三角形全等的应用3 证多条线段之间的和差倍分及不等关系(含详细解答)
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四、利用全等三角形证线段之间的和差
倍分问
题
证一条线段等于其它两条线段的和或差，
< br>常将其转化成证明线段的相等问题，
常
用的方法如下：<
/p>
(1)
利用图形中已有的线段和差关系进行证明。
(2)
延长一条线段，
作出两
条线段的和，
然后证明这条线段等于第三条线段。
(3)
在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后
证余下的线段等于第二
条线段。
后两种方法，就是通常所说的截长补短。
已知：如图在△ABC
中，∠ABC
的平分线与
例
1.
分析：
要证
EF=BE-
CF
，而图中
EF=ED-FD
，若证
出
BE=ED
，
CF=FD
，则此
∠ACB
相邻外角∠ACG
的平分线相交于
D
，
DE∥B
C
交
AB
于
E
，交
AC
于
F
，求证：
EF=BE-CF
题可证出。
（证明略）
例
2.
已知：
如
图，
四边形
ABCD
中，
AC
平分∠
BAD
，
CE
⊥
AB
于
E
，且∠
B+
∠
D=180
°
，求证：
AE=AD+BE
分析：
要证
AE=AD+BE
，则可转化为证
AE-
BE=AD
，则需找到一条线段使它等于
AE-BE
，再证其与
AD
相等，在
EA
上截取
EF=BE
，连结
CF
，问题转化为证
AF=AD
，
即要证出
△
AFC
≌
△
ADC
证明：
在
EA
上截
取
EF=BE
，连结
CF
∵
CE
⊥<
/p>
AB
于
E
（已知
）
∴
CF=CB
（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）
∴
∠
1=
∠
B
（等边对等角）
∵
∠
1+
∠
2=180
°
（平角定义）
∠
B+
∠
D=180
°
（已知）
1
∴
∠
2=
∠
D
（等角的补角相等）
（再往下证明略）
3.
如图，△
ABC
是等边三角形，∠
< br>BDC=12
0
°
，且
BD=CD,
∠
MDN=6
0
°
，
AB=12cm.
(1)
证明
MN=BM
＋
NC.
（
2
）求△
AMN
的周长。
（
3
）若点
M
、
N
分别是
AB
、
CA
延长线上的
点，
，请说明
BM
、
MN
、
NC
之间的关系。
分析：
（
1
）证明
MN=BM
＋<
/p>
NC.
是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用
“截长补短法”来证明。
“截长法”是在最长的线段
MN
上找一点
F
，将
MN
截为两部分
(
如
图
4)
，比如截为
< br>MN=MF
＋
NF,
且使
MF=BM
（或
NF=NC
< br>）
.
再求证剩余的线段
NF=N
C
，从
而得到
MN=BM
＋
NC
。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来
实现，本题是通过证明
△
BDM
≌△<
/p>
FDM
和△
FDN
≌△
CDN
来实现
(
如图
4)
；
而本题给出的已知
条件不能证明
△
BDM
≌△
FDM
和△
FDN
≌△<
/p>
CDN
，所以
不适用于用截长法来证明。
“补短法”是将两条短线段中的任意一条
NC
（或
BM
）延长，比如延长<
/p>
NC
到
E
，使<
/p>
CE=BM.(
或延长
MB
到
H,
使
BH=NC),<
/p>
再证明
MN=NE(
或证明
MN=MH),
从而得到
MN=BM
＋
NC
。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实
现，本题是通过证明
△
DBM
≌△
DCE
和
△
MDN
≌△
EDN
来实现。
< br>(
如图
3)
；
< br>或者如图
0
通过证明△
DBH<
/p>
≌△
DCN
和△
MDH
≌△
MDN
来实现。
2
本题已知适用于
“补短法”
。在实际做题时要根据具体的已知条件来选择截长还是补短法。
无论是“截长法”还是“补短法”其目的是将三条线段和的关系
MN=BM<
/p>
＋
NC.
转化为
求两
条线段的相等关系，
而证两条线段相等是最基本的题型。<
/p>
证明两条线段相等的方法通常有证
两三角形全等，
则对应边相等；
或证明两条线段是等腰三角形的两腰相等，
或等边三角形的
任意两边相等；或两条线段是角平分线到角的两边的距离相等等。<
/p>
（
2
）求△<
/p>
AMN
的周长。
我们来看图
1
，求△
AMN
的周长，粗看三条边
AM,AN,MN
和长短都
不知道，无法求周长
AM
＋
MN
＋
AN
。而已知
AB=12cm.
解题的关键
是如何找到要
求的量
AM,AN,MN
和已知量
AB
之间的等量关系。在
第（
1
）小题中我们已经证明了
MN=BM
＋
NC
。而从图中可以看
出
AM
＋
MB=AB,AN
＋
NC=AC=AB.
所以
AM
＋
MN
＋
AN=AM
＋
MB
＋
NC
＋
AN=AB
＋
AC=2A
B=24cm.
