数列求和的8种常用方法(最全)(1)_最新修正版
写雨的古诗-
最新修正版
求数列前
n
项和的
8
种常用方法
一
.
公式法
(
定义法
)
：
1.
等差数列求和公式：
^^4=
na1+ ^d
n
2
'
2
特别地，当前
n
< br>项的个数为奇数时，
=(2k+1)£k4
1
，即前
n
项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时
候可以简化运算；
2.
等比数列求和公式：
(
1
)
q
=
1
，
S
n
= na
1
；
f
1 n
]
(
2
)
qH
1
，
S
a1
n
=
~q
，特别要注意对公比的讨论
;
1
-q
3.
可转化为等差、等比数列的数列；
4.
常用公式
：
n
(1)
S
k
=
1
+<
/p>
2
+
3
+
L
+
n
=-
n(n
+
1)
1
;
k
-1
2
(2)
n
送
k
3
1
1)
=
=-n(n
1
1
2
= 1
2
+
2
2
+
2
+
L
+
n
2
=-n(n
+
1)(2n
+
2
+-
)(n
+
1)
3
；
(3)
Z
壬
k
3
=
1
3
+
2
3
+
3
3
+
L
+
n
3
=[^!^]
2
;
k
2
n
2
(2k
_
1
) = 1
+
3
+
< br>5
+
L
+
(2n-1) = n
.
2
k
仝
已知
log
3 X
=__
log
，求
X
+
X
2
+
X
3
+
HI
+
x
n
的前
n
项和
.
2
3
_
1 1
解：由
log
3
X =
=
log
3
X
= -log
32=
x =
—
log
2
3
由等比数列求和公式得
S
n
= X
+
X
2
+
X
3
+
L
+
x
n
x(1-x
n
)_
2
(1
J
2
例
2
设
S
n
=1
+
2
+
3
+iit
+
n
，
4
的最大值
.
1
1
解：易知
S
n =
—
n(n
+
1)
，
<
/p>
S
n+=
丄
(n
+
1) (n+2)
2
2
二
f(n)=
-
----
Sn
-----
2
n
(n +32)S
n
n +34n
+64
十
____
1
___
＜
_
1
丄
n +34
+
戲
二当
<
/p>
U
n
—
拓
，即
n=8
时，
(
石
f( n)
-
¥
)
=
50
丄
max
50
k
仝
6
最新修正版
■
倒序相加法
:
如果一个数列
｛
a
j
，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的
前
n
项和即可用倒序相加法。如：等差
数列的前
n
项和即是用此法推导
就是将一个数列倒过
的，
来排列
(
反序
)
，再把它与原数列相加，就可
以得到
n
个
(
印
+
a
n<
/p>
)
.
例
3
求
sin
2
1
°+
sin
^^+
sin
込
^
< br>十
…
+
sin
< br>2
88
°+
sin
2
89
°
的值
解：设
S
=sin
S^
+
sin
2
2Q
+
sin^^
+ …+
sin
2
88°
+
sin
2
89Q
.
....
①
将①式右边反序得
S
=sin
2
89
0 +
sin
2
88
+
■…
+
sin
2
3
° +
sin
2
2
° +
sin
2
1
②
(
反序
)
又因为
sin X
=cos(90°
-x),sin
2
x
+
cos
2
x=1
①
+
②得
(
反序相加
)
2S =(sin 1
+
cos 1
)
+
(sin 2
+
cos 2)
+
< br>…
+
(sin 89
+
cos 89 )
=
89
••• S
=
44.5
9
9
9
9
9
.
错位相减法
:
适用于差比数列
(
如果
｛
a
j
等差，
｛
b
n
｝
等比，那么
｛
a
n
b
j
叫做差比数列
)
即
把每一项都乘以
的公比
q
，向后错一项
，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和
女口：等比数
列的前
n
项和就是用此法推导的
.
例
5
求和：
S
n
=1
+
3x
+
5x
2
+
7x
3
+
…
+
(2n
-
彷心
.............
①
解：由题可知，
｛
(2 n-1)x<
/p>
n
」｝的通项是等差数列
b
n
-
1
的通项与等比数列<
/p>
｛
x^
｝
的通项
之积
设
xS
n
=1x
+
3x
2
+
5x
3
+
7x
4
+
…+
(2n
_
1)x
n
..............
