高中数学数列十种求通项和七种求和方法_练习及答案
学习电脑的基础知识-
高中数列知识点总结
(
一
)
等差数
列的公式及性质
1.
等差数列的定
义：
a
a
d
（
d
为常数
）
（）
；
2
．等差数列通项公式：
a
a
(
n
1)
d
< br>dn
a
d
(
n
N
)
，首
项
:
，公差
:d
，末项
:
a
推广：
a
a
(
n
m<
/p>
)
d
．从而
d<
/p>
a
n
；
m
n
n
1
*
n
1
1
n
m
n
m
3
．等差数列的判定方法
（
1
）定义法：若
a
a<
/p>
d
或
a
a
d
(
常数
n
N
)
是等
差数列．
（
2
）
等
差
中
项
< br>法
：
数
列
是
等
差
数
列
2
a
a
a
(
n
2
)
2
a
< br>a
a
．
（
3
）数列是等差数列
a
kn
b
（其中是常数）。
（<
/p>
4
）
数列是等差数列
S
An
Bn
（其中
,
A
、
B
是常数）
。
< br>
4.
等差数列的性质
：
< br>（
1
）
当
公
差
时
，
等
差
数
列
的
通
项
公
式
a
a
(
n
1)
d
dn
< br>a
d
是关于
< br>n
的一次函数，且斜率为公差；
d
前
n
和
S
na
n
(<
/p>
n
2
1)
d
d
n
(
a
)
n
是关于
n
的二次函数且常
2
2
n
n
1
n
1
n
n
n
-
1
< br>n
1
n
1
n
n
2
n
2
n
n
1
1
2
n
1
1
数项为
0.
（
2
）若公差，则为递增等差数列，若公差，则
为递减等差数列，若公差，则为
常数列。
（
3
）
当
m
n
p
q
时
,
则有
a
a
a
a
，
特别地，
当
m
n
2
p
m
< br>n
p
q
时，则有
a
1
m
a
n
2
a
p
n
.
。
注：
a<
/p>
a
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
（
4
）若、为等差数列，则
a
b
，
a
b
< br>
都为等差
数列。
（
5
）
在等差数列中，等距离取出若干项也构
成一个等差数列，即
a
,a
,a
,
…
,
为等差数
列，公差为
md
。
（
6
）是公差为
d
的等差数列，是前
n
项和，那
么数列
S
,
S
S
,
S
S
,
…
成公差为
k
2
d
的等差数列。
（
7
）设数列是等差数列，
d
为公差，是奇数项
的和，是偶数项项的和，是前
n
项的和
1
）
当
项
数
为
偶
数
时
，
S
n
(
a
< br>
a
)
，
S
a
S
S
nd
,<
/p>
S
a
n
1
n
2
n
n
n+m
n+2m
k
2
k
k
3
k
2
k
2
n
n
n
< br>1
奇
n
偶
奇
偶
n
1
S
奇
a
1
a
3
a
5
a
2
n
1
< br>S
偶
a
2
a
4
a
6
a
2
n
n
a
1
a
2
n
1
< br>
na
n
2
n
a
2
a
2
n<
/p>
na
n
1
2
n
2
）当项数为奇数
2
n-1
，则
S
S
S
(
2
n
1
)
a
S
na
S
S
S
S
a
S
（
n
-
1)a
2
n
-
1
奇
奇
偶
n
奇
奇
偶
偶
n
偶
< br>n
n
1
n
a
(9)
若
a
>0
，
d<0
，
S
有最大值，
可由不等式组
a
1
n
0
n
1
0
n
来
来
确定
n
。
a
若
a
<0
，
d>0
，
S
有最小值，
可由不等式组
a
1
n
0
n
< br>
1
0
n
确定
n
。
（
10
）等差数列前
< br>n
项和为
A
,B
，
n
n
二
)
等比数
列的公式及性质
1.
等比数列的定义：
比
2.
