研究性学习论文——割圆术的相关算法
1984年属相-
研究性学习论文
——割圆术的相关算法
中国从古代开始就有不少有关圆的相关算法，
我们从小就接触圆周率，
对圆
周率可算是相当熟悉。今
年高二，我们的必修二主要讲的是几何，说到几何，自
然离不开圆和球，离不开圆周率，
而今年高二有些公式是通过极限思想得到的，
极限思想对于我们来说比较陌生，
当我们听说圆周率是用无限分割和极限得到的
时，
我们高二八班的一些同学对此产生兴趣，
并准备通过研究割圆术的相关算法，
进而初步了解极限思想。
一、割圆术的含义
所谓“割圆术”，
是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取
圆周率
的方法。
二、历史回顾
中国两汉
(
公元前
206
年至公元
220
年
)
以前一直使用
“周三径
一
”
，
即取
π<
/p>
≈
3
，这实际上是以圆内接正六边形
6
边总长代替了圆周长
< br>。东汉天文
学家张衡
(
公元
78
年至
139
年
)
求得
π
≈
10
1/2
(
≈
3.1622)
，创下了当时的
世界纪录。
直到魏晋之际的杰出数学家刘徽于公元
263
年在为古代数学名著
《九
章算术》作注时，提出用割圆术来计算圆周
率的方法，含
有极限的概念，是他
的最大创造，
他正确地计算出圆内
接正
192
边形的面积，
从而得到近似值为
π
≈
157/50
(
≈
3.14
）
，又计算出圆内接正
3072
边形的面积，得到近似值
π
≈
3927/1250 (
≈
3.1416)
。刘徽割圆术为圆
周率的研究工作奠定了坚实可靠
的理论基础，
在数学史上占有十
分重要的地位。
南北朝时南朝科学家祖冲之
（公
元
429
年至
500
年）求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率” ，另一个
是
“密率”，这两个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在
16
< br>世纪末
才
得
到
< br>的
，
都
比
祖
冲
之
晚
了
一
千
一
百
年
。
祖
冲
之
计
算
出
3.1415926<
π
<3.1415927
同时还确定了
π
的两个分数形式的近似值：
约率为
π
＝
22/7
(
≈
3.14)
，密率为
π
＝
355/113 (
≈
3.1415929)
。把
π
计算准确到小数点后七
位，又是当时的世界纪录。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于
1593
年取
得的
,
比祖冲之
要晚了一千一百多年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古
代数学发展的重大贡献，
历史是永远不会忘记的。
三、割圆术的计算
1
、圆周率
取一根细线，将其一头固定，另一头上装一个笔头，在纸上绕一圈，就出现
了一个奇妙的
图形——圆。
圆被认为是最完美、
最和谐的图形，
但是有一个问题
困扰了我们很久，那就是圆周长与圆直径之间有什么联系呢？
首先必须明确一
点，
所有的圆都是相似图形，
< br>也就是说这个比值一定是一项定值，
这个值就称作
圆周率
，用希腊字母
π
表示。
2
、割圆术算圆周率原理及算法来源
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方
法，其原理是
当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐
逼近圆周。根据刘徽的记载，在刘徽之前，人
们求证圆面
积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。
应用出入相补原理，
将圆内接正十二边形拼补成一个长方
1