《数列求和》复习课教学设计
辣椒酱的制作-
《数列求和》复习课教学设计
江西省铜鼓县铜鼓中学漆赣湘
教学目
标：
会用分组求和、裂项相消法、错位相减法等方法求一些特殊数列的和。
教学重点：
分组求和、裂项相消法、错位相减法<
/p>
教学难点
：用裂项相消法、错位相减法
求和
教学过程
：
一、复习引入
等差数列、
等比数列的前
n
项和公式是怎样的，
应用时应注意哪些问题？对于一些特殊
的数列在不能直接利用公式求和的情况
，
该如何求和呢，
今天就给同学们讲解这方面的问题。
二、例题选讲
1
、分组求和
例
1
（
2011
山东）等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
,
a
2
,
< br>a
3
分别是下表第一、二、三行中的某一个
数，且
a
1
,
a
2
,
a
< br>3
中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
3
6
9
2
4
8
10
14
18
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
n
（
2
< br>）若数列
{
b
n
}
满足：
b
n
a
n
(
1)
ln
a
n
，求数列
{
< br>b
n
}
的前
2
n
项和
S
2
n
．
分
析：
(1)
中要构成等比数列，要求每项与前一项的比是同一个
不为０的常数，只需找
到答要求的三个数即可；
(2)
中先求出
b
n
，再根据
其特征拆分成特殊数列分组求和即可．
解：
< br>（
1
）
当
a
1
3
或
a
1
10<
/p>
时，不合题意；当
a
1
< br>
3
时，当且仅当
a
2
6
，
a
3
18
< br>时，
n
1
符合题意，所以公比为
q
3
。所以
a
n
2
3
．
n
（
2
）
b
n
＝
< br>a
n
(
1)
ln
a
n
＝
2
3
＝
2
3
n
1
(
1)
n
ln(2
3
n
1
)
(
< br>1)
n
[ln
2
(
n
1)ln
3]
(
1)
n
< br>(ln
2
ln
3)
(
< br>1)
n
n
ln
< br>3
．
n
1
＝
2
3
n
1
所以
S
2
n
＝
b
1
b
2
－
ln
3)
＋
[
1
2
3
b
2
n
＝
2(
1
3
3<
/p>
2
3
2
n
1
)
＋
[
1
1
1
(
1)
2
n
]
(ln
2
(
1)
2
n
1
3
2
n
n
ln
3
＝
3
2
n
n
ln
3
1
．
< br>2
n
]ln
3
< br>＝
2
1
3
点评：
利用解析式的变形，
将一个数列分成若干个可以直接求和的数列，
即为分组求和
法，这当中体现了转化的数学思想．分组求和时一定要注意分组的合理性及计算的准确性．
2
、裂项相消
<
/p>
例
2
（
2011
课
标
全
国
卷
）
等
比
数
列
{
a
n
}
的
各
< br>项
均
为
正
数
，
且
2
a
1
3
a
2
1
，
2
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）设<
/p>
b
n
log<
/p>
3
a
1
log
3
a
2
a
3
9
a
2
a
6
．
log
3
a
n
，
求数列
{
1
}
的前
n
项和．
< br>b
n
1
}
的通项，再将其转化为
b
n
分析：<
/p>
（
1
）只需通过已知条件求出
a
1
，
q
；
（
2
）可先求出
{
两项的差，利用裂项相消的方式求和．
2
2
2
解：
（
1
）设公比为
q
(
q
0)
．由
a
3
，即
(
9
a
2
a
6
得，
a
3
9
< br>a
4
a
4
2
1
)
q
2
，所以
a
3
9
1
1
．由
2
a
1
3
a
2
1
得，
2
a
1
3
< br>a
1
q
1
，所以
a
1
．故数列
{
a
n
}
的通项公式为
3
3
1
a
n
< br>
n
．
3
q
（
2
）因为
log
3
a
n
log
3
3
n
n
，所以
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
n
(1
2
n
)
1
2
1
1
n
(
n
1)
2(
)<
/p>
．
．故
b
n
n
(
n
1)
n
n
1
2
1
1
1
1
2[
(1
)
(
)
b
n<
/p>
2
2
3
所
以
1
1
b
1
b
2
1
1
2
n
，
即
数
列
(
<
/p>
)
]
n
n
1
n
1
1
2
n
{
}
的前
< br>n
项和为
．
< br>
b
n
n
1
点评：
把数列的通项拆成两项的
差，
使正负项相消，则数列的和即为剩余的项的和，此
为裂项相
消法．
使用此方法要注意消去了哪些项，
保留了哪些项．
由于每一项均可拆分为一
正一负两项，
所以互
为相反数的项合并为零后，
剩余的正数项与负数项必是一样多的，
切不
可漏写未被消去的项．通常
3
、
错位相减
k
1
1
k
n
k
n
．
，
n
(
n
k
)
n
n
< br>
k
n
k
n