中考培优竞赛专题经典讲义第10讲最值问题之三角形三边关系
顾汝章-
第
10
讲
最值问题之二角形二边关系
模型讲解
B
问题：在直线
I
上找一点
P
,
使得
|
PA PB
的值最大
解析：连接
AB
，并延长与
1
交点即为点
P.
证明：如图，根据△
ABP
'
三边关系，
BP
'
-
AP
'
<
AB
，即
P
'
B - P
'
A< PB - PA
【例题讲解】
例题
< br>1
、如图，
/
MON=90
°，矩形
ABCD
的顶点
A
、
B
分别在边
0M
,
ON
上，当
B
在边
ON
上运动
时，
A
随
之在
0M
上运动，矩形
ABCD
的形状保持不变，其中
AB=2
,
BC=1
，运动过程中，点
D
到点
0
的
最大距离为
【解答】
解：如图，取
AB
< br>的中点
E
,
连接
OD
、
0E
、
DE
,
Q
/
MON=90
°,
AB=2
1
OE=AE=
—
AB=1
,
2
AD=BC=1
,
DE= 2
,
QBC=1
，四边形
ABCD
是矩形，
根据三角形的三边关系，
A <
br>0M
<
br>分别在
OD
,
故答案为：
2+1.
当
OD
过点
E
时最大，最大值为
•
2 +1.
【总结】
1
、我们如何知道是哪个三角形呢？
我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形
有两条
边为定值，
另外一边为需要我
们求的那条边”
。
【巩固练习】
1
如图，
/
MON=90
°,边长为
2
的等边三角
形
ABC
的顶点
、
B
分别在边
、
ON
上，当
B
在边
ON
上运动时，<
/p>
A
随
之在边
0M
上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点
C
到点
0
的最大距离
为
2
、在
厶
ABC
中，
/
C=90
°,
AC=4
,
BC=2
，点
A
、
C
x
轴、
y
轴上，当点
A
在
x
轴上运动时，点
C
随之在
y
轴上运动，在运动过程中，点
B
到原点的最大距离是
______________________
.
3
、如右图，正六边形
ABCDEF
的边长为
2
,
两顶点
A
、
B
分别在
x
轴和
y
轴上运动，则顶点
D
到原点
0
的距离的最大
值和最小值的乘积为
_
___________________________
_______
.
4
、如图，平面直角坐标系中，将含
在
x
轴、
y<
/p>
轴上，且
AB=12cm
(1)
若
0B=6cm.
①
求点
C
的坐标；
30
°的三角尺的直角顶点
C
落在第二象限
.
其斜
边两端点
A
、
B
分别落
②
若点
A
向右滑动的距离与点
B
向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
(2)
点
C
与点
0
的距离的最大值
= ______________
cm.
2
5
、如图，抛物线
y ax 10ax c
经过△
ABC
的三个顶点，已知
BC// x
轴，点
A
在
x
轴上，点
C
在
y
轴
3
上，
0A=
—
BC
,
且
AC=BC.
5
(1)
求抛物线的解析式；
(2)
若
Q
为直线
AB
上一点，点
D
为抛物线与
x
轴的另一个交点，求
|QC-
QD|
的取值范围
模型讲解
OQ+QP>OP
QOP=OQ
'<
/p>
+Q
'
P
,
且
OQ=0Q
'
0Q+QP>0Q
'
+Q
'
P
QP>Q
'
P
所以连接
OP
，与圆的交点即为所求点
【另外三种情
况】
Q
,
此时
PQ
最短
•
点
P
在圆外，
PQ
最长
点
P<
/p>
在圆内，
PQ
最长
点
P<
/p>
在圆内，
PQ
最短
【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。
【例题讲解】
例题
1
、如图，在矩形
< br>ABCD
中，
AB=4
,
AD=6
,
E
是
AB
边的中点，
F
是线段
BC
边上的动点，将△
EBF
沿
EF
所
在直线折叠得到△
EB
'
F
，连接
B
'
D
，则
B
'
D
的最小值是
________________________
.
