高三数列求和俞健聪
低调的奢华-
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：
年
级：
课
时
数：
学员姓名：
辅导科目：
学科教师：
授课类型
C(
数列求和常见方法
1)
C
（数列求和常见方法
2
）
T
（类周期数列与分类
讨论思想）
授课日期及时段
教学内容
数列求和常见方法
1
一、专题精讲
题型
< br>1
：公式法求和
例
1
：在等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
＝
9
，
a
6
＝
243
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
及前
n
项和公式
S
n
，并求
a
9
和
S
8
的值．
a
6
243
分析：在等比数列
{
a
n
}
中，设首项为
a
1
，公比为
q
，由
a
3
＝
9
，
a
6
＝
243
，得
q
3
＝
＝
＝
27
，∴
q
＝
3.
由
a
1
q
< br>2
a
3
9
＝
a
3
，得
9
a
1
＝
9<
/p>
，∴
a
1
＝
1.
于是，数列
{
a
n
}
的通项公式为
< br>a
n
＝
1×
3
n
1
＝
3
n
1
，
<
/p>
1×
1
－
3
n
3
n
－
1
3
8
－
1
－
1
9
< br>前
n
项和公式为
S
n
＝
＝
.
< br>由此得
a
9
＝
< br>3
＝
6 5
61
，
S
8
＝
＝
3 280.
2
2
1
－
3
变式：
已知数列
{
a
n
}
是首项
a
1
＝
4
，公比
q
≠1
的等比数列，
S
n
是其前
n
项和，且
4
a
1
，
a
5
，－
2
a
3
成等差数列．
(1)
求
公比
q
的值；
(2)
求
T
n
＝
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＋
…
＋
a
< br>2
n
的值．
分析：
(1)
由题意得
2
a
5
＝
4
a
1
－
2
a<
/p>
3
.
∵
{
a
n
}
是等比数列且
a
1
＝
4
，公比
q
≠1
，<
/p>
∴
2
a
1
q
4
＝
4
a
1
－
2
a
1
q
2
，∴
q
4
＋
q
2
－
2
＝
0
，解得
q
2
＝－
2(
舍去
)<
/p>
或
q
2
＝
1
，∴
q
＝－
1.
(2)
∵
a
2
，
a
4
，
a
6
，
…
，
a
2
n
是首项为
a
2
＝
< br>4×
(
－
1)
< br>＝－
4
，公比为
q
2
＝
1
的等比数列，∴
T
n
＝
na
2
＝－
4
n
.
－
－
1
中国领先的中小学教育品牌
<
/p>
题型
2
：分组转化求和
< br>
1
1
1
1
1
1
1
＋
＋
1
＋
＋
＋
…
＋
1
＋
2
＋
< br>4
＋
…
＋
n
－
1
.
[
来源
:
学<
/p>
|
科
|
网
]
例
1
：求和
S
n
＝
1
＋
2
2
2
4
< br>1
1
1
分析：和式中第
< br>k
项为
a
k
＝
1
＋
＋
＋
…
＋
k
－<
/p>
1
＝
2
4
2
1
k
1
－
2
1
1
－
2
1
1
－
k
.
＝
2
2
1
－
1
＋
1
－
1
2
< br>
＋
…
＋
1
－
1
n
＝
2
∴
S
n
＝
2
2
< br>
2
2
1
1
1
－
n
2
2
1
1
1
1
＋
2
< br>＋
…
＋
n
＝
2
n
－
1
＋
1
＋
…
＋
1
n
个
－
＝
－
＋
2
< br>n
n
2
2
2
1
2
1
1
－
2
－
2.
变式：已知数列
{
x
n
}
的首项
x
1
＝
3
，通项
x
n
＝
2
n
p
＋
nq
(
n
∈
N
*
，
p
，
q
为常数
)
，且
x
1
< br>，
x
4
，
x
5
成等差数列．求：
(1)
p
，
q
的值；
(
2)
数列
{
x
n
}
前
n
项和
S
n
的公式．
分析：
(1)
由
x
1
＝
3
，得
2<
/p>
p
＋
q
＝
3
，又因为
x
4
＝
2
4
p
＋
4
q
，
x
5
＝
2
< br>5
p
＋
5
q
，且
x
1
＋
x
5
＝
2<
/p>
x
4
，得
3
＋
2
5
p
＋
5
q
＝
2
5
p
＋
< br>8
q
，
解得
p
＝
1
，
q
＝
1.
