋
1.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
b
1<
/p>
b
2
b
n
1
(2)
若数列
{<
/p>
b
n
}
满足
＋
＋…＋
＝
1
－
n
，
n
∈
N
*
，求
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
1
< br>a
2
a
n
2
错位相
减法求数列的前
n
项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一
定要抓住数列的特征，即数
列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘
所得数列的求和问题．
设数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
2
，
a
n
＋
1
－
a
n
＝
3·
2
2
n
1
.
－
教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个
灵魂！
3
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(1)
求数列
{
a
n
}
的
通项公式；
(2)
令
b
n
＝
na
< br>n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
< br>项和
S
n
.
考点三
裂项相消求和法
*,
例
3
设各项均为正数的数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，满足
4
S
n
＝
a
2
n
＋
< br>1
－
4
n
－
1
，
n
∈
N
且
a
2
，
a
5
，
a
14
构成等比
数列．
(1)
证明：
a
2
＝
4
a
1
＋
5
；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项
公式；
1
1
1
1
(3)
证明：对一切正整数
n
，有
＋
＋…＋
<
.
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
＋
1
2
数列求
和的方法：
(1)
一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，
就先求通项，然后通过对通项变
形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形
式，从而选择合适的方法求和得解．
(2)
已知数列前
S
1
n
＝
1
< br>
n
项和
S
n
或者前
n
项和
< br>S
n
与通项公式
a
n
的关系式，求通项通常利用
a
n
＝
.
已知数列递推式求
S
n
－
S
n
－
< br>1
n
≥
2
通
项，主要掌握
“
先猜后证法
”“
化归法
”“
累加
(<
/p>
乘
)
法
”
等．
已知
x
，
f
x
，
3(
x
≥
0)
成等差数列．又数列
{
a
n<
/p>
}(
a
n
>0)
中，
a
1
＝<
/p>
3
，此数列的前
n
项和为
S
n
，对
2
教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另
一个灵魂！
4