新北师大版七年级下册数学知识点总结
相机镜头-
新北师大版七年级下册数学知识点总结
第一章
:
整式的运算
单项式
整
式
多项式
同底数幂的乘法
幂的乘方
整
积的乘方
式
幂运算
同底数幂的除法
零指数幂
的
负指数幂
运
整式的加减
算
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
整式的乘法
多项式与多项式相乘
整式运算
平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、单项式
1
、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2
、单项
式的数字因数叫做
单项式的系数。
3
、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4
、单独一个数或一个字
母也是单项式。
<
/p>
5
、只含有字母因式的单项式的系数是
1
或―1。
6
、单独的一个数字是单项
式，它的系数是它本身。
7
、单独的
一个非零常数的次数是
0
。
8
、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算
。
9
、单项式的系数包括它前面的符号。
10
、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11
、单项式的系数是
1
或―1
时，通常省略数字“1”。
12
、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无
关。
二、多项式
、几个单项式的和叫做多项式。
1
2
、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
3
、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4
、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5
、多项式的每一项都包括项前面的符号。
6
、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。
7
、多项式中次数最高的项的次数，叫做
这个多项式的次数。
三、整式
1
、单项式和多项式统称为整式。
2
、单项式或多项式都是整式。
3
、整式不一定是单项式。
1
4
、整式不一定是多项式。
5
、分母中含有字母的代数式不是整式
;
而是今后将要学习的分式。
四、整式
的加减
< br>1
、整式加减的理论根据是
:
去
括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。
2
、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。
3
、
几个整式相加减的一般步骤
:
(1)
列出代数式
:
< br>用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
2)
按去括号法则去括号。
(
(3)
合并同类项。
4
、代数式求值的一般步骤
:
(1)
代数式化简。
(2)
代入计算
< br>(3)
对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。
< br>
五、同底数幂的
乘法
nn1
、
n
个相同
因式
(
或因数
)a
相乘，记作
a
，读作
a
的
n
次方
(
幂
)
，其中
a
为
底数，
n
为指数，
a
的结果
叫做幂。
2
、底数相同的幂叫做同底数幂。
mnm+n3
、同底数幂乘法的运算法则
:
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即
< br>:a)a=a
。
m+nmn
4
、此法则也可以逆用，即
:a =
a)a
。
5
、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成
同底数幂再
运用法则。
六、幂的乘方
mnm<
/p>
、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
(a)
表示
n
个
a
相乘。
1
mnmn2
、幂的乘方运
算法则
:
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a) =a
。
mnmnnm
3
、此法则也可以逆用，即
:a
=(a)=(a)
。
七、积的乘方
1
< br>、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
nnn2
、积
的乘方运算法则
:
积的乘
方，等于把积
中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即
(ab)=ab
。
nnn3
、此法则也可以逆用
，即
:ab =(ab)
。
八、三种“幂的运算法则”异同点
1
、共同点
:
(1)
法则中的底数不变，只对指数做运算。
(2)
法则中的底数
(
不为零
)
和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式
(
单项
式或多项式
)<
/p>
。
(3)
对于含有
3
个或
3
个以上的运算，法则仍然
成立。
2
、不同点
:
(1)
同底数幂相乘是指数相加。
(2)
幂的乘方是指数相乘。
(3)
积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。
九、同底数幂的除法
mnm-n1
、同底数幂的除法法则
:
同底数幂相除，底数不变，指数相减，
即
:a?a=a(a?