通项公式：
a
< br>n
a
m
q
n
m
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
a
n
1
，
q
称为公
a
n
a
1
q
n
<
/p>
1
a
1
n
q
A
B
n
a
1
q
0,
A
B
0
q
q
n
m
a
n
a
m
推广：
，从而得
或
3. <
/p>
等比中项
:
数列是等比数列
a
a
< br>a
4.
等
< br>比
数
列
的前
n
项和公式：
5.
等比数列的判定方法
2
n
n
1
< br>n
1
q
n
m
a
n
a
m
（
1
）
定义：
对任意
的
n,
都有
为等比数列
（
2
）等比中项：
a
a
a
（
a
a
< br>0
）为等比数列
（
3
）通项公式：
a
A
B
A
B
0
为等比数列
（
4
）前
n
项和公式：
S
A
A
B
或
S
A
'
B
A
'
A
,
B
,
A
',
B
'
为常数
为
等比数列
6.
等比数列的性质
(1)
若
m+n=s+t (m,
n, s, t
),
则
a
a
< br>a
a
.
特别的
,
当
n+m=2k
时
,
得
a
a
a
注：
a
a
a
a
a
a
2
n
n
1
n
1
a
n
1
qa
n
或
a
n
1
q
(
q
为常数，
a
n
0)
a
n
n
1
n
<
/p>
1
n
n
n
n
n
n
n
m
s
t
2
n
m
k
1
n
2
n
1
3
n
2<
/p>
(2)
数列
,
为等比数列
,
则数列
,
,,
{
k
< br>a
b
}
，
(k
为非零常数
)
均为等比数列
.
且公比分别为
1
/q
，
q
，
q
，
q
·
q
，
q
< br>/q
.
n
n
k
{
}
a
n
{
k
<
/p>
a
n
}
a
{
n
}
b
n
k
1
2
1
2
(
a
,
a
m
a
m
k
(3)
数列为等比数列
,
每隔
k(k
)
项取出一项
<
/p>
,
a
,
a
,
)
仍为等比
数列
,
公比为
q
m
2
k
m
3
k
k<
/p>
(4)
如果是各项均为正数的
等比数列
,
则数列
{log
a
}
是
等差数列
< br>
(5)
若为等比数列
,
则数列，
S
S<
/p>
，
S
S
,
，成等
比数
列（当
q=
－
1
且
k
为偶数时不成立）
。
(6)
若
为
等
比
数
列
,
则
数
列
< br>a
a
a
,
a
< br>a
a
,
a
a
a
成等比数列
n<
/p>
2
n
n
3
n
2
n
1
2
n
n
1
n
2
2
n
2
n
1
2
n
<
/p>
2
3
n
(7)
①当时，
{
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
a
1
0
，则
{
a<
/p>
n
}
为递减数列
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
{<
/p>
②当
0<
q
1
时，
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
③当
q=1
时
,
该数列为常数列（此时数列也
为等差数列
）
;
④当
q<0
时
,
该数列为摆动数列
.
1
(8)
在等比数列中
,
当项数为
2n (n
)
时
,
S
.
