中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案解析
武汉科技馆-
中考数学直角三角形的边角关系
(
大题培优
易错
难题
)
附答案解析
一、直角三角形的边角关系
1
．
小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏
OB
与底板
OA
所在水平线的夹角为
120°
时，感觉最舒适（如图
1
），侧面示意图为图
2
；使用时为了散热，
她在底板下面垫入散热
架
ACO
＇后，
电脑转到
AO
＇
B
＇位置（如图
3
），侧面示意图为图
4
．已知
OA=OB=24cm
，<
/p>
O
＇
C
⊥
OA
于点
C
，
O
＇
C=12cm
．
（
1
）求<
/p>
∠
CAO
＇的度数．
（
2
）显示屏的顶部
B
＇比原来升高了多少？
（
3
）如图
4
，垫入散热架后，要使显示屏
O
＇
B
＇与水平线的夹角仍保持
120°
，则
显示屏
O
＇
B
＇应绕点
O
＇按顺时针方向旋转多少度？
【答案】（
1
< br>）
∠
CAO′=30°
；（
2
）（
36
﹣
12
方向旋转
30°
．
【解析】
）
cm
；（
3
）显示屏
O′B′
应绕点
O′
按顺时针
试题分析：（
1
< br>）通过解直角三角形即可得到结果；
（
2
）过点
B
作
BD
⊥
AO
交
AO
的延长线于
D
，通过解直
角三角形求得
BD=OBsin
∠
BO
D=24×
=12
，由
C
、
O′
、
B′
三点共线可得结果；
（
3
）显示屏
O′B′
应绕点
O′
按顺时针方向旋转
30°
，求得
∠
EO′B′=
∠
FO′A=30°
，既是显示屏
O′B′
应绕点
O′
按顺时针方向旋转
< br>30°
．
试题解析：（
1
）
∵
O′C
⊥
OA
于
C
，
OA=OB=24cm
，
∴
sin
∠
CAO′=
∴
∠
CAO′=30°
；
（
2
）过点
B
作
BD<
/p>
⊥
AO
交
AO<
/p>
的延长线于
D
，
∵
sin
∠
BOD=
< br>∵
∠
AOB=120°
，
∴
∠
BOD=60°
，
∴
BD=OBsin
∠
BOD=24×
∠
CAO′=30°
，
∴
∠
AO′C=60°
，
∵
∠
AO′B′=120°
，
∴
∠
AO′B′+
∠
AO′C=18
0°
，
∴
O
′B′+O′C
﹣
BD=24+12
﹣
12
=36
﹣
12
，
）
cm
；
<
/p>
=12
，
∴
BD
=OBsin
∠
BOD
，
，
∵
O′C
⊥
OA
，
，
∴
显示屏的顶部
B′
比原来升
高了（
36
﹣
12
（
3
）显示屏
O′B′
应绕点
O′
按顺时针方向旋转
30°
，
理由：
∵
显示屏
O′B
与水平线的夹
角仍保持
120°
，
∴
∠
EO′F=120°
，<
/p>
∴
∠
FO′A
=
∠
CAO′=30°
，
∵
∠
AO′B′=120
°
，
∴
∠<
/p>
EO′B′=
∠
FO′A=30°
，
∴
显示屏
O′B′
应绕点
O′
按顺时针方向旋转
30°
．
考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
2
．
已知
Rt
△
ABC
中，
AB
是
⊙
O
的弦，斜边
AC
交
⊙
O
于点
D
，且
AD=DC
，延长
CB
交
⊙
O
于点
E
．
（
1
）图<
/p>
1
的
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五个点中，是否存
在某两点间的距离等于线段
CE
的长？请说
明理由；
（
2
< br>）如图
2
，过点
E
作
⊙
O
的切线，交
AC
的延长线于点
F
．
①
若
CF=
CD
时，求
sin
∠
< br>CAB
的值；
②
若
CF=aCD
（
a
＞
0
）时，试猜想
s
in
∠
CAB
的值．（用含
a
的代数式表示，直接写出结
果）
【答案】（
1
）
AE=CE
；（
2
）
①
【解析】
试题
分析：（
1
）连接
AE
、
DE
，如图
1
，根据圆周角定理可得
∠
ADE=
< br>∠
ABE=90°
，由于
；
②
．
AD=DC
，根据垂直平分线的性质可得