(2)
由
(1)
，知
x
n
＝
2
n<
/p>
＋
n
，所以
S<
/p>
n
＝
(2
＋
2
2
＋
…
＋
2
n
)
＋
(1
＋
2
＋
…
＋
n
)
＝
2
n
1
－
2
＋
＋<
/p>
n
(
n
1
)
.
2
变式：
等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
，
a
2
，
a<
/p>
3
分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且
< br>a
1
，
a
2
，
a
3
中
的任何两个
数不在下表的同一列
.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足：
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
ln
a
< br>n
，求数列
{
b
n
}
的前
2
< br>n
项和
S
2
n
.
分析：
(1)
当
a
1
＝
< br>3
时，不合题意；
当
a
1
＝
2
时，当且仅当
a
2
＝
6
，
a
3
＝
18
时，符合题意；
当
a
1
＝
10
时，不合题意．
－
因此
a
1
＝
2
，
a
2
＝
6
，
a
3
＝
18.
所以公
比
q
＝
3
，故
a
n
＝
2·<
/p>
3
n
1
.
－
－
－
(2)
因为
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
ln
a
n
＝
2·
3
n
< br>1
＋
(
－
1)
n
ln(2·
3
n
1
)
＝
2·
3
n
1
＋
(
－
1)
n
(ln 2
－
ln 3)
＋
(
－
1)
n
n
ln
3
，
－
所以
S
2
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
2
n
＝
< br>2(1
＋
3
＋
< br>…
＋
3
2
n
1
)
＋
[
－
1
＋
1
－
1
＋
…
＋
(
－
1)
2
n
](ln
2
－
ln 3)
＋
[
－
1
＋
2
－
3
＋
…<
/p>
＋
(
－
2
n
1
－
3
n
1)
2
2
n
]ln 3
＝
2×
＋
n
ln 3
＝
3
2
n
＋
n
ln 3
－
1. <
/p>
1
－
3
1
1
1
1
1
＋
，
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
64
＋
＋
.
变式：已知
{
a
n
}
是各项均为正数的等比数列
，且
a
1
＋
a
2
＝
2
a
1
a
2
a
3
a
4
a
< br>5
(1)
求
< br>{
a
n
}
的通项公式；
1
a
n
＋
2
，求数列
{
b
n
< br>}
的前
n
项和
< br>T
n
.
(2)
设
b
n
＝
a
n
<
/p>
分析：
(1
)
设
公比为
q
，则
a
n
＝
a
1
q
n
1
，且
q<
/p>
>0
，
a
1
>0.
1
1
＋<
/p>
，
a
1
＋
a
1
q
＝
2
a
1
a
1
q
由已知有
1
< br>1
1
＋
＋
a
1
q
2
＋
a
1
q
3
＋
a
1
q
4
＝
64
a
q
2
a
q
3
a
q
4
，
－
<
/p>
1
1
1
a
2
1
q
＝
2
，
化简得
2
6
又
a
1
>0
，故
q
＝
2
，
a
1
＝
1.
a
q
＝
64.
1
所以
a
n
＝
2
n
1
.
2
中国领先的中小学教育品牌
－
1
1
1
n
－
1
2
a
n
＋
2
＝
a
n
(2)
由
(1)
知，
b
< br>n
＝
＋
＋
2
＝
4
＋
－
＋
2.
a
n
a
2
4
n
1
n
1
1
－
1
1
4
< br>n
4
－
1
1
－
n
－
1
因此
T
n<
/p>
＝
(1
＋
4
＋
…
＋
4
)
＋
1
＋
4
＋
…
＋
< br>4
n
－
1
＋
2
n
＝
＋
＋
2
n
＝
(4
n
－
4
1
n
)
＋
2
n
＋
1.
1
3
4
－
1
1
－
4
题型
3
：并项法求和
n
例
1<
/p>
：数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
=ncos
n
,
其前
n
项和为
S
n
,
则
S
< br>2012
等于
(
)
2
A.1006
B.2012
C.503
D.0
分析
:
∵<
/p>
a
n
=ncos
错误
!
