详解数列求和的方法+典型例题[1]
maintains-
详解数列求和的常用方法
< br>数列求和是数列的重要内容之一，
除了等差数列和等比数列有求和公式外，
大部分数列
的求和都需要一定的技巧。
第一类：公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1
、等差数列的前
n
< br>项和公式
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
<
/p>
1
)
d
na
1
2
2
2
、等比数列的前
n
项和公式
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
(
1
q
n
)
< br>a
1
a
n
q
1
q
1
q
(
q
1
)
3
、常用几个数列的求和公式
（
1
）
、
S
n
n
<
/p>
k
1
2
3
n
k
1
n
1
n
(
n
1
)
2<
/p>
1
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
6
（
2
< br>）
、
S
n
k
2
1
2
2
2
3
2
n
2
k
< br>1
n
（
3
）
、
S
n
1
3
3
3
3
3
k
1
2
3
< br>
n
[
n
(
n
1
)]
2
<
/p>
2
k
1
第二类：乘公比错项相减（等差
等比）
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
< br>{
a
n
b
n
}
的前
n
项和，其中
{
a
n
}
，
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列。<
/p>
例
1
：求数列
{
nq
n
<
/p>
1
}
(
q
为常数
)
的前
n
项和。
解：Ⅰ、若
q
=0
，
则
S
n
=0
Ⅱ、若
q
=1
，则
S
n
1
2
3
n
Ⅲ、若
q
≠
0
且
q
≠
1
，
则
< br>S
n
1
2
q
3
q
nq
2
n
1
1
n
(
n
1
)
2
①
qS
n<
/p>
q
2
q
2
3
q
3
nq
n
②
①式—②式：
(
1
q
)
S
n
1<
/p>
q
q
2
q
3
q
n
1
nq
n
S
n
1
(
1
q
q
2
q
3
q
n
1
< br>
nq
n
)
1
q
1
1
q
n<
/p>
(
nq
n
)
S
n
1
q
1
q
< br>1
q
n
nq
n
S
n
2<
/p>
(
1
q
)
1
q
0
(
q
0
)
1
综上所述：
S
n
n
(
n
1
)(
q
1
)
2
1
q
n
nq
n
(
q
0
且
q
1
)
2
1
q
(
1<
/p>
q
)
解析：<
/p>
数列
{
nq
n<
/p>
1
}
是由数列
n
与
q
n
1
对应项的积构成的，
此类型的才适应错位相减，
（课本中的的等比数列前
n
项和公式就是用这种方法推导出来的
）
，但要注意应按以上三种
情况进行分类讨论，最后再综合成三
种情况。
第三类：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合
，使之能消去一些项，最
终达到求和的目的通项分解（裂项）如：
1
、乘积形式，如：
（
1
）
、
a
n
1
1
1
n
(
n
1
)
n
n
1
(
2
n
< br>)
2
1
1
1
（
2
）
、
a
n
1
(
)
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
<
/p>
1
（
3
）
、
a
n
（
1
1
1
1
[
]
n
(
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
4
）
、
a
n
n
2
1<
/p>
2
(
n
1
)
n
1
1
1
1
n
n
,
则
S
1
<
/p>
n
n
1
n
n
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
2
(<
/p>
n
1
)
2
(
n
1
)
2
2
、根式形式，如：
a
n
1
n
1
n
n
1
< br>n
例
2
：求数列
1
1
1
1
，
，
，…，
，…的前
n
< br>项和
S
n
1
2
2
3
3
4<
/p>
n
(
n
1
)
解：∵
1
1
1
=
n
(
n
1
)
n
n
1
S
n
1
1
1
1
1
1
1
< br>
2
2
3
3
n
n
1
1
S
n
1
n
< br>1
1
1
1
1
，
，
，…，
，…的前
n
项和
S
< br>n
1
3
2
4
3
5
n
(
n
2
)
例
3
：求数列
解：由于
：
1
1
1
1<
/p>
=
(
）
n
(
n
2
)
2
n
n
2
则：
S
n
1
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
< br>(
)
2
3
2
4
n
n
2
1
1
1
1
)
< br>S
n
(
1
2
2
n
1
n
2
3
1
1
S
n
4
2
n
2
2
n
4
解析：
要先观察通项类型，在裂项求和时候，
尤其要注意：究竟是像例
2
一样剩下首尾
两项，还是像例
3
一样剩下四项。
第四类：倒序相加法
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，<
/p>
就是将一个数列倒过来排列
（反序）
，<
/p>
再把它与原数列相加，就可以得到
n
个<
/p>
(
a
1
a
n
)
。
例
4
：若函数
f
(
x
)
对任意
x
R
都有
f
(
x
)
f
(
1
x
)
2
。
（<
/p>
1
）
a
n
f
(
0
)
f
(
)
f
(
)
f
(
证明你的结论；
（
2
）求数列
{
1
n
2
n
< br>n
1
)
f
(
1
)
，数列
{
a
n
}
是等差数列吗？是
n
1
}
的的前
n
项和
T
n
。
< br>
a
n
a
n
1
1
n
2
n
n
1
)
f
(
1
)
（倒序相加）
n
解：
（
1
）
、
a
n
f
(
0
)
< br>f
(
)
f
(
)
f
(