AE=CE
；
（
2
）
连接
AE
、
ED
，如图
2
，由
∠
ABE=90°
可得
AE
是
⊙
O
的直径，根据切线的性质可得
∠
AEF=90°
，从而可证到
< br>△
ADE
∽
△
< br>AEF
，然后运用相似三角形的性质可得
当
CF=CD
时，可得
sin
∠
CED=
，从而有
EC=AE=
=AD•AF
．
①
CD
，在
Rt
△
DEC
中运用三角函数可得
，根据圆周角定理可得
∠
CAB=
∠
DEC
，即可求出
sin
∠
CAB
的值；
②
当
< br>CF=aCD
（
a
＞
0
）时，同
①
即可解决问
题．
试题解析：（
1
）
AE=CE
．理由：
连接
AE
、
DE<
/p>
，如图
1
，
∵<
/p>
∠
ABC=90°
，
∴
∠
ABE=90
，
∴
∠
ADE=
∠
ABE=90°
，
∵
AD
=DC
，
∴
AE=CE
；
（
2
）连接
AE
、
ED
，如图
2
，
∵
∠
ABE=90°
，
∴
AE
是
⊙
O
的直径，
∵
EF
是
⊙
OO
的切线，
∴
∠
AEF=90°
，
< br>∴
∠
ADE=
∠
AEF=90°
，又
∵
∠
DAE=
∠
EAF
，
∴
△
ADE
∽
△
AEF
，
∴
∴
=AD•AF
．
< br>
=DC•3DC=
=
．
=D
C•
（
a+2
）
DC=
（<
/p>
a+2
）
，
DC
，
=
．
；
，
∴
AE=
DC
，
∵<
/p>
EC=AE
，
，
①
当
CF=CD
时，
< br>AD=DC=CF
，
AF=3DC
，
∴
∴
EC=
DC
，
∴
sin
∠
CAB=sin
∠
CED=
=
②
当
CF=aC
D
（
a
＞
0<
/p>
）时，
sin
∠
CAB=
∵
CF=aCD
，
AD=DC
，
∴
AF=A
D+DC+CF=
（
a+2
）
CD
，
∴
∴
AE=
DC
，
∵
EC=AE
，
∴
EC=
∴
sin
∠
C
AB=sin
∠
CED=
考点：
1
．圆的综合题；
2
．探究型；
3
．存在型．
3
．
如图，反比例函数
y
k
k
0
的图象与正比例函数
y
2
x
的图象相交于
x
A
(1,
a
),
B
两点，点
C
在第四象限，
CA
∥
y
轴，
ABC
90
.
(1
)
求
k
的值及点
B
的坐标；
(2)
求
tanC
的值
.<
/p>
【答案】（
1
）
k
2<
/p>
，
B
1,
2
；（
2
）
2.
【解析】
【分析】
（
1
）先根据点
A
在直线
y=2x
上，求得点
A
的坐标，再根据点
A
在反比例函数
k
k
0
的图象上，利用待定
系数法求得
k
的值，再根据点
A
、
B
关于原点对称即可
x
求得点
B
的坐标；
（
2
）作
< br>BH
⊥
AC
于
< br>H
，设
AC
交
< br>x
轴于点
D
，根据
ABC
90
，
BHC
90
，可得
y
C
< br>
ABH
，再由已知可得
AOD
ABH
，从而得
C
AOD
，求出
tan
C
即可
.
< br>
【详解】（
1
）
∵
点
A
(1
，
a
)
在
y
2
x
上，
∴
a
=
2
，
∴
A
(1
，
2
)
，
k
得
k
2
，
x
把
A
< br>(1
，
2
)
代入
y
∵
反比例函数
y
< br>k
k
0
的图象与正比例函数
y
2
x
< br>的图象交于
A
，
B
两点，
x
∴
A
、
B
< br>两点关于原点
O
中心对称，
<
/p>
，
2
；
∴
B
1
（
2
）作
BH
⊥
AC
于
H
< br>，设
AC
交
x
< br>轴于点
D
，
< br>
ABC
90
，
BHC
90
< br>
，
∴
C
A
BH
，
∵
C
A
∥
y
轴，
∴
BH
∥
x<
/p>
轴，
∴
AOD
ABH
，
∴
C
AOD
，
∵
∴
tanC
<
/p>
tan
AOD
AD
2
2
.
OD
1
【点
睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函
数等
知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（
2
）小题求出
∠
C=
∠
AO
D
是关键
.