S
q
奇
偶
(9)
若是公比为
q
的等比数列
,<
/p>
则
S
3
．
求数列通项公式
的常用方法
n
m
S
n
q
n
S
m
一、公式法
例
1
已知
数列
{
a
}
满
足
a
通项公式。
n
n
1
2
a
n
<
/p>
3
2
n
，
a
2
，求数列
{
a
}
的
1
n
解：
a
n
1
2
a
n
3
2
n
a
两边除以
2
，得
2
n
1
n
1
n<
/p>
1
a
n
3
n
2
2
a
，则
2
n
1
< br>n
1
a
n
3
n
2
2
，
a
a
}
是以
故数列<
/p>
{
2
2
n
n
1
1
2
1
2
为首项，
以
3
为公差的等差数
列，
2
n
n
a
由等差数列的通项公式，
得
2
1
(
n
1)
3
2
，
所以数列
{
a
}
的
n
< br>通项公式为
a
n
3
1
(
n
< br>
)2
n
2
2
。
n
1
二、累加法
a
n
a
n
1<
/p>
f
(
n
)
例
2
已知数列
{
a
}
满足
a
项公式。
<
/p>
n
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
}
的通
n
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n
<
/p>
1
a
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
<
/p>
(
a
n
1
a
n
2
)
L
(
a
3
a
2
)
(
a
2<
/p>
a
1
)
a
1
[2(
n
1)
1]
[2(
n
2)
1]
L
(2
2
1)
(2
1
1)
1
2[(
n
1)
(
< br>n
2)
L
2
1]
(
n
1)
1
(<
/p>
n
1)
n
2
(
n
1)
1
2
(
n
1)(
n
1)
1
< br>
n
2
所以数列
{
a
}
的通项公式为
a
n
n
n
2
。
< br>，
求数列
{
a
< br>}
的通
n
例
3
已知数列
{
a
< br>}
满足
a
项公式。
n
n
< br>1
3
a
n
2
3
n
1
，
a
1
3
解：
a
a
则
3
n
1
n
1
n
n
1
3
a
n
2<
/p>
3
1
a
两边除以
3
，得<
/p>
3
n
1
n
1
n
1
a
n
2
1
3
n
3
3
n
1
，<
/p>
a
n
2
1
n
1
n
3
3
3
a
n
f
(
n
)
a
n
1
三、累乘法
n
1
例
4
已知数列
{
a
}
满足<
/p>
a
通项公式。
n
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{<
/p>
a
}
的
n
解：因为
a
n
n
1
2(
n
1)5
a
n
，
a
1
3
，所以
a
n
0
，则
a
a
n
< br>
1
n
2(
n
1)5
n
，故
a
n
a
n
a
n
1
a
a
L
3
2
a
1
a
n
< br>
1
a
n
2
a
2
a
1
[2(
n
1
1)5
n
1
][2
(
n
2
<
/p>
1)5
n
2<
/p>
]
L
[2(2
1)
<
/p>
5
2
][2(1
1)
5
1
]
3
2
n
1
[
n
(
n
1)
L
3
2]
< br>
5
(
n
1)
(
n
2)
L
2
1
3
3
2
n
1
n
(
n
< br>
1)
2
5
n
!
3
2<
/p>
n
1
所以数列
{
a
}
的通项
公式为
a
n
n
5
n
(
n<
/p>
1)
2
n
!.
例
5
（<
/p>
2004
年全国
I
第
15
题，原题是填空题）
已知数列
{
a
}
满足<
/p>
a
1
，
a
a
2
a
3
a
L
(
n
1)
a
(
n
2
)
，
求
{
a<
/p>
}
的通
项公式。
n
1
n
1
2
3
n
1
n
解：因为
a
所以
a
则
a
n
1
n
a
1
< br>2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)
①
a
1
< br>2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
a
n
1
na
n
②
用②式－①式
得
a
n
1<
/p>
n
1
a
n
na
n
.
