等差数列证明专
郭小亮-
等差数列专题
1
课
题
教学目标
让学生掌握等差数列及等比数列的概念及性质，
学会求和公式的运用
重点把握通项公
式和前
n
项和公式
,
< br>对于性质主要是理解
(
也就是说自
．．
重点、难点
己能推导出来
),
具体运用时就能灵活自如
.
特别是推导过程中运用的方法
,
是我们研究其他数
列的一种尝试
.
如推导等差数列通项公式的
“累差”
法和
推导等比数列通项公式的“累积”法，是我们
求其他数列通项公式的一种
经验
.
又比
如推导等差数列求和公式的
“倒序相加法”
和推导等比数列求和
公式的“错位相减法”都是数列求和的重要技巧
.
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础
.
在高考和各种数
考点及考试要求
学竞赛中都占有重要的地位
.
数列求
和是数列的重要内容之一，除了等差
数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都
需要一定的技巧
.
教学内容
知识框架
定义
等差数列
等比数列
a
n
1
a<
/p>
n
d
(
d
为常数
,
n
≥
2
)
a
n
1
q
(
q
< br>0,
且为常数
,
n
≥
2)
a
n
a
n
a
n
1
q
(
a
n
<
/p>
a
m
q
n
m
)
递推
公式
通项
公式
中项
a
n<
/p>
a
n
1
d
(
a
n
a
m
(
n
m
)
d
)
a
n
a
1
(
n
1)
d
a
n
a
1
q
n
1
（
a
1
,
q
0
）
G
<
/p>
a
n
k
a
n
k
(
a
n
k
a
n
k
0)
（
n
,
k
N
,
n
≥
k
≥
0
）
*
< br>A
a
n
k
a
n
k
2
*
（
n
,
k
N
,
n
k
< br>0
）
前
n
项
和
n
S
n
(
a
1
a
n
)
2
n
(
n
1)
na
1
< br>
d
2
d
d
n
2
a
1
n
2
2
< br>
na
1
(
q
1)
S
n
a
1
q
n
a
a
q
1
n
1
< br>
(
q
1)
1
q
1
q
<
/p>
重要
性质
①<
/p>
等和性
:
a
m<
/p>
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
,
m
n
p<
/p>
q
)
②
a
n
a
m
(
n
m
)
d
*
①
等积性
:
a
m
a
n
a<
/p>
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
,
m
n
p
q
)
n
<
/p>
m
②
a
n
a
m
q
*
③从等差数列中抽取等距离的项组成
③从等比数列中抽取等距离的项组成
的数列是一个等差数列。
如：
a
1
,
a
4
,
a
7
,
a
10
,
< br>
（下标成等差数
列）
<
/p>
证
明
证明一个数列为等差数列的方法：<
/p>
方法
1.
定义法
a
n
1
<
/p>
a
n
d
(
常数
)
2.
中项法
a
n
1
<
/p>
a
n
1
2
a
n
(
n
2)
的数列是一个等比数列。
如：
a
1
,
a
4
,
a
7<
/p>
,
a
10
,
（下标成等差数
列）
证明一个数列为等比数列的方法：
1.
定义法
a
n
1
<
/p>
q
(
常数
)
a
n
2
2.
中项法
a
n
1
a
n
1
（
a
n
）
(
n
2)
设
元
三
数等差：
a
d
,
a
,
a
d
技巧
<
/p>
四数等差：
a
3
d
,
a
<
/p>
d
,
a
d
,
a
3
d
三数等比：
a
,
a
,
aq
或
a
,
aq
,
aq
2
q
2
3
< br>四数等比：
a
,
aq
,
aq
,
aq
联系
真数等比，对数等差
;
指数等差，幂值等比。
考点一：数列求和
典型例题
2
例
1.
已知数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
2
n
n
,
求数列
a
n
的通项公式
.
例
2.
已知
a
1
3
且
a
n<
/p>
S
n
1
2
n
，求
a
n
及
S
n
．
例
3.<
/p>
已知
a
1
1
，
S
n
n
2
a
n
(
n
< br>≥
1)
求
a
n
及
S
n
．
<
/p>
例
4.
求和
1<
/p>
1
1
1
. <
/p>
1
2
1
2
3
1
2
3
n
1
1
1
1<
/p>
1
,3
,5
,7
,
…
,(2n
－
1)+
n
的前
n
项之和为
S
n
，则
S
n
等于
( )
2
4
8
16
2
1
1
2
2
(A)n
+1
－
n
(B)2n
－
n+1
－
n
2
2
1
1
2
2
(C)n
+1
－
n
1
(D)n
－
n+1
－
n
2
2
例
5.
数列
1
例
6.
求和
:
S
1<
/p>
2
x
3
x
4
x
2
3
nx
< br>n
1
知识概括、方法总结与易错点分析
1
.
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
(
n
1)
S
1
a
n
S
S
(
n
≥
2)
n
1
n
2
2
例
1.
当
n
1
时，
a
1
S
1
1
,
当
n
≥
2
时，
a
n
< br>
2
n
n
2
(
n
1
)
(
n
1
)
4
n
3
,
经检验
n
1
< br>时
a
1
1
也适合
a
n
4
n
3
,
∴
a
n
4
n
3
(
n
N
< br>)
2.
数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
关键是找数列的通项结构。
重点把握通项公式和前
n
项和公式
,
对于性质主要是理解
(
也就是说自己能推导出来
),
具体运用
．．
时就能灵活自如
.
特别是推导过程
中运用的方法
,
是我们研究其他数列的一种尝试
.
如推导等差数列
通项公式的“累差”法和推导等比数
列通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种
经验
.
又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相
减法”都
是数列求和的重要技巧
.
注
:
⑴等差、等比数列的证明须用定义
证明
;
⑵数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等
比数列的通项公式、
前
n
项和公式及其性质熟练地进行计算，
是高考命题重点考查的内容
.
⑶解答有
关数列问题时，
经常要
运用各种数学思想
.
善于使用各种数学思想解答数列题，
是我们复习应达到的
目标
.
< br>①函数思想：
等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是
n
的函数，
所以等差等比数列的
某
些问题可以化为函数问题求解
.
a
1
(
1
q
n
)
②分类讨论思想：用等比数列求和公式
应分为
S
n
(
q
1
)<
/p>
及
S
n
na
1
(
q
1
)
；已知
S
n
1
q
求
a
n
< br>时，
也要进行分类；
③整体思想：
在解数列问题时，
应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，
运用整体思想求解
.
⑷在解答有关的数列应用题时，要认真地进
行分析，将实际问题抽象化，转化为
数学问题，
再利用有关数列
知识和方法来解决
.
解答此类应用题是数学能力的综合运用，<
/p>
决不是简单
地模仿和套用所能完成的
.<
/p>
特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错
.
针对性练习
例
7.
等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1
1
11
，
a
6
< br>，
a
n
=33
，则
n
为（
）
3
3
(A)48
(B)49 (C)50 (D)51
例<
/p>
8.
在等比数列
a
n
中
,
a
7
12,
q
3
2
,
则
a
19
_____.
例
9.
2
<
/p>
3
和
2
3
的等比中项为
( )