【解析】
如图，根据已知条件，在△
EB
'<
/p>
D
中，我们发现，
EB
< br>'
为定值
2
，
< br>ED
根据勾股定理计算可得也为定值
2 .10
，而
B
'
D
即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△
QB
'
D
<
ED-EB
'
当
B
'
在
ED
上时，
B
'
D
最小
EB' D
就是我们要找的三角形，
B
'
D
的最小
值为
2 .10 -2
【巩固练习】
1
、如图，在
Rt
A
ABC
中，
< br>/
ACB=90
°,
AC=
BC=2
,
以
BC
为直径的半圆交
AB
于
D
,
P
是弧
CD
上
的一
个动点，连
接
AP
，则
AP
的最小值是
____________________________
.
2
、如图，在平面直角坐标系中，已知点
A
(
1
,
0
),
B
(
1-a
,
0
),
C
(
1+a
,
0
) (
a>0
),
点
P
在以
D
(
4
,
4
)
为圆心，
1
为半径的圆上运动，且始终满足
/
BPC=90
°,则
a
的最大值
____________________
.
3
、如图，在△
ABC
中，
AB=10
,
AC=8
,
BC=6
，以边
AB
的中点
O
为圆心，作半圆与
AC
相切，点
P
,
Q
分
别是
边
BC
和半圆上的动点，连接
PQ
,
则
PQ
长的最大值与最小值的和是
___________________________
.
3
4
、如图，已知直线
y=
3
x-3
与
x
轴、
y
轴分别交于
A
、
B
两点，
P
是以
C
(
0
,
1
)
为圆心，
1
为半径的圆上
4
一动点，连结
PA PB.
则厶
PAB
面积的最大值是
____________________
.
5
、如图，在△
ABC
中，
/
ACB=90
°,
AB=5
,
BC=3
,
P
是
AB
边上的动点
(
不与点
B
重合
)
，将△
BCP
沿
CP
所在的直线翻折，得到△
B
'
CP
,
连接
B
'
A
，则
B
'
A
长度的最小值
是
_
_______________________
.
6
、如图，在平行四边形
ABCD
中，
/
BCD=30
°,
BC=4
,
CD=3.3
,
M
是
AD
边的中点，
N
是
AB
边上的
一动点，将△
AMN
沿
MN
所在直
线翻折得到△
A
'
MN
，连接
A
'
C
，则
A
'
C
长度的最小值是
____________________
.
7
、如图，菱形
ABCD
中，
/
A=60
° ,
AB=3
,O
A
、
O
B
的半径分别为
2
和
1
,
P
、
E
、
F
分别是边
CD
、
O
A
和
O
B
上的动点，贝
U
PE+PF
的最小值是
____________________
.
8
、如图，矩形
ABCD
中，
AB=2
,
AD=3
,
点
E
、
F
分别为
AD<
/p>
、
DC
边上的点，且
EF=2
，点
G
为
EF
的中
点，点
P
为
BC
上一动点，贝
U
PA+PG
的最小值为
________________________
.
9
、如图，边长为
< br>1
的正方形
ABCD
中，以
A
为圆心，
1
为半
径作
?D
，将一块直角三角板的直角顶点
放置在
?D
（不包括端点
B
、
D
）上滑动，一
条直角边通过顶点
接
PC
,UA
CPQ
周长的最小值为
_______________
.
A
,
另一条直角边与边
BC
相交于点
Q
,
连
P
10
、问题情境：如图
1
,
P
是
O
0
外的一点，直线
PO
分别交
O
0
于点
A
、
B
,
贝
y
F
A
是点
P
到
O
0
上的点的
最短距离
.
(1)
探究：
如图
2
,
在
O
0
上任取一点
C
(
不为点
A
、
B
重合
)
，连接
PC
、
OC.