(
n
1)
a
n
(
n
2)
故
a
a
n
1
n
n
1(
n
2)
四、待定系数法
（重点）
例
6
已知数列
{
a
}<
/p>
满足
a
项公式。
n
n
1
2
a
n
3
5
n
，
a
1
< br>
6
，
求数列
< br>
a
的通
n
解：设
a
n
1
n
n
1
x
<
/p>
5
n
1
2(
a
n
x
5
n
)
n
④
n
n
1
n
n
n
将
a
2
a
3
< br>
5
代入④式，
得
2
a
3
< br>
5
x
5
2
a
2
x
5
，
等式两
边消去
2
a
，
得
3
5
x
5
2
x
5
< br>，
两边除以
5
，
得
3
5
x
2
x
,
则
x
<
/p>
1,
代入④式得
a
5
2(
a
5
)
<
/p>
n
n
1
n
n
n
n
1
n
n
1
n
例
7
已知数列
{
a
}
满足
a
< br>通项公式。
n
n
1
3
< br>a
n
5
2
n
4
，
a
1
1
，求数列
{
a<
/p>
}
的
n
解：设<
/p>
a
将
a
n
1
n
1
x
2
n
1
y
3(
a
n
x
2
n
y
)
⑥
3
a
n
5
2
n
4
3
a
n
5
2
n
4<
/p>
x
2
n
1
代入⑥式，得
y
3(
a
x
2
y
)
n
n
整理得
(5
2
x
)
2
< br>
n
4
y
3
x
2
n
3
y
。
n
1
5
2
x
< br>3
x
x
5
a
令
，则
，代入⑥式得
< br>
4
y
3
y
y
2
5
2
n
1
2
3(
a
n
5
2
n
2)
⑦
例
8
已知数列
{
a
}
满足
a
通
项公式。
n
n
1
2
a
n
3
n
2
4
n
5
，
a
1
1
，
< br>求数列
{
a
}
< br>的
n
解：设
a
< br>将
a
n
1
n
1
x
(
n
1)
2
y
(
n
1)
z
2(
a
n
xn
2
yn
z
)
⑧
2
a
n
3
n
2
4
n
5
< br>代入⑧式，得
，则
2
yn
2
z
，
2
a
n
3
n
2
4
n
5
x
< br>(
n
1)
2
y
(
n
1)
z
2(
a
n<
/p>
xn
2
yn
z
)
2
a
n
(3
x
)
n
2
(2
x
y
4)
n
(
x
y
z
5)
2<
/p>
a
n
2
xn
2
等式两边消去
2
a
，得
(3
x
)
n
n<
/p>
2
(2
x
y
4)
n
(
x
y
z
5)
2
< br>xn
2
2
yn
2
z
解方程组
3
x
2
x
2
x
<
/p>
y
4
2
y
x
y
z
5
2
z
，则
x
3
y
10
<
/p>
z
18
，代入⑧式，得
a
n
1
3
(
n
1)
2
10(
n
1)
18
2(
a
n
<
/p>
3
n
2
10
n
18)
⑨
，
a
7
，求数列
{
a
}
的
1
n
五、对数变换法<
/p>
例
9
已知数列
{
a
}<
/p>
满足
a
通项公式。
n
n
1
5
2
3
n
a
n
解：因为
a
n
1
5
2
3
n
a
n
，
a
1
7
，所以
a
n
0
，
a
n
<
/p>
1
0
。在
a
n
1
5
2
3
n
a
< br>n
式
两边取常用对数得
lg
a
设
lg
a
n
1
n
1
5lg
a
n
n
lg3
lg
2
⑩
< br>
x
(
n
1)
y
5(lg
a
n
xn
y
)
11
○
，求数列
{
a
}
的通
n
n
1
六、迭代法
例
10
已
知数列
{
a
}
满足
a
项公式。
n
3(
n
1)2
，
a
1
5
n
1
a
n
n
解：因为
a
3(
n
1)2
a
n
1
n
n
，所以
a
n
3
n
2
3(
n
1)
2
3
n
2
a
< br>n
[
a
]
1
n
2
n
1
n
2
七、数学归纳法
例
11
已知
a
n
1
<
/p>
a
n
8(
n
1)
8
，
a
1
(2
n
1)
2
(2
n
3)
2
9
，求数列
{
a
}
的通项公
n
式。
（其他方法呢）
解：由
a
a
2
a
1
n
1
a
n
8(
n
1)
(2
n
1)
2
(2
n
3)
2
及
a
8
，得
9
1
8(1
1)
8
8
2
< br>24
(2
1
1)
2
(2
1
3)
2
9
9
25
2
5
8(2
1)
24
8
3
48
a
3
a
2
(2
2
1)
2
(2
2
3)
2
25
25
