数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)
描写冬天的散文-
考点
4
数列求和（倒序相加法、错位相减法、
裂项相消法、
分组求合法等）
*
1
．
（
2015<
/p>
江苏苏州市高三上调考）已知数列
{
a<
/p>
n
}
共有
2
k
项（
2
≤
k
且
k
∈
N
）
，数列
{
a
n
}
的前
n
项的和为
S
n
，满足
a
1
=2
，
a
n
1
< br>=
（
p
－
1
）
S
n
+
2
（
n
=1
，
2
，
3
，
…
，
2
n
－
1
）
，其中常
数
p
＞
1
（
1
）求证：数列
{<
/p>
a
n
}
是等比数列；
（
2
）
若
p
=
2
的通项公式
（
3
）对于（
< br>2
）中的数列
{
b
n
}
，记
c
n
|
b
n
－
|
，求数列
{
c
n
}
的前
2
k
项的和．
【考点】数列的求和；数列的应用．
2
2
k
1<
/p>
，
数列
{
b
n
}
满足
b
n
1
log
2
（
a
1
a
2
a
n
）
（
n
=1
，
2
，
…
，
2
n
）
，
求数列
{
b
n
}
n
3
2
【解】
（
1
）证明：当
n
=1
时，
a
2
=2
p
，则
a
2
p
，
a
1
当
2
≤
n
时，
a
n
1
（
p
－
1
）
S
n
2
，
a<
/p>
n
（
p
－
1
）
S
n
-1
2
，
∴
a
< br>n
1
－
a
n
（
p
－
1
）
a
n
，即
a
n
1
pa
n
，
∴
a
n
1
< br>
p
，
a
n
故数列
{
a
n
}
是等比数列．
（
2
）由（
1
）
，得
a
n
2
p
n
1
（
n
=1<
/p>
，
2
，
…
，
2
n
）
，
∴
a
1
a
2
a
n
2
p
n
1
2<
/p>
3
n<
/p>
1
(
n
1)
n
2
k
1
2
p
n
(
< br>n
1)
n
2
2
2
n
2
(
n<
/p>
1)
n
2
k
1
2
2
n
，
1
< br>log
（
）
< br>2
a
1
a
2
a
n
n
1
(
n
1)
n
)
=
(
n
n
2
k
1
(
n
1)
1
，
=
（
n
=1
，
2
，
…
，<
/p>
2
n
）
，
2
k
1
(
n
1)
1
，
< br>即数列
{
b
n
< br>}
的通项公式为
b
n
（
n
=1
，
2
，
…
< br>，
2
n
）
．
2
k
1
b
n
3
3
1
|
，设
b
n
，解得
n
≤
k
，
2
2
2
3
3
又
n
为正整数，于是：当
n
≤
k
时，
b
n
＜
；当
n
≥
k
+1
时，
b
n
＞
，
2
2
（
3
）
c
n
|
b
n
<
/p>
∴数列
{
c
n<
/p>
}
的前
2
k
项的和：
T<
/p>
2
k
b
1
3
3
3
3
b
2
...
b
2
k
1
b
2
k
<
/p>
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
(
b
1
)
(
b
2
)
...
(
b
k<
/p>
)
(
b
k
1
)
(
b
k
2
)
...
(
b
2
k
)
2
2<
/p>
2
2
2
2
（
b
k
1
b
k
2
b
2
k
）－（
b
1
b
2
b
k
）
1
1
k
(<
/p>
k
1)
...
(2
k<
/p>
1)
1
2
...
(
k
1)
2
k
1
2
k
1
k
2
．
2
k
<
/p>
1
2
．
（
2015
江苏高考冲刺压轴卷
（三）
）
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和记为
S
n
，
且
S
n
n
2
< br>3
n
4
．
（
1
）
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
< br>2
）设
b
n
a
n
2
5
≤
T
＜
，记
数列
{
}
的
前
n
项和记为
，
，求证：
.
b
T
< br>n
n
n
n
3
3
6
【考点】错位相减法求和
1
2
,
n
【解】
（
1
）
当
n
=1
时，
a
1
2
，
< br>当
n
≥
2
时，
a
n
S
n
S
n<
/p>
1
2
n
4
，
故
a
n
，
2
n
4
,
n
≥
2
<
/p>
2
,
n
1
a
n
2
2
0
2
n
4
3
（
2
）
b
n
n
<
/p>
，其中
T
1<
/p>
，当
n
≥
2
时，
T
n
2
...
