美国人口增长预测模型
爱你爱的好疲惫-
2016
年数学建模论文
第
一
套
论文题目：
人口增长模型的确定
组
别：
第
35
组
姓
名：
耿晨
闫思娜
王强
提交日期：
2016
年
7
月
4
日
..
题目：美国人口增长预测模型
摘
要
本文根
据近两个世纪美国每十年一次的人口统计数据，建立了指数增长模型，即
Malthus
模型，并通过
1790-1890
年的
数据验证了它的准确性。但是，随着时间的推
移，拟合函数与统计数据误差逐渐增大，所
以，又建立了阻滞增长模型，即
Logistic
模型，这个模
型的拟合函数与统计数据误差较小，并用该模型对美国未来几年的人口
做出了预测。总体
来说，阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯
人口指数增长模型。<
/p>
关键词：
指数增长模型，阻滞增长模型
，人口预测
..
一、问题重述
1790-1980
年间美国每隔
10
年的人口记录如下表所示。
表
1
：人口记录表
年份
6
人口
(
10
)
年份
6
人口
(
10
)
1790
3.9
1890
62.9
1800
5.3
1900
76.0
1810
1820
1830
1840
1850
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
1910
1920
1930
1940
1950
92.0
106.5
123.
131.
150.
2
7
7
1860
31.4
1960
179.
3
1870
38.6
1970
204.
0
1880
50.2
1980
226.
5
1.
试用以上数据建立马尔萨斯
(Malthus)
人口指数增
长模型，
并对接下来的每隔十
年预测五次人口数量，并查阅实际
数据进行比对分析。
2.
如果数据不
相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并
对两次预测结果进行对
比分析。
3.
查阅资料找出中国人口
与表
1
同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行
人口预测与分析。
二、问题分析
影响人口增长的因素很
多，其中最主要的两个因素是出生率和死亡率。出生率受
到婴儿死亡率、对避孕的态度及
措施效果、对堕胎的态度、怀孕期间的健康护理等因
素的影响；死亡率则受到卫生设施与
公共卫生状况、战争、污染、医疗水平、饮食习
惯、心理压力和焦虑等因素的影响。此外
，影响人口在一个地区增长的因素还有迁入
和迁出、生存空间的限制、水和食物、疾病等
。在这些因素中，有些是常态的或者有
规律的，这些因素对人口的增长是恒定的；而有些
因素是随机的，对人口的增长是没
有规律的。因此，当大范围、长时期研究人口增长问题
时，对人口增长产生影响的随
机因素就不在考虑了。
建立该模型的目的是要能通过模型预测美国后来每十年的人口数具体变化，并与
< br>实际的数据进行对比，看误差的大小。在此基础上利用改进的模型对美国人口同时期
数量进行预测，并进行总结分析。
三、问题假设
人口指数增长模型中采用以下基本假设：
（
1
）单位时间的人口总量增长与当时的人口呈正比，比例
常数为
k
；
（
2
）假设
t
时刻的人口为
N(t)
，因为人口数一般是很大的，所以将
N(t)
近似地
视为连续，可微的函数。记
初始时刻（
t=0
）的人口数为
N
0
。新生人口数百分率为
a
，
死亡的百分率为
b
，那么<
/p>
,
经过
Δ
t
时间后，人口数量为
N
（
< br>t+
Δ
t
）就是原来人口数量<
/p>
加上
Δ
t
时间内
新生人口数减去死亡人口数。
四、变量说明
..
t
0
：数据
的起始时间，即
1790
年；
t
：时间变量；
r
：人口固有增长率；
N
0
：当时间
t=1790
时的人口数量，即
3.9*10^6
人
；
N(t)
：
t
时刻人口数量；
N
m
：最大人口容量。
五、模型建立
在
Malthus
的人口指数增长模型中，根据假设我们可以得到：
< br>
N
t
t
N
t
aN
t
t
bN
t
t
（
1
）
上式进行变形，
N
aN
t
bN
t
kN
<
/p>
t
，
t
（
t
+
t
）
-N(t)
其中，
N
N
可见在一段时
间内，人口的变化和人口的数量成正比，用瞬时变化率逼近平均变
化率得：
kN
dN
dt
N
(
t
0
)
N
0
（
2
）
式中：
N
0
--<
/p>
初始时刻的人口数；
N--
人口数。
用分离变量法得到上述方程的解为：
<
/p>
N
t
N
0
e
kt
（
3
）
e
kt
0
k
(
t
t
)
即方程的解为
N
N
0
< br>e
0
（
4
）
六、模型求解
利用
< br>MATLAB
数学工具，对数据中前十一年
(1790-
1890)
的人口数拟合（
4
）式
.
