三角形 “心”的向量关系
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三角形
“心”的向量关系
我们都知道，在三
角形中，因为有三边和三角，故有很多的心。其中作为学生应掌
握的四个心：重心，内心
，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其
向量的表示形式。由于向量
是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们
进行整理和归纳，让同行借鉴
。
一．各心的定义。
1
．
重心：
三角形三条边的中线的交点。
其性质一是连接重心和顶点，
延长后必
交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成
2
：
1
。
2
．
< br>垂心：
三角形三边的高线的交点。
其性质为垂心与顶点的
连线必与对应的边
垂直。
3
．
外心：
三角形三边的中垂线的交点，
即三角形的外接圆的圆心。
其性质是外
心到三顶点等距离。
4
．
内心：
三角形三内角平分线的交点，
即三角形的内切圆的圆心。
其性质是内
心到三边等距离。
二．各心的向量表示。
在三角形
ABC
中，点
O
为
平面内一点，若满足：
1
．
OA
OB
OC
0
，则点
O
为三角形的重心。
分析：由
OA
OC
OB
，以
OB
,
OC
为邻边作一平行四边形
OBE
C
，
点
D
为
BC
中点，如图，由向量的平行四边形法则，
有
OE
OC
OB
，交
BC
于
D
，从而有
< br>OE
2
OD
< br>
AO
OA
故
O
为重心。
1
A
O<
/p>
C
B
D
E
2
．
OA
OB
OC
，则点
O
为三角形的外心。
3
．
OA
OB
OB
OC
OC
OA
，
或者
OA
BC
OB
AC
OC
AB
，则点
O
为三角形的垂心。
分析：由
OA
OB
OB
OC
OC
OA
有三个等式，其中一个如
OA
OB
OB
OC
，
则有
OB
(
OA<
/p>
OC
)
0
，有
OB
CA
0
，故
OB
AC
。同理
可证，点
O
为三角
形的垂心。
A
2
2
2
2
2
2
< br>O
B
D
C
b
OB
，
c
OC
，
而在三角形
ABC
中，
记<
/p>
a
OA
，
则由
AB
2
CO
2
AC
2
BO
2
(
a
b
)
c
2
2
(
a
c
)
< br>
b
，展开为
2
a
b
2
a
c
，则
(
a
c
)
b
0
2
2
故
AC<
/p>
OB
，同理
可证
BC
OA
，从而点
O
为三角形的垂心。
4
．
BC
OA
AC
OB
AB
OC
0
，则点
O
为三角形的内心。
分析：若点
O
为三角形
ABC
的内心
。如图，延长
AO
，过点
C
作
CE
//
BO
，由于
CE
CD
CD<
/p>
AC
，由<
/p>
AD
为角
A
的平
分线，有
，
OB
DB
< br>DB
AB
CE
AC
AC
AC
OB
,
故
CE
OB
从而有
，
CE
OB
AB
AB
AB
BDO
与
CDE
相似，有
2