①，
3
3
3
n
3
3
2
n
< br>
4
,
n
2
n
3
1
2
0
2
n
4
2
2
2
2
2
n
4
< br>T
n
2
3
...
n
1
②
，∴①－②得，
T
n
2
3
...
n
1
，
3
3
3
3
3<
/p>
3
3
3
3
5
2
n
1
2
5
≤
T
＜
(
n
≥
2)
∴
T
n
，由于
，∴
．
b
≥
0
n
n
n<
/p>
6
2
3
3
6
3
．
（
2015
f
(
x
)
江
苏
高
考
冲
< br>刺
压
轴
卷
（
三
）
）
已
知
数
列
a
n
中
，
a
1
1
，
二
次
< br>函
数
1
1
a
n
x
2
(
2
n
a
n
1
)
x
的对称轴为
x
=
，
2
2
n
（
1
）试证明
2
a
n
是等差数列，并求
a
n
的通项公式；
（
2
）设
a
n
的前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
，试求使得
S
n
＜
3
成立的
n
的值，并说明理由．
【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和．
【解】
（
1
）
∵
二次函数
f<
/p>
(
x
)
1
1
a
n
x
2
(2
n
< br>a
n
1
)
x
的对称轴为
< br>x
=
，
2
2
2
n
a
n
1
1
1
1
a
a
∴
a
< br>n
≠0
，
，整理得
，
1
< br>2
n
1
n
2
a
n
2
2
n
2
左右两边同时乘以
2
n
1
，得
2
n
1
a
n
1
2
n
a
n
2
，即
2
n
1
a
n
1
2
n
a
n
2
(
常数
)
，
n
∴
2
a
n
是以
2
为首项，
2
为公差
的等差数列，
< br>∴
2
n
a
n
2
2
(
n
1)
2
n
，
2
n
n
n
n
1
．
2
< br>2
1
2
3
n
1
n
（
2
）
∵
S
n
0
1
2
...
n
2
n
< br>
1
，
①
2
2
2
2
2
1
1
2
3
n
1
n
...
n
1
< br>
n
，
②
S
n
1
2
3
2
2
2
2
2
2
∴
a
n
< br>1
n
1
1
1
1
1
n
n
2
n
，
①
-
②
得：
S
n
1
1
2
3
...
n
1
n
1
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
1
2
n
2
整理得
S
n
4
n
1
．
2
n
3
n
2
n
1
∵
S
n
< br>1
S
n
4
n
(4
n
<
/p>
1
)
n
＞
0
，
2
2
2
1
∴
数列
< br>{
S
n
}
是单调递增数列．
∴
要使
S<
/p>
n
＜
3
成立，即
使
4
∴
<
/p>
n
=1
，
2
，
3
．
n
2
＜
3
，整理得
n<
/p>
+2>
2
n
<
/p>
1
，
n
1
2
4
．
（
2015
江苏省南京
市高三考前综合）公差不为零的等差数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项之和为
S
n
< br>，
且
S
n
＝
(
a
n
k
2
)
对
n
∈
N
*
成立．
2
（
1
）求常数
k
的值以及
数列
{
a
n
}
的通项公式；
，
恰成等比数列，
其中
k
1
＝
2
，
,
k
3
＝
< br>（
2
）
设数列
< br>{
a
n
}
中的部分项
a
k
1
< br>，
a
k
2
，
a
k
3
，
a
k
n
，
14
，求
a
1
k
1
＋
a
2
k
2
＋
＋
a
< br>n
k
n
的值．
< br>
【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法．
【解】
（
1
）法一：条件化为
2
S
n
＝
a
n
＋
k
对
n
∈<
/p>
N
*
成立．
设等差数列公差为
d
，则
2
na
1
n
(
n
1)
d
