无穷等比数列各项的和
万道森罗-
7.8
（
1
）无穷等比
数列的各项和（
1
）
1
．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2
．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比
数列的各项和；
教学目标
3
．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4
．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一
些简单的实际问题过程中，
形成和提高数学的应用意识
.
教学重点
教学难点
教学方法
无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用
正确理解无穷等比数列的各项和的定义
.
师生互动
教学过程
一、复习引入
思考下列问题：
1
< br>、
0.9
和
1
< br>哪个数大？为什么？
对于问题
1
，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果
.
引导学生回答以下问题：
（
1
）如果你认为
0.9
1
，那么
0.9
比
1
小多少？
< br>（
2
）如果你认为
0.9
1
，那么你能否找到一个实数
a
，使得
设计说明
0.9
a
1
成立？
引入
换一个角度来看，事实上
n
1
个
0
< br>
0.9
0.99
9
0.9
0.09
0.00
09
< br>
n
1
个
0
1
0.09
，
，
0.00
< br>
09
，
是首项为
0.9
，公比为
的无穷等
而
0.9
，
< br>10
比数列，它的前
n
项和为<
/p>
1
n
0.9
1
n
1
个
0
n
10
1
1
S
n
0.9
0.09
0.00
09
1
10
1
10
于
是可以把
0.9
看作
S
n
当
n
< br>时的极限，从而
第
1
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5
页
n
1
n
1
0.9
lim
S
n
lim
1
lim
1
lim
1
< br>n
n
< br>n
n
< br>10
10
< br>
1
、
无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问：
< br>在问题
1
的讨论中，
我们将
0.9
看成首项为
0.9
< br>、
公比为
0.1
的无穷等比数列的前
n
项和的极限
< br>.
请同学们思考，
是否无穷等
比
数列的前
n
项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等
于什么？
指出：
当无穷等比数列的公比
q
满足
|<
/p>
q
|
1
时，其前
n
项和的
极
限才存在
.
当
0
|
q
|
1
时，无穷等比数列前
n
项和的极限如下：
a
1
(1
q
n<
/p>
)
a
a
∵
S
n
1
1
q
n
（
|
q
|
1
）
1
<
/p>
q
1
q
1
q
概
念
分
析
∵
0
|
q
|
1
，∴
lim
q
0
.
n
n
a
1
(1<
/p>
q
n
)
a
∴
lim
S
n
lim
lim
1
lim
(1
q
n
)
n
n
n
1
q
n
1
q
a
1
< br>a
(
lim
1
< br>
lim
q
n
< br>)
1
.
1
q
n
n
1
q
∴
lim
S
n
n
<
/p>
a
1
．
1
q
让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的
公
式．
强调：
只有当无穷等比数列的公
比
q
满足
0
|
q
|
1
时，其前
n
项和
的极限才存在．
2
、无穷等比数列的各项和的定义
提
问：
通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个
定义
？请用数学语言来描述一下．
我们把
|
q
|
1<
/p>
的无穷等比数列的前
n
项的和
S
n
当
n
时的
极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号<
/p>
S
表示
.
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页