未找到引用源。
,
∴当
n
为奇数时
,a
n
=0,
当
n
为偶数
时
,
a
n
<
/p>
n
，
n
4
m
其中
m
∈
N
*
,
-
n
，
n
4
m
-
2
<
/p>
∴
S
2012
=
a
1
+a
2
+
a
3
+a
4
+
a
5
+
…
+a
2012
=a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+
…
+a
2012
=-2+4-6+8-10+12-14+
…
+2012=(-2+4)+(-6+8)+
…
+(-2010+2012)=2×
503=1006.
故选
A.
变式：已知函数
f(x)
对任意
x
∈
R,
都有
f(x)=1-f(1-x),
则
f(-2)
+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=
.
分析<
/p>
:
由条件可知
:f(x)+f(1-x)
=1,
而
x+(1-x)=1,
∴<
/p>
f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1,
∴
f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2
)+f(3)=3.
二、专题过关
检测题
1
：设
{a
n
}
是由正数组成的等比数列
,S
n
为其前
n
项和
.
已知
a
2
a
4
=1,S
3
=7,
则
S
5
等于<
/p>
(
)
A.
15
31
33
B.
C
.
2
4
4
错误
!
未找到引用源。
分析
:
∵<
/p>
{a
n
}
是由正
数组成的等比数列
,
且
a
2
a
4
=1,q>0,
∴
a
3
=1,
∴
a
3
=1,
∴<
/p>
S
3
=7=
2<
/p>
1
1
1
1
1
2
-q-1=0,
∴
q=
1
(
q
舍
)
，
∴
6q
,
∴
a
=
=4,
∴
S
5
=
1
2
q
2
q
2
3
q
4
(
1
1
)<
/p>
32
31
.
1
4
1
-
2
检测题
2
：已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
=a
n
2
+bn(a
、
b
∈
R
),
且
S
25
=100,
则
a
12
+a
14
等于
(
)
A.16
B.8
C.4
D.
不确定
分析
:<
/p>
由数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=an
2
+
bn(a
、
b
∈
R
),
可知数列
{a
n
}
是等差数列
,
由
S
25
=
< br>解得
a
1
+a
< br>25
=8,
所以
a
1
+a
25
=a
12
+a
14
=8,
故选
B.
检测题
3:
数列
{1+2
n-1
}
的前
n
项和为
(
)
A.1+2
n
B.2+2
n
C.n+2
n
-1
< br>D.n+2+2
n
[]
分析
:
由题意得
a<
/p>
n
=1+2
n-1
,
所以
(
a
1
a
25
)
25
10
0
，
2
1<
/p>
-
2
n
S
n
=n+
=n+2
n
-1,
故选
C.
1
-
2
S
n
<
/p>
检测题
4
：等差数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
< br>2
n
＋
1
，其前
n
项的和为
S
n
，则数列
n
的前
10
项的和为
(
)
A
．
120
B
．
70
C
．
75
D
．
100
3
中国领先的中小学教育品牌
n
a
1
＋
a
n
S
n
S
1
S
2
S
10
分析：选
C
∵
S
n
＝
＝
n
(
n
＋
2)
，∴
＝
n
＋
2.
故
＋
＋
…
＋
＝
75.
2
n
1<
/p>
2
10
检测题
5
：
数列
a
1<
/p>
＋
2
，
…
，
a
k
＋
2
k
，
…
，
a
10
＋
< br>20
共有十项，
且其和为
240
，
则
a
1
＋
…
＋
a
k
＋
…
＋
a
10
的值为
(
)
A
．
31
B
．
120
C
．
130
D
．
185
分析：选
C
a
1
＋
…
＋<
/p>
a
k
＋
…
＋
a
10
＝
240
－
(2
＋
…
＋
2
k
＋
…
＋
20)
＝
240
－
110
＝
130.
检测题
6
：若数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2
n
＋
2
n
－
1
，则数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
________
．
2
分析：
S
n
＝
1
－
2
n
n
＋
1
< br>－
2
1
＋
2
n
－
1
＋
＝
2
n
1
－
2
＋
n
2
.