4
．
如图，某校数学兴趣小组为测量校
园主教学楼
AB
的高度，由于教学楼底部不能直接到
达，故兴趣小组在平地上选择一点
C
，用测角器测
得主教学楼顶端
A
的仰角为
30°
，再向主
教学楼的方向前进
24
米，到达点
E
处（
C
，
E
，
B
三点在同一直线上），又测得主教学楼顶
端
A<
/p>
的仰角为
60°
，已知测角器
CD
的高度为
1.6
米，
请计算主教学楼
AB
的高
度．（
3
≈1.73
，结果精确到
< br>0.1
米）
【答案】
22.4m
【解析】
【分析】
首先分析图形，根据题意构
造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构
造等量关系，进而求解．<
/p>
【详解】
解
：在
Rt
△
AFG
中，
tan
∠
AFG
=
3
，
< br>∴
FG
=
AG
< br>AG
，
tan
AFG
3
AG
，
CG
在
Rt
△
ACG
中，
tan
∠
ACG
=
∴
CG
=
AG
=
3
AG
．
tan
ACG
又
∵
CG
﹣
FG
=24
m
，
即
3
AG
﹣
AG
=24
m
，
3
∴
AG
=12
3
m
，
∴
AB
=12
3
+1.6≈
22.4
m
．
5
．
水库大坝截面的迎水坡坡比（
DE
与
AE
的长度之比）为
1
：
0.6
，背水坡坡比为
1
：
2
，
大坝高
DE=30
米，坝顶宽
CD=10
米，求大坝的截面的周长和面积．
【答案】故大坝的截面的周长是（
6
34
+30
5
+98
）米，面积是
1470
平方米．
【解析】
试题分析：先根据两个坡比求出
AE
和
BF
的长，然后利用勾股定理求出
AD
和
BC
，再由大
坝的截面的周长
=DC+AD+AE+EF+BF+BC
，梯形的面积公式可得出答案
．
试题解析：
∵
迎水坡坡比（
DE
与
AE
的长度之比）为
1
：
0
.6
，
DE=30m
，
∴
AE=18
米，
在
RT
△
ADE
中，
AD=
DE<
/p>
2
AE
2
=6
34
米
∵
背水坡坡比为
1
：
2
，
∴<
/p>
BF=60
米，
在
RT
△
BCF
中，
BC=
CF
2
BF
2
=30
5
米，
∴
周长
=DC+AD+AE+EF+BF+BC=6
34
+10+30
5
+88=
（
6
34
+30
5
+98
）米，
面积
=
（
10+18
+10+60
）
×30÷2=1470
（平方米）．
故大坝的截面的周长是（
6
34
+30
5
+98
）米，面积是
1470
平方
米．
6
．
如图，在平面直角坐标系中，点
O
为坐
标原点，直线
y
kx
4
交
x
轴、
y
轴分别于点
A
、点
B
，且
ABO
的面积为
8.
（
1
）求
k
的值；
（
2
）如图，点
P
是第
一象限直线
AB
上的一个动点，连接
P
O
，将线段
OP
绕点
< br>O
顺时针
旋转
90°
至线段
OC
，设点
P
的横坐标为
t
，点
C
的横坐标为
m
，求
< br>m
与
t
之间的函数关系
式（不要求写出自变量
t
的取值范围）；
（
3
）在（
2
）的条件下，过点
B
作直线
BM
OP
，交
x
轴于点
M
，垂足为点
N
，点
K
在线段
MB
的延长线
上，连接
PK
，且
PK
KB
0
< br>P
，
PMB
< br>
2
KPB
< br>，连接
MC
，
求四边形
BOCM
的面积
.
<
/p>
【答案】（
1
）
k
1
；（
2
）
m
t
4
；（
3
）
S
Y
BOCM
32
.
【解析】
【分析】
（
1
）先求出
A
的坐标，然后利用待定系
数法求出
k
的值；
(2)
过点
P
作
PD
x
轴，垂足为
D
，过点
C
作
CE
x
< br>轴，垂足为
E
，证
POD
OCE
可得
OE
PD
，进一步得出
m
与
t
的函数关系式；
（
3
）过点
O
作直线
OT
AB
，交直线
BM
于点
Q
，垂足
为点
T
，连接
QP
，先证出
QTB
PTO
；再证出
KPB
BPN<
/p>
；设
KPB
x
，通过计算证出
< br>PO
PM
；
< br>再过点
P
作
PD
x
轴，垂足为点
D
，根据
tan
OPD
tan
B
MO
得到
OD
BO
，
PD
MO
列式可求得
t=4
；所以
OM=8
进一步得出四边形
BOCM
是平行四边
形，最后可得其面积为
32.
【详解】
解：（
1
）把
x
0
代入
y
kx
4
，
y
4
，
∴
BO
4
，
又
∵
∴
S
ABO
4
，
1
AO
BO
4
，
AO
< br>
4
，
2
∴
A
(
4,0)
，
把
x
4<
/p>
，
y
0
代入
y
kx
4
，
得
0
4
k
4
，
解得
k
1
.