这小题是求三条线段的和的题型，通
常解题的技
巧是通过等量代换的方法找到要求的量与已知量之
间的等量关系，从而使问题得到解答。
（
3
）若点
M
、
N
分别是
AB
、
CA
延
长线上的
点，
，请说明
BM
、
MN
、
NC
之间的关系。
分析：
（
1
）首先确定题型，本题属于确定三
条线段之间关系的题型。
（
2
）
确定三条线段之间关系分为两类：
一种是相等关系，
< br>即
MN=BM
＋
NC
；另一种是不等关系，即
MN
＜
< br>BM
＋
NC
；
< br>（为什么是
MN
最
长呢？通过观
察得到的）
。
（
3
）根据已知条件分析属于哪一种，我们
先假设相等，将
NC
延长至
D
，使
CD=BM,
由已知
AB=AC,
所以
有
AB
＋
BM=AC
< br>＋
CD,
即
AM=AD,
所以∠
AMD=
∠
A
DM,
所以∠
NMD
＞
∠
ADM,
所以
MN
AD,
MN
BM
＋
NC
。
所以三条线段只能是不等关
系。
（
4
）要证三条线段是不等关系，就要把三条线段想办法放在同
一个三角形中去。所以必须要选定一个三角形，这个三角形怎么选
呢？我们要
看这三条线段最集中在哪个三角形中，就选定哪个三角
形。比如本题，三条线段中
MN
，
BM
都在△<
/p>
NMA
中，且第三条线
段
NC
的一部分
NA
也在△
NMA
中，
所以就选定△
< br>NMA
。
然后我们
观察到在△<
/p>
NMA
中，只有线段
AB
没有着落，且三条线段中只能
NC
中的一部分
AC
没有着落，
对比这两条线段，
可以猜想它们相等，
即
AB=AC
< br>。可以利用等量代换的方法将
AC
代换到
AB
，
(
要证
AB=AC,
最常用的方法就是证两个三角形全等其对应边相等，
或等腰
或等边三角形两腰相等等方法实现。
)
就实现了将三条线段放在同一
个三角形中了。然后再利用三角形三边不
等关系得证。
3
证明：
BM
、
MN
、
NC
之间的关系是
< br>MN
＜
BM
＋
< br>NC
；
在△
< br>NMA
中，有
MN
＜
AM
＋
NA,
因为
AB=AC,
所以
AM=BM
＋
AB=BM
＋
AC, <
/p>
所以
MN
＜
BM
＋
AC
＋
NA
,
而
NC=NA
＋
AC,
所以
MN
＜
BM
＋
NC
证明三条线段之间的不等关系
1.
如图，已知△
ABC
< br>是等腰三角形，且
AB=AC,
若点
M
、
N
分别是
AB
、
CA
延长线上的点，
，
请说明
BM
、
MN
、
NC
之间的
关系。
分析：
（
1
）首先确定题型，本题属于确定三条线段之间关系的题
型。
（
2
）确定三条线段之间
关系分为两类：一种是相等关系，即
MN=BM
＋
NC
；另一种是不等关系，即
MN<
/p>
＜
BM
＋
NC<
/p>
；
（为什么是
MN
最长呢？通过观察得到的）
。
（
3<
/p>
）根据已知条件分析属于哪一种，我们
先假设相等，将
NC
延长至
D
，使
CD=BM,
由已知
AB=AC,
所以有
AB
＋
BM=AC
＋
CD,
即
A
M=AD,
所以∠
AMD=
∠
ADM,
所以∠
NMD
＞
∠
ADM,
所以
MN
AD,
MN
BM
＋
NC
。
所以三
条线段只能是不等关系。
（
4
）
要证三条线段是不等关系，
就要把三条线段想办法放在同一个
三角形中去。
所以必须要选定一个三角形，
这个三角形怎么选呢？我们要看这三条线段最集<
/p>
中在哪个三角形中，就选定哪个三角形。比如本题，三条线段中
M
N
，
BM
都在△
NMA
中，
且第三条线段
NC
的一部分
NA
也在△
NMA
中，所以就选定△
NMA
。然后
我们观察到在△
NMA
中，只有线段
A
B
没有着落，且三条线段中只能
NC
中
的一部分
AC
没有着落，对比
这两条线
段，可以猜想它们相等，即
AB=AC
。可以利用等量代换的方
法将
AC
代换到
AB
< br>，
4
(
要证
AB=AC,
最常用的方法
就是证两个三角形全等其对应边相等，或等腰或等边三角形两
腰相等等方法实现。
)
就实现了将三条线段放在同一个三角形中了。然后再利用三角形三边
不等关系得证。
证明：
BM
、
MN
、
NC
之间的关系是
MN
＜<
/p>
BM
＋
NC
；<
/p>
在△
NMA
中
，有
MN
＜
AM
＋
NA,
因为
AB=AC,
所以
AM=BM
＋
A
B=BM
＋
AC,
所以
MN
＜
BM
＋
AC
＋
NA,
而
NC=NA
＋
AC,
所
以
MN
＜
BM
＋
NC
3.
如图
3
，点
P
是
△
ABC
的外角∠
< br>DAC
平分线上一点，你能比较
PB
＋
PC
与
AB
＋
AC
的大小关
系吗？说明你的理
由。
（卷子）
解：延长
BA
到点
F
，使
AF=AC,
连接
PF
∵
点
P
是
△
ABC
的外角∠
DAC
平分线上一点，∴
AP
平分∠
DAC
∴∠
PAF=
∠
PAC
< br>
AF
AC
< br>
在△
PAF
与△
PAC
中
PAF
PAC
∴
△
PAF
≌△
PAC
∴
PF=PC
PA
<
/p>
PA
∴
PB<
/p>
＋
PC=PB
＋
PF
∵
AF=AC
∴
BF=AB
＋
AF=AB
＋
AC
在△
BPF
中∵
BF
＜
PB
＋
PF
∴
AB
＋
AC
＜
PB
＋
PC
总结：
判断几条（三条或四条）线段之间的大小关系，通常是将这几条线段
通过等量关系放在
同一个三角形中，运用三角形三边关系判断它们之间的大小关系。这种
等量关系通常是通
过证明三角形全等来实现的。这个过程了是转化思想的运用。
3-1.
如图
3-1
< br>，在△
ABC
中，
AB
＞
AC,
∠
1=
∠
2,P
为
AD
上任意一点，求证：
AB
－
AC
＞
PB
－
PC.
（教材全解
43
页）<
/p>
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