2
三、学法提炼
1
、专题特点：以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数
列的数列求和问题，掌握非等差、等比
数列求和的几种常见方法
2
、解题方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，
然后通过对通项变形，转化为与特
殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的
方法求和．
3
、注意事项
：
(1)
直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推
导过程．
(2)
注意观察数列的特点
和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．
数列求和常见方法
2
一、
专题精讲
题型
1
：考察错位相减法
< br>
例
1
：已知等差数列
{
a
n
}
满
足
a
2
＝
0<
/p>
，
a
6
＋
a
8
＝－
10.
(1)
求
数列
{
a
n
}
的通项公式；
a
n
(2)
求数列
2
n
－
1
的前
n
项和．
<
/p>
a
1
＋
d
＝
0
，
a
1
＝
1
，
分析：
(1)
设等差数列
{
< br>a
n
}
的公差为
d
，由已知条件可得
解得
<
/p>
2
a
1
＋
12
d
＝－
10
，
d
＝－
1.
故数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2
－
n<
/p>
.
1
1
1
a
n
2
－
n
a
n
1
n
(2)
设
数
列
2
n
－
1
的
前
n
项
和
为
< br>S
n
，
∵
n
－
1
＝
n
－
1
＝
n
－
2
－
n
－
1
，
∴
S
n
＝
< br>2
＋
1
＋
2
＋
2
2
＋
…
＋
2
n
－
2
－
2
2
2
2
< br>2
3
n
1
1
2
3
n
1
＋
2
＋
3
2
＋
…
＋
n
－
1
.
记
T
n
＝
1
＋
＋
2
＋
…
＋
n
－
，①
则
T
n
＝
＋
2
＋
3
＋
…
＋
n
，②
n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
/p>
1
1
1
－
n
2
n
1
1
1
1
1
n
1
n
1
－
n
－
n
－
1
.
①－②
得
：
T
n
＝
1<
/p>
＋
＋
2
＋
…
＋
n
－
1
－
n
，∴
T
n
＝
－
< br>n
.
即
T
n
＝
4
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
－
2
1
< br>
n
2
1
－
2
1
n
1
1
n
n
1
－
n
－
< br>4
1
－
n
＋
n
－
1
＝
n
－
1
.
∴
S
n
＝
－
4
1
－
2
n
＋
n
－
< br>1
＝
4
2
2
2
1
2
2
1
－
2
4
中国领先的中小学教育品牌
(1)
求数列
{
a
n
}
的
通项公式；
n
(2)
设
b
n
＝
，求数列
{
b<
/p>
n
}
的前
n
项和
S
n
.
a
n
变式：
设数列
{
a
n
}
满足
a
1
＋
3
a
2
＋
3
2
a
3
＋
…
＋
3
n
－
1
a
< br>n
＝
3
，
n
∈
N
*
.
n
n
－
分析：
(
1)
∵
a
1
＋
3
a
2
＋
3
2
a
3
＋
…
＋
3
n
1
a
n
< br>＝
，①
3
n
－
1
－
∴当
n
≥2
时，
a
1
＋
3
a
2
＋
3
2
a
3
＋
…
＋
3
n
2
a
n
－
1
< br>＝
，②
3
1
1
1
1
1
－
①－②得
3
n
1
a
n
＝
，∴
a
n<
/p>
＝
n
.
在①中，令
n
＝
1
，得
a
1
＝<
/p>
，适合
a
n
＝<
/p>
n
，∴
a
n
＝
n
.
3
3
3
3
3
n
(2)
∵
b
n
＝
，∴
b
n
＝
n
< br>·
3
n
.
a
n
＋
，
∴
S
n
＝
3<
/p>
＋
2×
3
2
＋
3×
3
3
＋
…
＋
n
·
3
n
，③∴
3
S
n
＝
3
2
＋
2×
< br>3
3
＋
3×
3
4
＋
…
＋
n
·
3
n<
/p>
1
④
＋
④－③得
2
S
n
＝
n
·
3
n
1
－
(3
＋
3
2
＋
3
3
＋
…
＋
3
n
)
，
＋
3
1<
/p>
－
3
n
2
n
－
1
3
n
1
3
n
＋
1
即
2
S
n
＝
n
·
3
－
，∴
S
n
＝
＋
. <
/p>
4
4
1
－
3
.
变式：已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项
和为
S
n
，且满足
S
n
＝
3
n
＋
k
.