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
＋<
/p>
k
．
2
2
a
1
a
1
k
①
分别令
n
＝
1
，
2
，
3
得：
2
2
a
1
d
a
1
d
k
②
< br>
2
3
a
1
3
d
a
1
2
d
k
③
由
①
＋
③
－
2
②
< br>得
，
a
1
3
a
1
3
d
2
2
a
1
d
．
两
边
平
方
得
，
< br>4
a
1
＋
d
＝
2
3
a
1
2
3
a
1
d
．
两边再平方得，
4
< br>a
1
2
－
4
a
1
d
＋
d
2
＝
0
．解得
d
＝
2
a
1
．
代入②得，
4
a
1
＝
3
a
1
＋
k
，④
由④－①得，
a
1
＝
a
1
．所以
a
1
＝
0
，或
a
1
＝
1
．
又当
a
1
＝
0
时，
d
＝
0
不合题意．所以
a
1
＝
1
，
d
＝
2
．
代入①得
k
＝
1
．
< br>S
n
＝
(
而当
k
＝
1
，
a
1
＝
1<
/p>
，
d
＝
2
时，
S
n
＝
n
2
，
a
n
＝
2
n
< br>－
1
，等式
< br>所以
k
＝
1
，
a
n
＝
2
n
－
1
．<
/p>
法二：设等差数列的首项为
a
1
，公差为
d
，
a
n
k
2
)
对
n
∈
N
*
成立．
2
n
(
n
1)
d
d
d
＝
n
2
＋
(
a
1
－
)
n
，
a
n
＝
a
1
＋
(
< br>n
－
．
1)
d
＝
dn
＋
(
a
1
－
d
)
．
2
2
2
a
k
2
d
d
1
S
n
＝
< br>(
n
)
得，
n
2
＋
(
a
1
－
)
n<
/p>
＝
[
dn
＋
(
a
1
＋
k
－
d
)]
2
，
代入
2
2<
/p>
2
4
则
S
n
＝
na
1
＋
即
2
dn
＋
(4
a
1
－
2
d
)
< br>n
＝
d
n
＋
2
d
(
a
1
＋
k
－
d
)
n
＋
(
a
1
＋
k
－
d
)
< br>．
因
为
上
面
等
式
对
一
切
正
整
数
n
都
成
立
，
所
以
由
多
项
式
< br>恒
等
可
得
，
2
2
2
2
2
d
d
2
4
a
1
2
d
2
< br>d
(
a
1
k
d
)
a
1
k
d
0
d
2
< br>因为
d
≠
0
，所以解得，
a
1
1
所以常数
k
＝
1
，通项公式
a
n
＝
2
n
－
1
．
k
1
（
2
）设
c
n
＝
a
k
n
，则数列
{
c
n
}
为等比数列，且
c
1
＝
a
k
1
＝
a
2
＝
3
，
c<
/p>
3
＝
a
k
3
＝
a
14
＝
27
．
故等比数列
{
c
n
}
的公比
q
满足
q
＝
2
c
3
＝
9
．
c
1
又
< br>c
n
＞
0
，所以
q
＝
3
．所以
c
n
＝
c
1
q
n
－
1
＝
3
3
n
－
1
＝
3
n
．
又
c
n
< br>＝
a
k
n
＝
2
k
n
－
1
，所以
2
k
n
－
1
＝
3
n
．
2
n
1
n
2
n
< br>1
3
＋
．
2
2
1
1
1
3
2
3
5
3
5
所以
a
1
k
1
＋
a
2
k
2
＋
＋
a
n
k
n
(
3<
/p>
)
(
3
)
(
3
)
2
2
2
2
2
2
2
n
1<
/p>
n
2
n
1
1
(
3
)
[1
< br>
3
1
3
3
2
5
3
3
(2
n
1)
3
n
]
2
2
2
1
< br>1
1
[1
3
5
(2
n
1)]
[
1
3
1
<
/p>
3
3
2
5
3
3
(2
n
1)
3
n
]
n
2
．
2
2
2
由此可
得
k
n
＝
<
/p>
3
＋
．所以
a<
/p>
n
k
n
＝
n
1
2
1
2
法一：令
S
1
3
1
3
3
< br>2
5
3
3
(2
n
1)
3
n
，
2
3
n
n
1
则
3
S
1
< br>
3
+
3
3
+
+
(2
n
3)
3
+
(2<
/p>
n
1)
