【最后资料1】北师大版七年级数学下册数学各章节知识点总结
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北七下知识要点分章梳理
第一章：整式的运算
单项式
整
式
多项式
同底数幂的乘法
整
幂的乘方
式
积的乘方
幂运算
同底数幂的除法
的
零指数幂
负指数幂
运
整式的加减
算
单项式与单项式相乘
单项式与多项式相乘
整式的乘法
多项式与多项式相乘
整式运算
平方差公式
完全平方公式
单项式除以单项式
整式的除法
多项式除以单项式
一、单项式
1
、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
2
、单项式的数字因数叫做单项式的系数。
3<
/p>
、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
4
、单独一个数或一个字母也是单项式。
5
、只含有字母因式的单项式的系数是
1
或―
1
。
6
、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。
7
、单独的一个非零常数的次数是
0
。
8
、
单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。
9
< br>、单项式的系数包括它前面的符号。
10
、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。
11
、单项式的系数是
1
或―
1
时，通常省略数字“
1
”
。
12
、单
项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。
二、多项式
1
、几个单项式的和叫做多项式。
<
/p>
2
、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。
< br>
3
、多项式中不含字母的项叫做常数项。
4
、一个多项式有几项，就叫做几项式。
5
、多项式的每一项都包括项前面的符号。<
/p>
6
、多项式没有系数的概念，但有次数
的概念。
7
、多项式中次数最高的项
的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式
1
、单项式和多项式统称为整式。
2
、单项式或多项式都是整式。
3
、整式不一定是单项式。
4
、整式不一定是多项式。
5
、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
四、整式的加减
1
、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配律。
2
、几个整式相加减，关键是正确地运用去
括号法则，然后准确合并同类项。
3
、几个整式相加减的一般步骤：
（
1
）列出
代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。
（
2
）按去括号法则去括号。
（
3
< br>）合并同类项。
4
、代数式求值的一般步骤：
（
1
）代数
式化简。
（
2
）代入计算
< br>（
3
）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行
计算。
五、同底数幂的乘法
1
、
n
个相同因式（
或因数）
a
相乘，记作
a
n
，读作
a
的
n
次方（幂）
，其中
a
为底数，
n
为
指数
，
a
n
的结果叫做幂。
2
、底数相同的幂叫做同底数幂。
<
/p>
3
、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相
加。即：
a
m
﹒
a
n
=a
m+n
。
4
、此法则也可以逆用，即：
a
m+n
= a
m
﹒
a
n
。
5
、开始底数不相同的幂的乘法，
如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运
用法则。
六、幂的乘方
1
、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
（
a
m
）
n
表示
n
个
a
m
相乘。
2
、幂的乘方运算法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（
a
m
）
n
=a
mn
。
3
、此法则也可以逆用，即：
a
mn<
/p>
=
（
a
m
）
n
=
（
a
n
）
m
。
七、积的乘方
1
、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
2
、
积的乘方运算法则：
积的乘方，
等于把积中的每个因式分别乘方，
然后把
所得的幂相乘。
1
即（
ab
）
n
=a
n
b
n
。
3
、此法则也可以逆用，
即：
a
n
b
n
=
（
ab
）
n
。
八、三种“幂的运算法则”异同点
1
、共同点：
（
1
）法则中的底数不变，只对指数做运算。
（
2
）法则中的底数（不为
零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多
项式）
< br>。
（
3
）
对于含有
3
个或
< br>3
个以上的运算，法则仍然成立。
2
、不同点：
（
1
）同底数幂相乘是指数相加。
（
2
）幂的乘方是指数相乘。
（
3
）积的乘方是每
个因式分别乘方，再将结果相乘。
九、同底数幂的除法
1
、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：
a
m
÷
a
n
=a
m-n
（
a
≠
0
）
。
2
、此法则也可以逆用，即：
a
m-n
= a
m
÷
a
n
（
a
< br>≠
0
）
。
十、零指数幂
1
、零指数幂的意义：任何不等于
0
的数的
0
次幂都等于
1
，即：
a
0
=1
（
a
≠
0
）
。
十一、负指数幂
<
/p>
1
、
任何不等于零的数的―
p
次幂，
等于这个数的
p<
/p>
次幂的倒数，
即：
a
p
1
p
(
a
0)
注：在同底数幂的除法、
零指数幂、负指数幂中底数不为
0
。
a
十二、整式的乘法
（一）单项式与单项式相乘
1
、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余
字
母连同它的指数不变，作为积的因式。
2
、系数相乘时，注意符号。
3
、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。