(
1)
求
k
的值及数列
< br>{
a
n
}
的通项公式；
a
n
＋
1
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
＝
(4
＋
k
)
a
n
b
n
，求数列
{
< br>b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2
－
－
分析：
(1)
当
n
≥2
时，由
a
n
< br>＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
3
n
＋
k
－
3
n
1
－
k
＝
2·
3
n
1
，得等比数列
{
a
n
}
的公比
q
＝
3
，首项为
2.
－
∴<
/p>
a
1
＝
S
1
＝
3
＋
k
＝
2
，∴
k
＝－
1
，∴数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
＝
2·
3
n
1
.
a
n
＋
1
n
3
n
(2)
由
＝
(4
＋
k
)
a
< br>n
b
n
，可得
< br>b
n
＝
n
－
1
，即
b
n
＝
·
n
.
2
2
3
2·<
/p>
3
n
1
n
n
3
1
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
1
1
＋
2
＋
3
＋
…<
/p>
＋
n
，∴
T
n
＝
3
2
＋
3
3
＋
3
4
< br>＋
…
＋
n
＋
1
，∴
T
n
＝
3<
/p>
＋
3
2
＋
3
3
＋
…
＋
3
n
－
n
＋
1
，
∵
T
n
＝
3
<
/p>
3
3
2
3
3
3
3
2
3
2
1
n
9
1
∴
T
n
＝
<
/p>
2
－
2·
n
－
n
＋
1
.
3
3
4
变式：已知
{
a
n
}
是等差数列，
其前
n
项和为
S
n
，
{
b
n
}
是等比数列，且
a
< br>1
＝
b
1
＝
2
，
a
4
＋
b
4
＝
27
，
S
4
－
b
4
＝
10.
(1)
求数列
{
a
n
}
与
{
b
n
}
的通项公式；
(2)
记
T
n
＝
a<
/p>
1
b
1
＋
a
2
b
2
＋
…
＋
a
n
b
n
，
n
∈
N
*
，证明
T
n
－
8
＝
a
n
－<
/p>
1
b
n
＋
1
(
n
∈
N
*
，
n
≥2)
．
分析：
(1)
设等差数列
{
a<
/p>
n
}
的公差为
d
，等比数列
{
b
n
}
的公比为
q
.
由
a
1
＝
b
1
＝
2<
/p>
，得
a
4
＝
2
＋
3
d
，
b
4
＝
2
q
3
，
< br>S
4
＝
8
3
2
＋
3
d
＋
2
q
＝
27
，
d
＝
3
，
n
*
＋
6
d
.
由条件，得方程组
解得
所以
a
n
＝
3
n
－
1
，
b
n
＝
2
，
n
∈
N
.
3
8
＋
6
d
－
2
q
＝
10
，
q
＝
2.
(2)
证明：由
(1)
得
T
n
＝
2×
2
＋
5×
2
2
＋
8×
2
3
＋
…
＋
(3
n
－<
/p>
1)×
2
n
，①
2
T
n
＝
2×
2
2
＋
5×
2
3
＋
…
＋
(3
n
－
4)×
2
n
＋
(3
n
－
< br>1)×
2
n
1
< br>.
②
由①－②，得
6×
< br>1
－
2
n
＋
＋
－
(3
n
－
1)×
2
n
1
－
2
＝－
(3
n
－
4)
×
2
n
1
－<
/p>
8
，
1
－
2
＋
＋
即
T
n
－
8
＝
(3
n
< br>－
4)×
2
n
< br>1
.
而当
n
< br>≥2
时，
a
n
< br>－
1
b
n
＋
1
＝
(3
n
－
4)×
2
n
1
，所以
T
n
－
8
＝
a<
/p>
n
－
1
b
n
＋
1
，
n
∈
N
*
，
n
≥2.
题型
2
：考
察裂项法
1
例
1
：在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，当
n
≥2
时
，其前
n
项和
S
n
满足
S
2
n
＝
a
n
S<
/p>
n
－
.
