2021年高考微专题数列求和问题学生版
幼儿英语顺口溜-
方法技巧专题
1
数列求和问题
【一】公式求和法
1.
等差数列前
n
项和
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
na
1
(
q
1
)
n
2.
等比数列前
n
项和
S
n
a
1
(
1
q
)
公比含字母时一定要讨论
(
q
1
)
1
< br>q
3.
其他常用求和公式
①
1
2
3
n
< br>n
(
n
1
)
；
2
2
①
1
3
5
< br>(
2
n
1
)
n
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
；
6
n
(
n
1
)
2
3
3
3
3
①
1
<
/p>
2
3
n
[
]
2
①
1
2
3
n
<
/p>
2
2
2
2
1.
例题
【例
1
】
求
1
＋
2
＋
2
2
＋…＋
2
n
的和
.
【例
2<
/p>
】
已知等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
＝
4
，<
/p>
S
3
＝
12
，求数列
{
a
n<
/p>
}
的通项公式
.
【例<
/p>
3
】
在公差为
d
的等差数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
＝
10
，且
a
1
，
2
a
2
＋
2
，<
/p>
5
a
3
成等比数
列．
(1)
求
d
，
a
n
；
(2)
若
d
<
0
，求
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋
|
a
3
|
＋
…
＋
|
a
< br>n
|.
2.
巩固提升综合练习
【练习
1
】
在
a
,
b
中插入
n
个数，
使它们和
a
,
b
组成等差数列
a
,
a
1
,
a
2
,
A
．
n
(
a
b
)
B
．
【练习
2
】
记
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和，已知
a
1
＝－
7
，
S
3
＝－
15.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
< br>(2)
求
S
n
< br>，并求
S
n
的最小值．
a
n
,
b
，
则
< br>a
1
a
2
a
n
（
）
n
(
a
b
)
(
n
1)(
a
b
)
(
n
2)(
a
b
)
< br>
C
．
D
．
2
2
2
【练习
3
】
在平面
直角坐标系中，已知
A
1
a
,2
，
A
n
A
n
< br>
1
2
n
1,2
（
1
）若
OA
，求
a
的值；
1
/
/
A
2
A
3
（
2
）若
a
1
，求<
/p>
OA
n
的坐标；
n
n
N
.
【练习
4
】
公差不为
0
的等差数列
a
n
的前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
,
S
3
6
，且
a
3
,
a
4
,
a
7
成等比数列
.
（
1
）求数列
a
n
的通项公式
a
n
；
（
2
）求
a
n
的前
10
项和
T
10
【二】分组求和法
分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和
< br>.
1.
例题
1
1
1
1
n
＋
n
.
【例
1
】
求和：
1
＋
2
2
＋
3
3
＋…＋
2
2
2
2
【例
2
】
求数列
1,1
＋
< br>a,
1
＋
a
＋
a
2
，…，
1
＋
a
＋
a
2
＋…＋
a
n
1
，…的前
n
项和
S
n
.(
其中
a
≠
0
，
n
∈
N
*<
/p>
)
－
【例
3
】
<
/p>
求和
T
n
1
2
3
2
3
4
< br>
n
(
n
1
)(
n
2
)
2.
巩固提升综合练习
【练习
1
】
已知数列
{
a
n
}
是各项均为正数的等比数列，且
a
1
＋
a
2
＝
< br>2
(
1
1
1
1
)
，
a
3
＋
a
4
＝
32
(
)
.
a
1
a
2
a
3
a
4
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
a
2
n
＋
log
2
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
【练习
2
】
已知数列
{
a
n
}
是等差数列，满足
a
1
1
< br>，
a
5
3
，数列
{
b
n
a
n
}
是公比为
2
等比数列，且
b
2
2
< br>a
2
2
．
（
1
）
求数列
{
a
n
}
和
{
b
n<
/p>
}
的通项公式；
（
2
）求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
．
【
三
】
奇偶并项求和法
奇偶并项求和的基本思路
：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数
列求和
.
但当求前
n
项和
而
n
是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论
< br>.
1.
例题
【
例
1
】
求和
1
2
－
2
2
＋
3
2
－
4
2
＋…＋
99
2
－
100
2
.
