余数问题(教师版)
农村土地承包经营权流转管理办法-
余数问题
精心整理
知识精讲
一、带余除法的定义及性质
一般地，
如果
a
是整数，
b
是整数（
b
≠0
）
,
若有
a
÷
< br>b
=
q
……
r
，也就是
a
＝
< br>b
×
q
＋
r
,
0≤
r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：<
/p>
(1)
当
r<
/p>
0
时：我们称
a
可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或完全商
(2)
当
r
0
时：我们称
a
不可以被
b<
/p>
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型
:
< br>这是一堆书，共有
a
本，这个
a
就可以理解为被除数，现在要求按照
b
本一捆打包，那么
b
就是除数的角色，经过打包后共打包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
d
本，这个
d
就是余数。
二、三大余数定理：
1.
余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a
，
b
分别除以
c
的余数
之和，或这个和除以
c
的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
< br>3
和
1
，所以
< br>23+16=39
除以
5
的余数
等于
4
，即两个余数的和
3+1. <
/p>
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：
2
3
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
< br>4
，所以
23+19=42
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数，即
2
。
2.
余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a
，
b
分别除以
c
的余
数的积，或者这个积除以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23×
16
除以
5
的余数等于
3×
1=3
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除
以
c
的余数。
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例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23×
19
除以
5
的余数等
于
3×
4
除以
5
的余数，即
2.
3.
同余定理
若两个整数
a
、
b
< br>被自然数
m
除有相同的余数，
那
么称
a
、
b
对
于模
m
同余，
用式子表示为：
a
≡
b
(mod
m
)
，
左边的式子叫
做同余式。
同余式读作：
a
同余于
b
，模
m
。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数
a
，
b
除以同一个数
m
得到的余数相同，则
a
，
b
的差一定能被
m
整除。
用式子表
示为：如果有
a
≡
b
< br>(mod
m
)
，那么一定有
a
－
b
＝
mk
，
k
是整数，即<
/p>
m
|(
a
－
b
)
经典例题
a
去除
1992
，得到商是
46
，余数是
r
，求
a
和
r
．
【例
1
】用某自然数
【
解析】
因
为
1992
是
a
的
46
倍还多
r
,
得到
1992
46
43......14
，得
1992
46
< br>43
14
，所以
a
43
，
r
14
．
< br>
【例
2
】甲、乙两数的和是<
/p>
1088
，甲数除以乙数商
11
余
32
，求甲、乙两数．
【解析】
(
法
1)
因为甲
< br>乙
11
32
，所以甲
乙
乙
11
< br>
32
乙
乙
12
32
1088
< br>；
【解析】
则
乙
(1088
32)
12
88
，甲
1
088
乙
1000
．
【解析】
(
法
2)
将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从<
/p>
1088
中减掉
32
以后，
1056
就应当是
乙数的<
/p>
(11
1)
倍
，所以得到乙数
1056
12
88
，甲数
1088
88
1000
．
【例
3
】一个两位数除
310
，余数是
37
，求这样
的两位数。
【解析】
本
题为余数问题的基础题型，
需要学生明白一个重要
知识点，
就是把余数问题
---
即“不
整除问题”
转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，
即得到一个除数的倍数；
或者是用被除数加上一个“除
数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题
中
310-37=273
，说明
273
是所求余数的倍数，而
273=3×7×13，所求的两位数约
数还要满足比
37
大，
符合条件的有<
/p>
39
，
91.
【例
4
】有两个自然数相除，商是
17
，余数是
13
，已知被除数、除数、商
与余数之和为
2113
，则被除数是
多
少？