第2章 §1 变化的快慢与变化率(有答案)
于丹讲论语-
第
2
章
§
1
变化的快慢与变化率
A
级
基础巩固
一、选择题
1.
如图，函数
y
＝
f
(
x
)
在
A
，
B
两点间的平均变化率等于<
/p>
(
B
)
A
．
1
C
．
2
1<
/p>
－
3
[
解析
]
平均变化率为
＝－
1.
3
－
1
2
< br>．
已知函数
f
(
x
)
＝－
x
< br>2
＋
x
，则
f
(
x
)
从－
1
到－
0.9
的平均变化率为
(
D
)
A
．
3
C
．
2.09
[
解析
]
<
/p>
f
(
－
1)
＝－
(
－
1)
2
＋
(
－
1)
＝－
2.
f
(
－
0.9)
＝－
(
－
0.9)
2
＋
(
－
0.
9)
＝－
1.71.
f
－
0.9
－
f
－
< br>1
－
1.71
－
－
2
∴平均变化率为
＝
＝
2.9
，故应选
D.
0
.1
－
0.9
－
－
1
3
．
一运动物体的运动路程
S
(
x
)
与时间
x
的函数关系为
S
(
x
)
＝－
x
2
＋
2
x
，则
S
(
x
)
从
2
到
< br>2
＋
Δx
的平均速度为
(
B
)
A
．
2<
/p>
－
Δx
C
．
2
＋
Δx
[
解析
]
<
/p>
∵
S
(2)
＝－
2
2
＋
2
×
2
＝
0
，
∴
S
(2
＋
Δx
)
＝－
(2
＋
Δx
)
2
＋
2(2
＋
Δx
)
＝－
2
Δx
－
(
Δx
)
2
，
S
2
< br>＋
Δx
－
S
2
∴
＝－
2
－
Δ
x
，故应选
B.
2
< br>＋
Δx
－
2
1
4
．
(2019·
长春期末
)
对于函数
y
＝
，当
Δx
＝
2.018
时，
Δy
的值是
(
D
)
x<
/p>
A
．
2018
C
．
0
1<
/p>
[
解析
]
∵函数
y
＝
，
x
B
．－
2018
D
．不能确定
B
．－
2
－
Δx
D
．
(
Δx
)
2
－<
/p>
2·
Δx
B
．
0.29
D
．
2.9
B
．－
1
D
．－
2
－
Δx
1
1
∴<
/p>
Δy
＝
－
＝
x
＋
Δx
x
x
x
＋
Δx
∵
Δx
＝
2.018
，
－
2.018
∴<
/p>
Δy
＝
，不确定．
x
x
＋
2.018
故选
D.
5
．
函数
< br>y
＝
f
(
x
)
＝
x
2
在区间
[
x
0
，
x
0
＋
Δ
x
]
上的平均变
化率为
k
1
，在区间
< br>[
x
0
－
Δ
x
，
x
0
]
上的平
均变化率为
< br>k
2
，则
k
1
与
k
2
的大小关系为
(
A
)
A<
/p>
．
k
1
＞
k
2
C
．
k
1
＝
k
2
B
．
k
1
＜
k
2
D
．不确定
f
x
0
＋<
/p>
Δx
－
f
x
0
x
0
＋
Δx
2
－
x
2
0
[
解析
]
k
1
＝
＝
＝
2
x
0
＋
Δx<
/p>
，
Δx
Δx<
/p>
2
f
x
0
－
f
x
0
－
Δx
x
2
< br>0
－
x
0
－
Δx
k
2
＝
＝
＝<
/p>
2
x
0
－
Δx
.
Δx
Δx<
/p>
由题意知：
Δx
>0
，∴
k
1
>
k
2
，选
A.
二、填空题
6
．
物体做匀速运动，
其运动方程是
s
＝
v
t
，
则该物体在运动过程中的平均速度与任何时
刻的瞬时速度的关系是相
等．
[
解析
]
物体做匀速运动，所以任何时刻的瞬时速度都是一样的．
7
．若物体运动方程为
s
< br>(
t
)
＝－
2
t
2
＋
t
，则其初速度为
1_.
2
Δs
[
－
2
0
＋
Δt
＋
0
< br>＋
Δt
]
－
0
[
解析
]
物体的初速度即
t
＝
0
时的瞬时速度，
＝
＝－
2
Δt
＋
1
，
Δt
Δt
Δs
当
Δt
趋于<
/p>
0
时，
趋于
1<
/p>
，即初速度为
1.
Δt
8
．
在自行车比赛中，
运动员
的位移
s
与比赛时间
t
存在函数关系
s
＝
10
t
＋
5
t
2
(
s
单位：
m
，
t
单位：
s)
，则
t
＝
20 s
时的瞬时速率为
210_m/s__.
Δs
[
解析
]
由导数的定义知在
t
＝
20
s
时的瞬时速度为<
/p>
v
＝
＝
Δt
10
t
＋
Δt
＋
5
t
＋
Δt
2
－
10
t
－
5
t
< br>2
＝
10
＋
10
t
＋
5
Δt
.
Δt
当
Δt
趋于
0
时，
< br>v
趋于
10
＋
< br>10
t
，则
v
＝
10
×
20
＋
10
＝
210.
三、解答题
9
．求函数
y
＝
f
(
x
)
＝
1
在区间
[1,1
＋
< br>Δ
x
]
内的平均变化率．
x
－
1
1
＋
Δx
1
[
解析
]
∵
Δy
＝
f
(1
＋
Δx
)
－
f
(1)
＝
＝
1
－
1
＋
Δx
1
＋
Δx
1
－
1
－
Δx
1
＋
Δx
.
1
＋
Δx
<
/p>
1
＋
Δx
＝
1
＋
1
＋
Δx
－
Δx
＝
1
＋
1
＋
Δx
Δy
∴
＝
< br>Δx
－
1
1
＋
1
＋
Δx
10
．已知质点
M
按规律
s
＝
3
t
2
＋
2
做直线运动
(
位移单位：
cm
，时间单位：
s)
．
Δs
(1)
当
t
＝
2
，
Δt
＝
0.01
时，求
；
Δt
< br>(2)
求质点
M
在
t
＝
2
时的瞬时速度．
Δs
s
t
＋
Δt
－
s
t
[
解析
]
＝
Δt
< br>Δt
3
t
＋
Δt
2
＋
2
－
3
t
2
＋
2
＝
Δt
＝
6
t
＋
3
Δt
.
(1)
当
t
＝
2
，
Δt
＝
0.01
时，
Δs
＝
6
×
2
＋
3
×
0.01
＝
12.03cm/s.
Δt
(2)
当
Δt
趋于
0
时，
6
t
＋
3
Δt
趋于
6
t
，
∴质点
M
在
t
＝
< br>2
时的瞬时速度为
12cm/s.
B
级
素养提升
一、选择题
1
1
．在
x
＝
1
附近，取
Δx
＝
0.3
，在四个函数①
y
＝
x
、②
y
＝
x
2
、③
y
＝
x
3
、④
y
＝
中，平均
x
变化率最大的是
(
B
)
A
．④
C
．②
B
．③
D
．①