现
对问题进行变形以便处理，对（
4
）式进行取对数，得：
< br>ln
N
k
t
t
0
ln
N
0
（
5
）
取
t
0
0
，在
MATLAB
中
输入程序（程序
1
）
：
可以得到
k=0.2808;
lnN
0
=1.4107
即
N
0
=4.0988
..
所以
1790
年到
1890
年的拟合函数为
线性函数
ln
N
0.2808
t
1.4107<
/p>
，
所以：
N<
/p>
4.0988
e
0.2808
t
（
6
）
绘制离散点和拟合函数的图像进行对比，在
MATLAB
中输入程序（程序
2
）
：
得图
1
如下：
图
1:1790-1890
年美国人口拟合曲线图
比较拟合的曲线图和散
点图（图
1
）可以发现与
19
世纪的人口增长情况相吻合。
类似地，可以求出
1790
年至
1990
年的拟合函数为
N
5.5
918
e
0.2142
t
（
7
）
拟合过程如下：
在
< br>MATLAB
中输入程序见（程序
3
）
：
可以得到
k=0.2142
l
n
N
0
=
1.
7213
即
N
0
=
5.5918
所以
1970
年到
1990
年的拟合函数为线性函数
y
0.2142
x
1.7213
，所以：
N
5.5918
e
0.2142
t
绘制离散点和拟合函数的图像进行对比，在
MATLAB
中输入程序（程序
4
）
，
得图
2
如下：
..
图
2:1790-1990
年美国人口拟合曲线图
此时我们可以观察到虽然前期的数据能较好的吻合，但是随着时间的推移并不
能
很好的反应后期的人口真实情况，函数估计值与统计数据的误差越来越大。这说明，<
/p>
用指数增长模型预测短期人口的数量可以得到较好的结果，但是从长期来看，任何地
区的人口数量都不可能无限制地增长。因此，指数增长模型不适合预测长时期人口的
增长情况。
Malthus
模型中，我们只考虑了出生率和死亡率对人口的影响，而忽略了其他因
素如自然资源
、生存环境等对人口的影响。然而这些因素对人口增长起着阻滞作用，
并且随着人口数量
的增加，阻滞作用也会增大。因此需要将增长率
k
看作是人口数
量
的函数，
丹麦生物学家
Pierre
-Francois-Verhulst
在指数增长模型的基础上建立了改
进的
Malthus
模型，即
Logistic
模型。
一般来说
人口的增长率是变化的，当人口较少时，增长速度较快，增长率较大；
当增加至一定的数
量时，增长速度必然会减慢，增长率开始减小。因此增长率
K
应
该
视为人口数量的函数。
在修正的人口阻滞增长模型中，有以下假设：
（
1
）
假设人口增长率
k(t)
是
t
时人口
N(t)
的函数，
随着人口的增加，<
/p>
自然资源、
环境条件等对人口增长的阻滞作用越来越明显，
k(N)
应是
N
的减
函数
.
一个简单的假设是
k(N)<
/p>
是
N
的线性函数，
k(N)=r-sN
，其中
s>0
，
k>0
式中
r
称为
固有增长率，表示人口很少时的增长率。其中
s
k
(N
m
称为最大人口容量
)
。
<
/p>
N
m
（
2
）考虑自然资源和环境因素所能容纳的最大人口数量
N
m
，当
N=N
m
时增长率为
0
（环境饱和）
，即
k(N
m
)=0
< br>。
..
< br>考虑环境因素的限制因素，对于阻滞增长模型，在假设的前提下我们可以得到
<
/p>
k
(
x
)
r
(1
N
)
(8)
N
m
式中：
k
(
x
)
——
人口增长率；
N
m
——
最大人口容量。
在上式的假设前提下，指数模型可以修改为：
dN
N
< br>
rN
1
dt
N
m
N
(
t
0
)
N
0
(9)
上述方程称为阻滞增长模
型（
Logistic
模型）
，上述方
程中我们可以看到，方程
1
N
右面的因子中，
当
N
增大时，
相应的
< br>
N
m
将会减小，
< br>即人口增长由这两个因子控制，
比较符合实际情况。方
程（
9
）的解为
N
(10)
N
m
（
r
t
-t
0
）<
/p>
1
1
e
N
0
N
m
在（
9
）式中，当时间
t
无限大时，
N
接
近限制
Nm
，这表明随时间推移人口数最大
达到饱和值
Nm
，进一步考虑增长率变化问题，由（
9
）式可得：
d<
/p>
2
N
dt
2
d
2
N
dt
2
2
N
dN
r
1
< br>
N
dt
m
令
=0
，则
N
N
m
，这表明当人口数量达到最大人
口数一半时，人口增长
2
率达到最大，此后开始不断减小。不同
时期的增长率见图三所示（见程序
5
）
；
..