故答案为
1
；
（
2
）解：把
x
t
代入
y
x
4
，
y
t
4
，
∴
P
(
t
,
t
4)
< br>
如图，过点
P
作
PD
x
轴，垂足为
D
，过点
C
作
CE
x
轴，垂足为
E
，
∴
PDO
CEO
90
，
<
/p>
∴
POD
OPD
90
，
∵
线段
OP
绕点
O
顺
时针旋转
90°
至线段
OC
，
∴
POC
90
，
OP
OC
，
∴
< br>POD
EOC
90
，
∴
OPD
EOC
，
∴
POD
OCE
，
∴
OE
PD
，
m
< br>t
4
.
故答案为
m
t
4
.
（
3
）解：
如图，过点
O
作直线
OT
AB
，交直线
BM
于点
Q
，垂足为点
T
，连接
QP
，
由（
1
）知
，
AO
BO
4
，
BO
A
90
，
∴
ABO
为等腰直角三角形，
∴
ABO
BAO
45
，
BOT
90
ABO
45
ABO
，
∴
BT
TO
，
∵
BTO
90
，
∴
TPO
TOP
90
，
∵
PO
BM
，
∴
BNO
90
，
∴
< br>BQT
TPO
，
∴
< br>QTB
PTO
，
∴
QT
TP
，
PO
BQ
，
< br>∴
PQT
< br>
QPT
，
< br>∵
PO
PK
< br>
KB
，
∴
QB
PK
KB
，
QK
KP
，
∴
KQP
KPQ
，
∴
PQT
KQP
QPT
KPQ
< br>，
TQB
< br>
TPK
，
< br>∴
KPB
< br>
BPN
，
< br>设
KPB
< br>x
，
∴
BPN
x
，
∵
PMB
2
KPB
，
∴
PMB
2
x
，
POM
PAO
AP
O
45
x
，
NM
O
90
POM
45
< br>x
，
∴
PMO
PMB
NMO
45
x
POM
，
∴
PO
< br>
PM
，
过点
P
作
PD
x
轴，垂足为点
D
，
∴
OM
2
OD
< br>2
t
，
OPD
90
POD
45
x
BMO
，
tan
OPD
tan
BMO
，
OD
BO
t
4
，
，
PD
MO
t
4
2
t
t
1
4
，
t
2
2
（舍）
∴
OM
8<
/p>
，由（
2
）知，
m
t
4<
/p>
8
OM
，
∴
CM
P
y
轴，
∵
PNM
POC
90
，
∴
BM
P
OC
，
∴
四边形
BOCM
是平行四边形，
∴
S
Y
BOCM
BO
OM
4
8
32
.
故答案为
32.
【点睛】
本题考查了一次函数和几何
的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适
当的辅助线构造全等三角形
是本题的关键．
7
．
如图，
AB
是
⊙
O
的直径，
E
是
⊙
O
上一点，
C
在
AB
的延长线上，
AD
⊥
CE
交
CE
的延长
线于点
D
，且
AE
平分
< br>∠
DAC
．
< br>（
1
）求证：
CD
是
⊙
O
的切线；
（
2
）若
AB
＝
6
，
∠
ABE
＝
60°
，求
AD
的长．
【答案】（
1
）详见解析；（
2
）
【解析】
【分析】
9
2
（
1
）利用角平分线的性质得到
∠
OAE
＝
∠
DAE
，再利用半径相等得
∠
AEO
＝
∠
OAE
，等量代
换即可推出
OE
∥
AD
，即可解题，（
2
）根据
30°
的三角函数值分别在
Rt
△
ABE
中，
AE
＝
AB·
cos30°
，
在
Rt
△
ADE
中，
AD=cos30°
×AE
即可解题
.
【详解】
证明：如图，连接
OE
，
∵
AE
平分
∠
DAC
，
∴
∠
OAE
＝
∠
DAE
．
∵
OA
＝
OE
，
∴
∠
AEO
＝
∠
OAE
．
∴
∠
AEO
＝
∠
DAE
．
∴
OE
∥
AD
．
∵
DC
⊥
AC
，
∴
OE
⊥
DC
．
∴
CD
< br>是
⊙
O
的切线．
（
2
）解：
∵
AB
是直径，
∴
∠
AEB
＝
90°
，
∠
ABE
＝
60°
．
∴
∠
EAB
＝
30°
，
cos30°
=6×
在
Rt
△
ABE
中，
< br>AE
＝
AB·
3
=
3
3
，
2
在
Rt
△
ADE
中，
∠
DAE
＝
∠
BAE
＝
30°
，
∴
AD=cos30°
×AE=
9
3
×
3
3
=
.
2
2