3
，
2
3
n
n
1
两式相减得
:
2
S
=
3
+
2
3
< br>+
2
3
+
+
2
3
(2
n<
/p>
1)
3
，
1
1
3(1
3
n
)
n
n
1
< br>
3(1
3
< br>)
3
(2
n
1)
3
S
2
3
(2
n
1)
3
n
1
< br>
2
2
1
3
1
n
1
n
1
2(
n
1)
3
< br>6
(
n
1)
3
3
,
代入得
a
1
k
1
+<
/p>
a
2
k
2
+
+
a
n
k
n
2
1
1
2
(
n
1)
3
n
1
n
2
3
n
1
(
n
< br>1)
3
3
n
．
<
/p>
2
2
2
法二：因
为
(2
k
1
)
3
[(
k
1)
<
/p>
2]
3
k
k
1
(
k
2)
3
k
(
k
1)
< br>
3
k
1
(
k
2)
3<
/p>
k
．所以
S
<
/p>
[0
3
2
(
1)
3
1
]
[1
3
3
0
< br>3
2
]
[2
3
4
1
3
3<
/p>
]
[(
n
1)
3
n
1
(
n
2)
< br>3
n
]
＝
(
n
－
1)
3
n
＋
1<
/p>
＋
3
．代入得
a
1
k
1
+
a
2
k
2
+
+
a
n
k
n
< br>1
1
2
(
n
1)
3
n
1
<
/p>
n
2
3
n
1
(
n
1)
3
< br>
3
.
2
n
2
2
5
．
(
江苏省南京
市
2015
届高三上学期
9
月调考数学试卷
)
已知
a
n
是等差
数列，其前
n
项
的和为
S
n
，
b
n
是等比数列，且
a
1
b
1
2
，
a
4
b
4
21
，
S
4
b
4
30
.
(1)
求数列
a
n
和
b
n
的通项公式；
(2)
记
c
n
a
n
b
n
,
n
N
*
，求数列
c
n
的前
n
项和
.
【考点】数列的求和，数列递推式
.
【解】
(1)
设等差数列
a
n
< br>的公差为
d
，等比数列
b
n
的公比为
q
.
由
a
1
b
1
2
，得
a
4
=2+3
d
，
b
4
2
q
3
，
S
4
8
6
d
2<
/p>
3
d
2
q
3
21
d
1
由条件
a
4
b
4
< br>21
，
S
4
b
4
30
，得方程组
解得
3
q
2
8
6
d
<
/p>
2
q
30
所以
a
n
n
1
，
b
n
2
n
，
n
N
*
.
(2)
< br>由题意知，
c
n
(
n
1)
2
n
.
< br>记
T
n
c
1
c
2
c
3
c
n
.
则
T
n
c
1
c
2
c
3
c
n
=
2
<
/p>
2
3
2
4
2
n
2
2
3
n
1
（
n
1<
/p>
）
2
n
，
2
T
n
2
2
2
3
2
3
4
2
4
<
/p>
n
2
n
（
n
1
）
2
n
1
，
所以
T
n
=2
2
(2
2
2
3
2
n
1
2
n
)
(
< br>n
1)2
n
< br>
1
，
T
n
n
2
n
1
(
n
N
*
)
.
6.
（
15
淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）
已知
{
a
n
}
为等比数列，
其中
a
1
=1
，且
a
2
，
a
3
a
5
，
a
4
成等差数列．
（<
/p>
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式：
（
2
）设
b
n
（
2
n
﹣）
1
<
/p>
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前<
/p>
n
项和
T
n
．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【解】
（
1
）设在等比数列<
/p>
{
a
n
}
中，公比为
q
，
<
/p>
∵
a
1
1
，且
a
2
，
a
3
a
5
，
a
< br>4
成等差数列，
∴
2
（
a
3
a
5
）
a
2
a
4
，