试证明：
<
br>Rt
<
br>连接
<
br>的中点
<
br>、
<
br>、 中点共线时，
<
br>D <
br>4• <
br>）①过点
<
br>厂
PA
(2)
直接运用：
如图
3
,
在
A
ABC
中，
/
ACB=90
°,
A
C=BC=2
，以
BC
为直径的半圆交
AB
于
D
,
P
是
C<
/p>
D
上的一个动点，连接
AP
，则
AP
的最小值是
__________________
.
(3)
构造运用：如图
4
，在边长为
2
的菱形
ABCD
中，
/
A=60
°,
M
是
AD
边的中点，
N
是
AB
边上
一动点，
将△
AMN
沿
MN
所在的直线翻折得到△
A
'
MN
，
连接
A
'
C
，
请求出
A
'
B
长度的最小值
.
解：由折叠知
A
'
M=AM
，又
M
是
AD
的中点，可得
MA=MA
'
=MD
，故点
A
'
在以
AD
为直径的圆上
.
(
请继续完
成解题过程
)
(4)
综合应用
:
①
如图
5
,
E
,
F
是正
方形
ABCD
的边
AD
上两个动点，满足
AE=DF .
CF
交
BD
于点
G
,
连接
BE
交
AG
于点
H
.
若正方形的边长为
2
,
则线段
DH
长度的最小值
是
___________________
.
②
如图
6
,
平面直角
坐标系中，分别以点
A
(
-2
,
3
) ,
B
(
3
,
4
)
为圆心，以
1
、
2
为半径作
O
A
、
O
B
,
M
、<
/p>
N
分别是
O
A
、
O
B<
/p>
上的动点，
P
为
x
轴上的动点，贝
U
PM+PN
的最小值等于
_____________________
.
1.
解：如图，取
AB
D
,
连接
0D
、
CD
,
•/
△
ABC
是等边三角形，
••• CD
2
='
；
,
2
•••/ MON
=
90
°,
OD =
—
AB =
—
X 2= 1,
2 2
由图可知，当点
O
C
、
D
三点共线时点
C
到点
O
的距离最大
,
最大值为
：
+1
.
故答案为：
「汁
1
.
2.
解：如图，取
CA
的中点
D
,
连接
OD
、
BD
,
贝
U OD= CD =i-AC
=±
X 4 = 2,
2
2
由勾股定理得，
BD
=
M , I .' =
2
:_
：
,
当
O
、
D
、
B<
/p>
三点共线时点
B
到原点的距离最大
,
所以，点
B
到原
点的最大距离是
2+2
：：
.
故答案为：
2+2 .::
3.
•
DK
=
解：当
O
D
、
AB
OD
有最大值和最小值
,
如图，
BD
=
2
:■:,
BK
=
1
,
.
门：
.
=
吩刁
，
OK
=
BK
=
1
,
■,
•
OD
的最大值为：
1+ .
同理，把图象沿
AB
边翻折
180
°得最小值为：
1+
] :;-
1
X
2
= _
: -
1
,
•••顶点
到原点
O
的距离的最大值和最
小值的乘积为：
（一
；
+1
）
（一
'
；
-
1
）
=
12
.
故答案为：
12
.
解：
（
1
C
作
y
轴的垂线，垂足为
D
，如图
1
:
•••/
BAO
=
30
°,/
ABO
=
又•••/
60
°,
CBA
=
60
°,
•••/
CBD
=
60
°,/
BCD
=
30
°,
•
BD
=
3
,
CD
=
3
：
:,
所以点
C
的坐标为（
-
3
九
9
）
;
②设点
A
向右滑动的距离为
x
,
根据题意得点
B
向上滑动的距离也为
•
A'O
=
6
--
x
,
B'O
=
6+x
,
A'B'
=
AB
=
12
在厶
A'O B'
中，由勾股定理得<
/p>
,
x
,
如图
2
:
(
6
.x
)
2
+
(
6+x
)
2
=
12
2
,
解得：
x
=
6
(
.
