倍角三角形边的关系
发展经济学-
倍角三角形边的关系
马建
所谓
倍角三角形，就是三角形的一个内角是另一个内角的
2
倍的三角
形。这种三角形
有几条重要性质，
本文举例分析，
以便于同学们加深对这部分知识的理解，
轻松应对这类题。
< br>
例题
在Δ
< br>ABC
中，∠
A
，∠
B
，∠
C
所对的边分别用
a
，
b
，
c
表示。
（
1
）如图，在Δ
ABC
中，∠
A=2
∠
B
，且∠
A=60
°，求证：
a
b
(
b
c
)
2
（
2
）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的
2
< br>倍，我们称这样的三角形为倍角
三角形。
（
1
）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形
ABC
，如
下图，其中∠
A=2
∠
B
，关系式
a
b
(
< br>b
c
)
是否仍然成立？证明你的结论。
2
（
3
）试求出一个倍角三角形的三条边
的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。
解：
（
1
）略。
2
a
b
(
b
c
)
仍然成立。
（
2
）关系式
如下图，延长
BA
至点
D
，使
A
D=AC=b
，连接
CD
，则Δ
ACD
为等腰三角形。
因∠
BAC
为Δ
ACD
的一个外角，所以∠
BAC
=2
∠
D
。
由∠
BAC=2
∠
B
，知∠
B=
∠
< br>D
。
∴Δ
CBD
为等腰三角形，
CD=BC=
a
因∠
D
为Δ
ACD
与Δ
CBD
的公共角，∠
ACD=
∠
CB
D
，
∴Δ
A
CD
～Δ
CBD
。
AD
CD
b
a
，即
，
a
2
b
(
b
c
)
a
b
c
故
CD
BD
。
（
3
）略。
把例题（
2
）中的结论写成
a
b
bc
，如果把一个内角称为单角，是它
2
倍的角称
为倍角，我们可得到倍角三角形的一个重要性质。
< br>
性质
1
：倍角三角形中，倍角
和单角所对边的平方差等于单角所对的边与第三边的积。
若把
这个性质称为倍角三角形的第一个性质，那么倍角三角形还有如下两个性质。
性质
2
：倍角三角形中，由第三角的顶点向其对
边作垂线，则垂足到单角顶点的距离与
2
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