0)
。
m-nmn2
、此法则也可以逆用，即
:a =
a?a(a?0)
。
十、零指数幂
01
、零指数幂的意义
:
任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
1
，
即
:a=1(a?0)
。
十一、负指数幂
,p11
、任何不等于零的数的―p
次幂，等于这个数
的
p
次幂的倒数，即
:
aa,,(0)pa
注
:
在
同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为
0
。
2
十二、整式的乘法
(
一
)
单项式与单项式相乘
1
、单项式乘法法则
:
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别
相乘，其余字母连同它
的指数不变，作为积的因式。
2
、系数相乘时，注意符号。
3
、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
< br>
4
、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指
数一起写在积里，作为积
的因式。
、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
5
6
、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
(
二
)
单项式与多项式相乘
1
、单项式与多项式乘法法则
:
单项式与多项式相乘，就是根据分
配率用单项式
去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即
:
m(a+b+c)=ma+mb+mc
。
< br>2
、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
3
、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同
。
4
、混合运算中，注意运算顺序
，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最
简结果。
(
三
)
多项式与多项式相乘
< br>
1
、多项式与多项式乘法法则
:
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加。即
:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+n
b
。
2
、
多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进
行，即一个多项式
的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积
的项数等于两个多项式项
数的积。
、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定
积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
3
4
、运算结果中有同类项的要合并同类项。
<
/p>
5
、对于含有同一个字母的一次项系数是
1
的两个一次二项式相乘时，可以运
用下面的公式简化运算
:
2(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
。
十三、平方差公式
221
、
(a+b)(a-b)=a-
b
，即
:
两数和与这两数差的积，等于
它们的平方之差。
2
、平方差公式中
的
a
、
b
可以
是单项式，也可以是多项式。
223
、平方差公式可以逆用，即
:a-b=(a+b)(a-b)
。
4
、平方差公式还能简化两数之
积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化
成
22(a+b)•(a
-b)
的形式，然后看
a
与
b
是否容易计
算。
十四、完全平方公式
2222221
、即
:
两数和
(
或差
)
< br>的平方，等于它们的平方和，
()2,()2,abaabbabaabb
，
,
，，
,,,
，
加上
(
或减去
)
它们的积的
2
倍。
2
、公式中的
a
，
b
可以是单项式，也可以是多项式。
3
< br>、掌握理解完全平方公式的变形公式
:
2222221(1) ababababababab
，
,
，
,,,
，
,
，，
,()2()2[()()]2
22(2) ()()4ababab
，
,,
，
221(3)ababab
,
，
,,[()()] 4
2222
4
、完全平方式
:
我们把形如
:
的二次三项式称作完全平方式。
aabbaabb
，，
,
，
2,2,
5
、当计算较大数的平方
时，利用完全平方公式可以简化数的运算。
3
2222226
、完全平方公式可以逆用，即
:
aabbabaabbab
，，
,
，<
/p>
,
，
,,2(),2().
十五、整式的除法
(
一
)
单项式除以单项式的法则
1
、单项式除以单项式的法则
:
一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相
除后，作为商的
因式
;
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为
商
的一个因式。
2
、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、
相同
字母与不相同字母三部分分别进行考虑。
(
二
)
多项式除以单项式的法则
1
、多项式除以单项式的法则
:
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分
别除以单项式，再把所
得的商相加。用字母表示为
: ().abcmambmcm
，
，
,,,
，
,
，
,
2
、多项式除以单项式，注意多
项式各项都包括前面的符号。
4
第二章
平行线与相交线
余角
余角补角
补角
角
两线相交
对顶角
同位角
三线八角
内错角
平
行
同旁内角
线
与
相
平行线的判定
交
平行线
线
平行线的性质
尺规作图
一、平行线与相交线
平行线
:
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
二、余角与补角
1
、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中
一个
角是另一个角的余角。
2
、如果两
个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中
一个角是另一个角的补
角。
3
、互余和互补是指两角和为
直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，
与角的位置无关。
4
、余角和补角的性质
:
同角或等
角的余角相等，同角或等角的
补角相等。
5
、余角和补角的性质用数学语言可表示为
:
0000
，
,
，
23(1)
则
(
同角的余
角
(
或补角
)
相
等
)
。
<
/p>
，，，
,
，，，
,1290(180),1390(180),
0000
，<
/p>
,
，
23(2)
且则
(
等角的余角
(
< br>或补角
)
相等
)
。
，
,
，
14,
，，，
,
，，，
,1290(180),3490(180),
6
、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
三、对顶角
1
、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2
、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶
角。
3
、对顶角的性质
:
对顶角相等。
4
、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的
依
据及重要桥梁。
5
、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相
等，但相等的角不
一定是对顶角。
四、垂线及其性质
1
、垂线
:
两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其
中一条叫做另一条的垂
线。
2
、垂线的性质
:
5
性质
1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直。
性质
2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
五、同位角、内错角、同旁内角
1
、两条直线被第三条直线所截，形成了
8
个角。
2
、同位角
:
两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线
(
截线
)
的同旁，这
样的一对角叫做同位角。
3
、
内错角
:
两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线
(
截线
)
的两旁，这样
的一对角叫做内错角。
、同旁内角
:
两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线
(
截线
)
的同旁，这
样的一对角叫同旁内角。
4
5