1
),
•••滑动的距离为
6
(
二
-
1
);
(
2
)
设点
C
的坐标为
(
x
,
y
),
过
C
作
CE
丄
x
轴，
CD
丄
y
轴，垂足分别为
E
,
D
,<
/p>
如图
3
：
则
OE
=-
x
,
OD
=
y
,
•••/
ACE +
Z
BCE
=
90
°,/
DCB +
Z
BCE
=
90
•••/
ACE
= /
DCB
,
又
T
Z
AEC
=/
BDC
=
90
°,
•
△
ACEBCD
,
，即
…
y
=-
x
,
(-
2
=
4x
2
,
•
••取
AB
中点
D
，连接
CD
,
OD
，则
CD
与
OD
之和大于或等于
CO
,
当且仅当
C
,
等号，此时
CO
=
CD + OD
=
6+6
=
12
,
故答案为：
12
.
< br>5•
解
:(
1
< br>)
T
OA
=
BC
,
AC
=
BC
•••设
OA
=
3k
,
AC
=
BC
=
5k
(
k
>
0
)
•
OC
=
2
•••当
x
=
0
时，
y
=
ax
-
10ax+
c
=
c
•
- C
(
0
,
c
),
即
OC
=
c
=
4k
•
- k =
•
A
(-
,
0
)
B
(
,
c
)
,
O
三点共线时取
D
(
6
-
x
)
2
+
(
6+x
)
2
=
12
2
,
解得：
x
=
6
(
-
1
),
•滑动的距离为
6
(
-
1
)
；
(
2
)
设点
C
的坐标为
(
x
,
y
),
过
C
作
CE
丄
x
轴，
CD
丄
y
轴，垂足分别为
E
,
D
,<
/p>
如图
3
：
则
OE
=-
x
，
OD
=
y
，
•••/
ACE +
Z
BCE
=
90
°,/
DCB +
Z
BCE
=
90
•
/
ACE
= /
DCB
,
又•••/
AEC
=/
BDC
=
90
°,
•
△
ACEBCD
,
•
，即
，
•
y
=-
x
-
2
=
4x
2
••
•取
AB
中点
D
,
连接
CD
,
< br>OD
,
则
CD
< br>与
OD
之和大于或等于
CO
,
当且仅当
C
,
等号
此时
CO
=
CD+OD
=
6+6
< br>=
12
故答案为：
12
.
5.
解：
(
1
)v
OA
=
BC
,
AC
=
BC
•••设
OA
=
3k
,
AC
=
BC
=
5k
(
k
>
0
)
•
OC
=
2
•••当
x
=
0
时，
y
=
ax
-
10ax+c
=
c
•
C
(
0
c
)
即
OC
=
c
=
4k
•
k
=
•
A
(-
0
)
B
(
c
)
D
,
O
三点共线时取
(
6
-
x
)
2<
/p>
+
(
6+x
)
2
=
12
2
,
解得：
x
=
6
(
-
1
),
•滑动的距离为
6
(
-
1
)
；
(
2
)
设点
C
的坐标为
(
x
, <
/p>
y
),
过
C
作
CE
丄
x
轴，
CD
丄
y
轴，垂足分别为
E
,
D
,<
/p>
如图
3
：
则
OE
=-
x
,
OD
=
y
,
•••/
ACE +
/
BCE
=
90
°,/
DCB +
/
BCE
=
90
•/
ACE
=/
DCB
,
又•••/
AEC
=/
BDC
=
90
°,
•
△
ACEBCD
,
•
,
即
,
•
y
=-
x
,
-
2
=
4x
2
,
•
••取
AB
中点
D
，连接
CD
,
OD
，则
CD
与
OD
之和大于或等于
CO
,
当且仅当
C
,
等号，此时
CO
=
CD+OD
=
6+6
=
12
，
故答案为：
12
.
5•
解：
(
1
)v
OA
=
BC
,
AC
=
BC
•••设
OA
=
3k
,
AC
=
BC
=
5k
(
k
>
0
)
•
OC
=
2
•••当
x
=
0
时，
y
=
ax
-
10ax+
c
=
c
•
- C
(
0
,
c
),
即
OC
=
c
=
4k
•
k
=
•
A
(-
，
0
)
B
(
，
c
)
,
O
三点共线时取
D