(完整版)三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解
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三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解
【学习目标】
1
．理解三角形内角和定理的证明方法；
2
．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；
3<
/p>
．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题
.
【要点梳理】
要点一、三角形的内角和
1.
三角形内角和定理：
三角形的内角和为
180
°．
2.
结
论：
直角三角形的两个锐角互余
.
要
点诠释：
应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
要点二、三角形的外角
1
．定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图
，∠
ACD
是
△
ABC
的一个外角
.
要点诠释：
（
1
）
外角的特征：①顶点在三角形
的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；③另一条边
是三角形某条边的延长线．
（
2
）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外
角，通常每个
顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
< br>
2
．性质：
（
1
）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和．
（
2
）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：
三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关
的推理、
证明经常使
用的理论依据．另外，在证明角的不等关系
时也常想到外角的性质．
3.
三角形的外角和：
三角形的外角和等于
360
°
.
要点诠释：
因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是
180
°，
可推出三角形的三个外角和是
360
°．
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1
．证明：三角形的内角和为
180
°
.
【答案与解析】
解
：已知：如图，已知△
ABC
，求证：∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°
.
证法
1
：如
图
1
所示，延长
BC
< br>到
E
，作
CD
< br>∥
AB
．
∵
AB
∥
C
D
（已作）
，
∴
∠
1=<
/p>
∠
A
（两直线平行，内错角相等）
，
∠
B=
∠
2
（两直线平行，同位角相等）
．
又∵∠
ACB+
∠
1+
∠
2=180
°（平角定义）
，
< br>
∴∠
ACB+
∠
A+
∠
B=180
°（等量代换）
．
证法
2
：
如图
2
所示，
在
B
C
边上任取一点
D
，作
DE
∥
AB
，
交
AC
于
E
< br>，
DF
∥
AC
< br>，
交
AB
于点
< br>F
．
∵
DF
∥
AC
（已作）
，
∴∠
1=
∠
C
（两直线平行，同位角相等）
，
∠
2=
∠
DEC
（两直线平行，内错角相等）
．
∵
DE
∥
AB
（已作）
．
∴∠
3=
∠
B
，∠
DEC=
∠
A
（两直线平行，同位角相等）
．
∴∠
A=
∠
2
（等量代换）
．
又∵∠
1+
∠
2+
∠
3=180
°（平角定义）
< br>，
∴∠
A+
< br>∠
B+
∠
C=180
°（等量代换）
．
<
/p>
证法
3
：
如图<
/p>
3
所示，过
A
点
任作直线
l
1
，过
B
点作
l
2
∥
l
1
，过
C
点作
l
3
∥
l
1
，
∵
l
< br>1
∥
l
3
（已作）
．
∴∠
l=
∠
2
（两直线平行，内错角相等）
．
同理∠
3=
∠
4
．
又∵
l<
/p>
1
∥
l
2
（已作）
，
∴∠<
/p>
5+
∠
1+
∠<
/p>
6+
∠
4=180
°（两直线平行，同旁内角互补）
．
∴∠
5+
∠
2+
∠
6+
∠
3=180
°（等量代换）
．
又∵∠
2+
∠
3=
∠
ACB
，
<
/p>
∴∠
BAC+
∠
ABC+
∠
ACB=180
°（等量代
换）
．
【总结升华】
三角形内角和定理的证明方法有很多种，
无论哪种证明方法，
都是应用的平行
线的性质<
/p>
.
2.
在△
A
BC
中，已知∠
A+
∠
B
＝
80
°，∠
C
＝
2
∠
< br>B
，试求∠
A
，∠
B
和∠
C
的度数．
【思路点拨】
题中给出两个条件：∠
A+
∠
B
＝
80
°，
∠
C
＝
2
∠
B
，再根据三角形的内角和等于
180
°，即∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°就可以求
出∠
A
，∠
B
和∠
C
的度数．
【答案与解析】
解：由∠
A+
∠
B
＝
80
°及∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°，
<
/p>
知∠
C
＝
100
°．
又∵
∠
C
＝
2
∠
B
，
∴
∠
B<
/p>
＝
50
°．
∴
∠
A
＝
80
°
-
∠
B
＝<
/p>
80
°
-50
°
＝
30
°．
【总结升华】
解答本题的关键是利用隐含条件∠
A+
∠
B+
∠
C
＝
180
°．
本题可以设∠
B
＝
x
，
则
∠
A
＝
80
°
-x
，∠
C
＝
2x
建立方程求
解．
【高清课堂：与三角形有关的角
例
1
、
】
举一反三：
【变式】
已知，如图
，在△
ABC
中，∠
C=
∠
ABC=2
∠
A
，
BD
是
AC
边上的高，
求∠
DBC
的度数
.
【答案】