、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定
的
大小关系。
六、六类角
1
、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两
角来说
的。
2
、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3
、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。<
/p>
4
、对顶
角既有数量关系，又有位置关
系。
七、平行线的判定方法
1
、同位角相等，两直线平行。
2
、内错角相等，两直线平行。
3
、同旁内角互补，两直线平行。
、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
4
5
、在同一平面内
，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平
行。
八、平行线的性质
1
、两直线平行，同位角相等。
2
、两直线平行，内错角相等。
3
、两直线平行，同旁内角互补。
4
、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下
:
在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
九、尺规作线段和角
1
、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2
、尺规作图
是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
3
、尺规作图中直尺的功能是
:
(1)
在两点间连接一条线段
;
(2)
将线段向两方延长。
4
、尺规作图中圆规的功能是
: <
/p>
(1)
以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆
;
(2)
以任意一点为圆心，任意长为半径画一段
弧
;
5
、熟练掌握以下作图语言
:
(1)
作射线××;
(2)
在射线上截取××=××;
6
(3)
在射线××上依次截取××=××=××;
(4)
以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×;
(5)
分别以点×、点×为圆心，以
××、××为半径作弧，两弧相交于点×;
(6)
过点×和点×画直线××(或画射线××);
(7)
在?×××的外部
(
或内部
)
画?×××=
?×××;
6
、在作较复杂图形时
，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只
用一句话概括叙述就可以了。
(1)
画线段××=××;
2)
画?×××=?×××; (
7
第三章
变量之间的关系
自变量
变量的概念
因变量
变量之间的关系
表格法
关系式法
变量的表达方法
速度时间图象
图象法
路程时间图象
一、变量、自变量、因变量
1
、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2
、如果一个变量
y
随另一个
变量
x
的变化而变化，则把
x
叫做自变量，
y
叫做
因
变量。
3
、自变量与因变量的确定
:
(1)
自变量是先发生变化的量
;
因变量是后发生变化的量。
2)
自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
(
(3)
利用具体情境来体会
两者的依存关系。
二、表格
<
/p>
1
、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究
不同量之间
的关系。
(1)
首先要明确表格中所列的是哪两个量
;
(2)
分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量
;
(3)
结合实际情境理解它们之间的关系。
2
、绘制表格表示两个变量之间关系
(1)
列表时首先要确定各行、各列的栏目
;
(2)
一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示
因变量
;
(3)
写出栏目名称，有
时还根据问题内容写上单位
;
(4)
在第一行列出自变量的各个变化取值
;
第二行对应列出因变量
的各个变化取
值。
(5)
一般情况下
，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于
反映因变量与自变量之间<
/p>
的关系。
三、关系式
1
、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量
(
用字母
表示
)
的代数式表示
因变
量
(
也
用字母表示
)
，这样的数学式子
(
等式
)
叫做关系式。
2
、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等
号的左边。
3
、求两
个变量之间关系式的途径
:
(1)
将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未
知数的方程，并
最终写成关系式的形式。
< br>(2)
根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式
;
(3)
根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式<
/p>
;
(4)
根据图象写出与之对应的变
量之间的关系式。
4
、关系式的应用
:
(1)
利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值
; (2)
同样也
可以根据任何一个因变量的值
求出相应的自变量的值
;
8
(
3)
根据关系式求值的实质就是解一元一次方程
(
求自变量的值
)
或求代数式的
值
(
求因变量的值
)
。
四、图象
1
、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象
。
2
、图象能清楚地反映出因变量随
自变量变化而变化的情况。
3
、用
图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴
(
又称横轴
)
上的点
表示自变量，用竖直方向的数
轴
(
又称纵轴
)
上的点表示因变量。
4
、图象上的点
:
1)
对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变
量的取值
; (
(2)
过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。
(3)
由自变
量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值
的点，过这个点作
横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表
示的数据即
为因变量的相应值。
(4)
把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变
量的值。
5
、图象理解
(1)
理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量
;
(2)
看
该点所对应的横轴、纵轴的位置
(
数据
);
(3)
从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。
五、速度图
象
1
、弄清哪一条轴
(
通常是纵轴<
/p>
)
表示速度，哪一条轴
(
通常是横轴
)
表示时间
; <
/p>
2
、准确读懂不同走向的线所表示的意义
:
(1)
上升的线
:
从左向右呈上升状的线，其代表速度增加
;
2)
水平的线
:
与水平轴
< br>(
横轴
)
平行的线，其代表匀速
行驶或静止
; (
(3)
下降的线<
/p>
:
从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。
六、路程图象
1
、弄清哪一条轴
(
通常是纵轴
< br>)
表示路程，哪一条轴
(
通常是
横轴
)
表示时间
;
< br>2
、准确读懂不同走向的线所表示的意义
:
(1)
上升的线
:
从左
向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点
(
或已知定点
); (2)
水平的线
:
与水平轴
(
横轴
)
< br>平行的线，其代表静止
;
(3)
下降的线
:
从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起
点
(
或已知定
点
)
。
七、三种变量之间关系的表达方法与特点
:
表达方法
特
点
表格法
多个变量可以同时出现在同一张表格中
关系式法
准确地反映了因变量与自变量的数值关系
图象法
直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势
9
第四章
三角形
三角形三边关系
三角形
三角形内角和定理
角平分线
三条重要线段
中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
SSS
三角形
SAS
全等三角形
全等三角形的判定
ASA
AAS
HL(
适用于
RtΔ)