【例
2<
/p>
】
已知正项等比数列
{
< br>a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
2
＝
6
，
S
4
＝
30
，
n
∈<
/p>
N
*
，数列
{<
/p>
b
n
}
满足
b
n
·
b
n
＋
1
＝
a
n
，
< br>b
1
＝
1.
(1)
求
a
n
，
b
n
；
(2)
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2.
巩固提升综合练习
n
*
【练习
1
】
已知
S
n
为数列
a
n
的前
n
项和，且满足
a
1
1
，
a
n
a
n
1
3
(
n
N
)
，则
S
2
014
_____
．
2
【练习
2
】
已知函数
f
(
n
)
< br>n
cos(
n
)
，且
a
n
< br>
f
(
n
)
f
(
n
1)
，则
a
1
a
2
...
a
20
__________
．
【四】倒序相加法求和
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，
就是将一个数列倒过来排列（反序）
，再把它与
原数列相加，就
可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)
.
1.
例题
【
例
1
】
求和
s
in
1
s
in
2
s
in
3
sin
89
2
2<
/p>
2
2
4
x
【例
2
】
设
f
(
x
)
x
，
< br>4
2
2.
巩固提升综合练习
【练习
1
】
已知正数数列<
/p>
1
f
11
2
f
< br>
11
3
f
11
10
<
/p>
f
.
11<
/p>
是公比不等于
1
的等比数列，且
（
）
，若
，则
A
．
2018
B
．
4036
C
．
2019
D
．
4038
【练习
2
】
已
知函数
f
x
cos
x
ln
x
，
若
x
<
/p>
2
f
f
2019
2019
2018
f
2019
1
1
1009
a
b
ln
（
a
0,
b
< br>
0)
，则
< br>的最小值为（
）
a
b
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
【五】错位相减求和
数列
{
a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{
a
n
}
、
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
求和时一般在已知和式的两
边都乘以组成这个数列的等比数列的公比
q
；
然后再将得到的新和式和原和式相
减，
转化为同倍数的等
比数列求和，这种方法就是错位相减法。
1.
例题
【
例
1
】
求和：
1
×
2
1
＋<
/p>
2
×
2
2
＋
3
×
2
3
＋…＋
n
×
2
n
，
n
∈
N
*
.
【例
2
】
在数列
a
n
，
b
n
中，
a<
/p>
1
b
1
1
，
a
n
1
3
a
n
b
n
3
n
1
，
b<
/p>
n
1
3
b
n
a
n
3
n
1
.
等差数列
c
n
< br>
的前两项依次为
a
2
，
b
2
.
（
1
）求
c
n
的通项公式；
（
2
）求数列
a
n
b
n
c
n
的前
n
项和
S
n
.
2.
巩固提升综合练习
2
3
n
< br>1
【练习
1
】
< br>求和：
S
n
< br>1
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x
< br>1
【练习
2
】
< br>已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
< br>≠0
，
a
1
＝
，
a
n
－
a
n
＋
1<
/p>
＝
2
a
n
a
n
＋
1
，
n
∈
N
+
.
3
(1)
求证：
1
是等差数列，并求出数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式；
a
n
2
n
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的
前
n
项和
T
n
.
a
n
【练习
3
】
已知等
比数列
A
．
的前
项和为
，若
C
．
，则数列
的前
项和为（
）
B
．
D
．
【练习
4
】已知数列
a
n
是
公差不为
0
的等差数列，且
a
1
1,
a
2
,
a
4
,
a
8
成等比
数列
.
n
< br>(1)
求
a
< br>n
的通项公式
;(2)
若
b
n
a
n
2
,
求
b
n
的前
n
项和
T
n
.
【六】裂项求和
1.
例题
2
2
2
【例<
/p>
1
】
已知等差数列
a
n
为
递增数列，且满足
a
1
2
,
a
3
< br>
a
4
a
5
．
（
1
）求数列
a
n
的通项公式；
< br>
（
2
）令
b
n
1
1
1
1
【例
2
】
求和：
2
＋
2
＋
2
＋…＋
2
，
n
≥
2
，
n
∈
N
*
.
2
－
1
3
－
1
4
－
1
n<
/p>
－
1
1
(
n
N
*
)
，
S
n
为数列
b
n
的前
n
< br>项和，求
S
n
．
(
a
n
1)(
a
n
1)