2
(1)
求
S
n
的表达
式；
＋
－
T
n
＝
2×
2<
/p>
＋
3×
2
2
＋
3×
2
3
＋
…
＋
3×
2
n
－
(3
n
－
1)×
2
n
1
＝
＋
5
中国领先的中小学教育品牌
S
n
(2)
设
b
n
＝
，求<
/p>
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2
n
＋
1
1
1
< br>
2
S
－
S
－
分析：
(1)
∵
S
2
＝
a
，
a
＝
S
－
S
(
n
≥2)
，∴
S
＝
(
S
－
S
)
n
n
n
n
n
n
－
1
n
n
n
－
1
2
<
/p>
n
2
，
即
2
S
n
－
1
S
n
＝
S
n
－
1
－
S
n
，①
由题意
S
n
－
1
·
S
n
≠0
，
1
1
①式两边同除以
< br>S
n
－
1
·
S
n
，得
－
＝
2
，
<
/p>
S
n
S
n
－
1
1
1
1
1
1
∴数列
S
是首项为
＝
＝
1
< br>，公差为
2
的等差数列．
∴
＝
1
＋
2(
n
－
1)
＝
2
n
－
1
，∴
S
n
＝
.
S
1
< br>a
1
S
n
n
2
n
－
1
S
n
(2)
又
b
n
＝
＝
2
n
＋
1
1
2
n
－
1
1
1
< br>1
－
＝
2
n
－
1
2
n
＋
1
，
2
2
n
＋
1
1
1
1
1
< br>
1
1
1
1
n
－
1
－
1
－
＋
－
＋
…
＋
∴
T
n
＝
b
1
＋
b
2
＋
…
＋
b
n
< br>＝
＝
＝
2
3
3
5
2
n
－
1
2
n
＋
1
< br>2
2
n
＋
1
2
n
＋
1
.
变式：
在数列
{
a
n
}
中，
a
n
＝
1
2
n
2<
/p>
＋
＋
…
＋
，又
b
n
＝
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
n
＋
1
n
＋
1
n
＋
1
< br>a
n
·
a
n
＋
1
n
＋
1
n
＝
.
2
n<
/p>
＋
1
1
＋
2
＋
…
＋
n
n
1
2
n
分析：
a
n
＝
＋
＋
…
＋
＝
＝
n
＋<
/p>
1
n
＋
1
n
＋
1
n
＋
1
2
2
2
∴
b
n
＝
＝
＝
a
n
·<
/p>
a
n
＋
1
n
n
＋
1
n
·
2
2
1
1
8
＝
8
n
－
n
＋
1
.
n
＋
1
1
1
1
8
n
1
1
< br>1
1
－
1
－
＋
－
＋
…
＋
n
－
∴
S
n
＝
8
＝
8
2
< br>2
3
n
＋
1
n
＋
1
＝
n
＋
1
.
变式：在等比数列
{
a
n
}
中
，
a
1
>0
，
n
∈
N
*
，且
a
3
－
a
2
＝
8
，又
a
1
、
a
5
的等比中项为
16.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
1
1
1
(2)
设
b
n
＝
log
4
a
n
，数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，是否存在正整数
k
，使得
＋
＋
＋
…
＋
<
k
对任意
n
∈
N
*
恒成
S
1
S
2
< br>S
3
S
n
立．若存在，求出正整数
k
的最小值；不存在，请说明理由．
分析：
(1)
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
，由题意可得
a
3
＝
16
，∵
a
3
－
a
2
＝
8
< br>，则
a
2
＝
8
，∴
q
＝
2.
∴
a
n
＝
2
n
1
.
n
＋
1<
/p>
n
n
＋
3
＋
(2)
∵
b
n
＝
log
4
2
n
1
＝
，∴
S
n
＝
b
1
＋
b
< br>2
＋
…
＋
b
n
＝
.
2
4
1
1
1<
/p>
1
4
4
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
1
4
∵
＝
＝
n
－
n
＋
3<
/p>
，
∴
＋
＋
＋
…
＋
＝
1
－
4
＋
2
－
5
＋
3
－
6
＋
…
＋
n<
/p>
－
n
＋
3
＝
S
n
n
n
＋
3
3
S
1
S
2
S
3
S
n
3<
/p>
3
1
＋
1
＋
1
－
1
－
1
－
1
<
22
，∴存在正整数
k
的最小值为
3.
<
/p>
2
3
n
＋
1
n
＋
2
n
＋
3
9
＋
二、专题过关
检测题
1
：已知数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
A
．
11
B
．
99
C
．
120
1
n
＋
n
＋
1
，若前
n
项和为
10
，则
项数
n
为
(
)
．
D
．
121
6
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