②
(
设制错位
)
①一②得
(1 -x)S
n
=1
+
2x
+
2x
2
+
2x
3
+
2x
4
+
…
+
2x
2
—
(2
门
_
〔用
(
错位相减
)
1
_x
n
^
即：
(1-x)S
n
=1
+
2x
”
-
-------
-(2n-
1)x
n
1 -x
.c
(2n-
1)x
n
*
-(2n
+
1)x
< br>n
+
(1
+
x)
b
n
｝
｛
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(1-X)
2
变式求数列
2,
弓
,-
6
3
,
…
< br>;
牛，
…
前
n
项的和
.
2
2
2
2
3
2
n
解：由
题可知，
(
牟
!
的通项是等差数列
｛
2n
｝
的通项与等比数列
｛丄｝的通项之积
l
2
n
J
、八
C
2
亠
4
丄
6
丄
丄
2n
设
S
n
=
—
…+匚
……
2
2
2
2
3
2
n
Is
= 2
十
-
4
十
-
6
+…
…
C 5
_ 2
_ 3
_4
_n
4
t
2
2
2
2
2
①
-
②得，
(1
—
丄
0/+
刍
+
刍
+
刍+…
+*-
孕
2
3
4
…
S
2 2
2
2
2
n
二
二
S
n
十器
四
.
裂项相消法
：<
/p>
....
.
...
②
2
n
2
n
2
n
(
设制错位
)
(
错位相减
)
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即把每一项都拆成正负两
项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解与组合思想
(
分
是为了
更好地合
)
在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项
(
通项
)
分解，然
后重新组合，使之能消
去一些项，最终达到求和的目的
.
适用于
:
n
a
其中
｛
a
j
是
各项不为
£
n
H
1
J
0
的等差数列，
c
为常数；部分无理数列
、含阶乘的数列等。其基本方法是
f
(
n
)
.
常见裂项公式：
(1)
1 1 1
n(n
-M
) n n
+
1
1
a
n
= f
(
n
+
1
)
—<
/p>
一
1
一
=2(2
——
)
；
—
—
=
丄
(
丄—
^L)
(
｛
a
j
的公差为
d
)
；
n(n
+
k)
k n
n
+
k
a
.
£.出
d
a
n
a
^
4
a
a
十
—
］
一
=
2(
7
0
d
語
-
屈
).(
根式在分母上
时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
)
J
n
+J
n
H
1
11. .
--------
=_
［
----
--------
］；
(3)
n(n
_
1)(n
4
1)
2 n(n
+
1) (n
+
1)(n
+
2)
1
a
n
2
(2n)
1 1
1
—
(2n-1)(2n
+
1) =2(2n -1
2n
+
1)
；
a
n
-(2n
-
1)(2n
+
1)
1 1 1
十
冇一話；
(
(5
)
a
n
+
2
n
1 _ 2(n
+
1) -n
n(n
+
1)
1
-n(n
+
1)
< br>sin
n
(6
)
i=tan(n
+
1) -tann
2
;
n
1
cosn cos(n
+
1)
-
=
—
K-
帚話；则
i
(7
)
(8)
n 1
(n
+
1)! ~n!
(n
+
1)!
常见放缩公式：
2(
7^
-
扁
)=
~
__
厂
<
丁
<
―
_:
=<
/p>
2(
7
n
-s^
).
2
1
1
1
求数列
，
”
”
；
，
…
的前
n
项
和
.
1
+V
2
V
2
+
J
3
V
n
+
J
n
+
1
解：设
a
n
=
—
:
=
J
n
+
1
—
j
n
V
n
+V
n
+
1
1 1
贝
H s
=
一——
+
----
---
+
Sn
则
1
+V
i
7
2
+
逅
需
*0
=(
运<
/p>
-#
1)
+
(
J
3
-
(0
)
+
…
+
(
J
n
+
1
-Ui
)
=
J
n
+
1
-1
J
n
-H
+V
n
J
n
J
n
+V
n
—
——
(
裂项
)
(
裂项求和
)
求和
S
n
1
咒
3
3
咒
5 5^7
(2n
—
1)(2
n
+
1)
在数列
｛
a
n
｝
中
,
a
n
=
…
，又
b
n
n
+
1
n
+
1
n
+
1
亠
2
亠
亠
n n
n
+
1
n
+
1
n
+
1 2
解
:
2 1 1
< br>=
丄
+
川
+
-an
=
-
-
+
--
+
…+
-
=
—
-
b
n
=
n
n
+
彳
=8(-
-
〒<
/p>
)
2 2
，
求数列
t
b
j
的前
n
项的和
.
a
n
2
时
n .
n
1
(
裂项
)
n n
+
1
最新修正版
2 2