《三角形中边角关系,命题与证明》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
气势磅礴的诗句-
《三角形中边角关系，命题与证明》
全章复习与巩固—知识讲解（提高）
撰稿：张晓新
责编：孙景艳
【学习目标】
1
．理解并会应用三角形三边关系定理；了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图；能够运用三
< p>角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算及证明问题；
2.
了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及
判定方法；
3.
理解命题与逆命题、
定理与逆定理的意义，证明的基本过程，并能判断命题的真假，掌握直接证明
的格式
.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、三角形的定义及分类
1.
定义：
由不在同一条直线上的三条线
段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（
1
）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点
.
< br>（
2
）三角形定义中的三个要求：
“不在同一条直线上”
、
“三条线段”
、
“首尾顺次相接”
.
(3) <
/p>
三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，顶点为
A
、
B
、
C
的三角形记作“△
ABC
”
，读作“三角
形
ABC
”
，注意单独的△没有意义；△
ABC
的三边可以用大写字母
AB
、
BC
、
AC
来表示，也可以用小写
字母
a
、
b
、
c
来表示，边
BC
用
a
表示，边
AC
、
AB
分别用
b
、
c
表示．
2
．三角形的分类
(1)
按角分类：
< br>
直角三角形
三角形
锐角三角形
<
/p>
斜三角形
钝角三角形
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形
;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形
.
< br>
(2)
按边分类：
要点诠释：
①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，
两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角
;
②等边三角形：三边都相等的三角形
.
要点二、三角形的三边关系
定理
：
三角形任意两边的和大于第三边
.
推论
：
三角形任意两边的的差小于第三边<
/p>
.
要点诠释：
（
1
）理论依据：两点之间线段最短
.
（
2
）三边关系的应用：判断三条
线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
则这三条线段可以组
成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取
值范围．
（
3
）证明
线段之间的不等关系
.
要点三、三角形的高、中线与角平分线
1
、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简
称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，<
/p>
AD
是
ΔABC
的高，
或
AD
是
ΔABC
的
BC
边上的高，
或
AD⊥BC
于
D
，
或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：
A
D
是
ΔABC
的高
∠ADB＝∠ADC＝90°(或
AD⊥BC
于
D)
；
要点诠释：
（
1
）三角形的高是线段；
（
2
）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
（
3
）三角形的
三条高：
(
ⅰ
)
锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(
ⅱ
)
钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(
ⅲ
)
直角三角形三条
高的交点是直角的顶点
.
2
、三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，
AD
是
ΔABC
的中线或
AD
是
ΔABC
的
BC
边上的中线或
BD
＝
CD
＝
1<
/p>
BC.
2
要点诠释：
（
1
）三角形的中线是线段；
(2)
三角形三条中线全在三角形内部；
(
3)
三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)
中线把三角形分成面积相等的两个三角形
.
3
、三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分
线
.
三角形的角平分线的数学语言：
如下
图，
AD
是
ΔABC
< br>的角平分线，或∠BAD＝∠CAD
且点
D
在
BC
上
.
注意：
AD
是
ΔABC
的角平分线
∠BAD＝∠DAC＝
要点诠释：
（
1
）三角形的角平分线是线段；
1
∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)
.
2
（<
/p>
2
）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
（
3
）三角形三
条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
（
4
）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线
.
要点四、命题、定理及证明
1.
命题与逆命题
< br>判断一件事件的句子叫命题
.
其判断为正确的命题叫做真
命题；其判断为错误的命题叫做假命题
.
对于两个命题，如果一
个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做
互逆命题，
其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题
.
要点诠释：
（
1
）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发
生，如果
这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；
（
2
）每一个命题都可以
写成“如果…
,
那么…”的形式，
“如
果”后面为题设部分，
“那么”后面
为结论部分；
（
3
）所有的命题都有逆
命题
.
原命题正确，它的逆命题不一定是正确的
.
2.
定理与逆定理
如果一个命题是真命题（正确的命题）
，那就可以称它为定理
.
如果一个定理的逆命题也是真命题，
那就称
它为原定理的逆定理
.
要点诠释：
一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理<
/p>
.
3.
证明
从命
题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论）
，一步一步推得结论成立
，这
样的推理过程叫做证明．
证明几何命题时，表述格式一般如下：
（
1
）按题意画出图形；
（
2
）分清命题的条件和结论，结合图形，在“
已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
（
3
）在“证明”中写出推理过程
.
要点诠释：
在解决几何问题时，有时
需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线
.
【典型例题】
类型一、三角形的有关概念和性质
1.
如图，在锐角△
ABC
中，
CD
、
BE
分别是
AB
、
AC
上的
高，
•
且
CD
、
BE
交于一
点
P
，若∠A=50°，则∠
BPC<
/p>
的度数是（
）
A
．150°
B
．130°
C
．120°
D
．100°
【思路点拨】
本题主要考查对三角形的高的性质、互余和互补角的性质以及小学学过的
常识性的问题
------
三角形的内角和是
< br>180°等知识
.
【答案与解析】
解
< br>:
∵
CD
、
BE
分别是
AB
、
AC
边上的高，
∴∠
AEB=
∠CDB=90°，
∵∠
A=•
50°，∴∠ABE=40°，
∴∠
B
PD=180°
-
∠
CDB-
∠ABE=180°
-
90°
-
40°=50°，
•
∴∠BPC=180
°
-
∠BPD=180°
-
50°=130°．
【总结升华】
本题虽然是选择题型，它重点考查运用三角形的高的性质、互余、互补角的性质等知识，
通过简单的推理计算来解决问题．
举一反三
【变式】等腰三角形一腰上
的高与另一腰的夹角为
30°，则顶角的度数为
(
)
．
A
．60°
B
．120°
C
．60°或
150°
D
．60°或
120°
【答案】
D.
提示：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进
行分类讨论．
类型二、三角形的内角和