“初等数论初步”简介
巨蟹女和双鱼男-
“初等数论初步”简介
初等数论是研究整数的性质和不定方程
< br>（组）
的整数解的一门学问，
它与几何学是最古
老的两个数学分支。
初等数论中至今仍有许多没有解决的问题，如哥德巴
赫
（
Goldbach
）问
题，孪生素数猜想，
奇完全数的存在性问题等，它们对人类智慧产生了极大
挑战。
人们在解
决一些初等数论问题的过程中所作的贡献，对数
论乃至整个数学的发展起了重要的推动作
用，
产生了一些直接与
数学有关的新的重要数学分支。
初等数论在计算机科学和信息工程中
有许多重大的实际应用。
在本专题中，
同学们将通过具体的
问题，
学习初等数论的一些基本
知识，
如有关整数和整除的知识，用辗转相除法求解一次同余方程
（组）和简单的一次不定
方程等，
初等数论中蕴含的一些思想方法，
以及我国古代数学在初等数论的研究方面取得的
一些重要成就。
一、内容与课程学习目标
本专题的学习初等数论的一些基本知识，具体包括：整数的整
除、同余与同余方程、
一次不定方程和数论在密码中的应用四部分内容。通过本专题的学
习，要引导学生：
1
．通过实例，认识带余除法，理解同余和剩余类的概念及意义，探索剩余类
的运算性
质（加法和乘法），并且理解它的实际意义。体会剩余类运算与传统数的运算的
异同（会出
现零因子）。
2
．
理解整
除、
因数和素数的概念，
了解确定素数的方法
< br>,
如埃拉托斯特尼
（
Erato
shenes
）
筛法，知道素数有无穷多个。
< br>
3
．
了解十进制表示的整数的整除判别法，
探索整数能被
3
，
9
，
11
，
7
等整除的判别法
。
会检查整数加法、乘法运算错误的一种方法
,
如弃九验算法。
4
．
通过实例，
探索
利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法，
理解互素的概念，
并能用辗转相除法证明：
若
a
能整
除
bc
，
且
a
,b
互素，则
a
能整除
c
。探索公因数和公倍数
的性质。了解算术基本定理。
5
．通过实例，理解一次不定方程的模型，利用辗转相除法求解简单的一次不定方程。
并尝试写出算法的程序框图，在条件允许的情况下上机实现。
6
．通过
实例（如物不知其数问题），理解一次同余方程组的模型。
7
．理解大衍求一术和孙子定理的证
明。
m
-1
φ
(m)
8
．理解费马小定理（当
m
是素数时，
a
≡
1(mod m)
）和欧拉定理（
a
≡
1(mod m),
其中
φ
(m)
是
1
，
2
，…，
m-1
中与
m
互素的数的
个数）及其证明。
9
．了解数论在密码中的应用——公开密钥。
二、内容安排
本专题共安排了四讲，其中最后一讲“数论在密码中的应用”
可根据教学时间的实际
情况机动安排，可由教师讲授，也可作为学生课后的阅读材料。本
专题教学时间约需
18
课
时，具体分配
如下（仅供参考）：
第一讲
整数的整
除
约
5
课时
一、整除的概念和性质
约
2
课时
二、最大公因数与最小公倍数
三、算术基本定理
第二讲
同余与同余方程
一、同余
二、剩余类及其运算
三、费马小定理和欧拉定理
四、一次同余方程
五、拉格朗日插值法和孙子定理
六、弃九验算法
第三讲
一次不定方程
一、二元一次不定方程
二、二元一次不定方程的特解
三、多元一次不定方程
第四讲
数论在密码中的应用
一、信息的加密与去密
二、大数分解和公开密约
学习总结报告
约
2
课时
约
1
课时
约
7
课时
约
1
课时
约
2
课时
约
1.5
课时
约
1
课时
约
1
课时
约
0.5
课时
约
3
课时
约
1
课时
约
1
课时
约
1
课时
约
2
课时
约
1
课时
约
1
课时
约
1
课时
本专题的知识结构如下：
1
．初等
数
论中有许
多知识和问
题是比较通
俗易懂
的。许
多学生在小
学就学习了整数的
分解、
素数和整除性的简单知识。
少数学生在中学阶段为参加数
学竞赛的
需要，
通过课外活动进一步学习了同余和不定方程的初
步知识。
但是，
初等数论中不少问题，
说起来容易，做起来很难。因此，有些教师和学生可能认为本专题的学习太难，不愿意去教
和学。
事实上，
本专题学习的目的不是训练学生去做初等数论
的难题，
为数学竞赛服务，而
是介绍初等数论中最基本的概念、
方法和思想，
使学生对初等数论及其应用有一个初步的认
识，通过介绍初等数论的一些历史背景知识（如历史人物和历史名题），开阔学生的眼界，
同时了解我国古代数学家在初等数学研究方面取得的一些重要成就，增强民族自豪感。
2
．整数的整除理论是初等数论的基础，其中心内容是最大公因数与最小公倍数理论，
最基本、最重要的结果是算术基本定理。带余除法是建立整数的整除理论的一个重要工具。
辗转相除法（也称
Euclid
算法）是初等数论中
最重要的方法之一，它由有限次带余除法构
成，利用它不仅可以证明最大公因数的如下重
要性质：
（
a,
b
）
= ax +
by
，
还可
以给出最大公因数（
a
,
b
）和
x, y
的有效算法。利用上式
，我们可以证明整除的许多
重要性质。
在本专题后面求解一次同
余方程和简单的一次不定方程时，
我们经常要用到辗转
相除法。
算术基本定理是初等数论的基石，
它表明素数是正整数最基本的
构成单位。
利用算
术基本定理，
我们可
以研究整数的许多重要性质。
多项式整除的方法和性质与整数整除的方
< br>法和性质完全平行，我们将这部分内容在附录中列出，供学生了解。