49
49
8(3
1)
48
8
4
80
a
4
a
3
(2
3
1)
2
(2
3
< br>
3)
2
49
< br>49
81
81
由此可猜测
个结论。
(2
n
1)
2
1
a
n
(2
n
1)
2
，往下用数学归
纳法证明这
（
1
）当
< br>n
1
时，
(2
1
1)
2
1
8
a
1
<
/p>
(2
1
1)
2
9
，所以等
式成立。
(2
k
1)
2
1
a
k
(
2
k
1)
2
（
2
）假设当
n
k
时等式成立，即
时，
，则当
n
k
1
< br>a
k
1
a
k
8
(
k
1)
(
2
k
1)
2
(2
k
3)
2
(2
k<
/p>
1)
2
1
8(
k
1)
(2
k
1)
2
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
[(2
k
1)
2
1](2
k
3)
2
8(
k
1)
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
(2
k
3)
2
8(
k
< br>
1)
(2
< br>k
1)
2
(2
k
3)
2
(2
k
1)
(2
k
3)
(2
k
1)
(2
k
1)
2
(2
k
3)
2
2
2
2
<
/p>
(2
k
3)<
/p>
2
1
(2
k
3)
2
[2(
k
1)
1]
2
1
[2(
k
1)
1]
2
由此可知，当
n
k
1
时等式也成立。
根据（
< br>1
），（
2
）可知，等式对任何
n
N
都成立
。
*
八、换元法
例
12
已知数列
{
a
}
满足
a
n
n
1
1
(1
<
/p>
4
a
n
1
24
a
n
)
，
a
1
1
16
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
n
解：令
b
故
a
n
1
1
24
a
n
，则
a
n
1
2
(
b
n
1)
24
得
1
2
(
b
n
1
1)
24
，代入
a
n
1
1
(1
4
a
n
1
24
a
n
< br>)
16
1
2
1
1
2
(
b
n
1
<
/p>
1)
[1
<
/p>
4
(
b
n
1)
b
n
]
24
16
24
即
4
b
2
n
1
(
b
n
3)
2
，故
b
n
1
因为
b
n
1
24<
/p>
a
n
0
1
24
a
n
1
0
1
< br>
3
(
b
n
3)
n
1
2
则<
/p>
2
b
n
1
b
n
3
，即
b
1
3
b
< br>
n
1
n
2
2
，可化为
b
，
九、不动点法
例
13
<
/p>
已知数列
{
a
}
满足
a
n
n<
/p>
1
21
a
n
24
，
a
1
4
4
a
n
1
，求数列
{
a
}
的
n
< br>通项公式。
x
24
解：
令
x
21
，
得
4
x
4
x
1
2
20
x
24
0
，
则
x<
/p>
2
，
x
1
2
3
x
24
是函数
f
(
x
)
21
4
x
1
的两个不动点。因为
<
/p>
21
a
n
24
2
a
n
1
2
4
a
n
1
21
a
< br>n
24
2(4
a
n
1)
13
a
n
26
13
a
n
2
21
a
24
a
n<
/p>
1
3
n
3
21
a
n
24
3(4
a
n
1)
9
a
n
27
9
a
n
3
4
a
n
1
十、倒数法
a
1
1
，
a
n
1<
/p>
2
a
n
，求
a
n
2
4.
求数列前<
/p>
n
项和
的常用方法
一、公式法
利用下列常用求和公式求和是数列
求和的最
基本最重要的方法
.
1
、
等差数
列求和公式：
S
2
、等比数列求和公式
：
3
、
S<
/p>
n
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
S
n
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a<
/p>
n
q
(
q
1
)
1
q
1
q
1
k
n
(
n
<
/p>
1
)
2
k
1
n
4
、
的前
n
项和
.
1
S
n
k
2
n
(
n
< br>
1
)(
2
n
1
)
6
k
1
n<
/p>
5
、
S
n
1
k
3
[
n
(
n
1
)]
2
2
k
1
2
n
[
例
1]
求<
/p>
x
x
x
3
x
n