4
、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一
起写在积里，作为积的因式。
5
、单
项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6
、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
（二）单项式与多项式相乘
1
、
单项式与多项式乘法法则：
单项式与多项式
相乘，
就是根据分配率用单项式去乘多项式
中的每一项，再把所
得的积相加。即：
m(a+b+c)=ma+mb+mc
。
2
、运算时注意积的符号，多项式的每一
项都包括它前面的符号。
3
、积是一
个多项式，其项数与多项式的项数相同。
4
< br>、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。
（三）多项式与多项式相乘
1<
/p>
、
多项式与多项式乘法法则：
多项式与多
项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多
项式的每一项，再把所得的积相加。即：
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
。
2
、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。
相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项
式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未
合并同类项之前，积的项数等于两个多项式
项数的积。
3
、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应
用“同号得正，异号
得负”
。
4
、运算结果中有同类项的要合并同类项。
5
、
对于含有同一个字母的一次项系数
是
1
的两个一次二项式相乘时，
可以运
用下面的公式
简化运算：
(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab
。
十三、平方差公式
1
、
（
a+b
）
(a-b)=a
2
-b
2
，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
2
、平方差公式中的
a
、
b
可以是单项式，也可以是多项式。
3
、平方差公式可以逆用，即：
a
2
-b
2
=<
/p>
（
a+b
）
(a
-b)
。
4
、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成
（
a+b
）•
(a-b
)
的形式，然后看
a
2
与
b
2
是否容易计算。
十四、完全平方公式
1
、
(
a
b
)
2
<
/p>
a
2
2
ab
b
2
,(
a
b
)
2
a
2
2
ab
< br>
b
2
,
即：两数和（或差）的平方，
等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的
2
倍。
2
、公式中的
a
，
b
可以是单项式，也可以是多项式。
3
、掌握理解完全平方公式的变形公式：
（<
/p>
1
）
a
2
b
2
(
a
b
)
2
2
ab
(
a
b
)
2
2
ab
1<
/p>
[(
a
b
)
2
(
a
b
)
2
]
（
< br>2
）
(
a
b
)
2
(
a
b
)
2
4
ab
2
（
3
）
ab
1
2
2
4
< br>[(
a
b
)
(
a
b
4
、完
全平方式：我们把形如
:
a
2
)
]
2
ab
b
2
,
a
2
2
ab
b
2
,
的二次三项式称作完全平
方式。
5
、当计算较大数的平方时，利用完
全平方公式可以简化数的运算。
6
、
完全平方公式可以逆用，
即：
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
< br>)
2
,
a
2
2
ab
b
2
(<
/p>
a
b
)
2
.
十五、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则
1<
/p>
、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为<
/p>
商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2
、根据法则可知，单项式相除与单项式相
乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不
相同字母三部分分别进行考虑。
（二）多项式除以单项式的法则
1
、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式
，
先把这个多项式的每一项分别除以单项
式，再把所得的商相加
。用字母表示为：
(
a
b
c
)
< br>
m
a
m
b
m
c
m
.
2
、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。
2
第二章
平行线与相交线
余角
余角补角
补角
角
两线相交
平
对顶角
行
同位角
线
三线八角
内错角
与
同旁内角
相
交
平行线的判定
线
平行线
平行线的性质
尺规作图
一、余角与补角
1
< br>、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一
< br>个角的余角。
2
、如果两个角
的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一
个角的补角。
3
、
互余和
互补是指两角和为直角或两角和为平角，
它们只与角的度数有关，与角的位置无
关。
4
、余角和补角
的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
5
、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
（
< br>1
）
1
2
9
0
0
(180
0
),
1
3
90
0
(180
0
),
则
2
3
(
同角的
余角
（或
补角）相等
)
。
（
2
）
1
2
90
0
(180
0
),
3
4
90
0
(1
80
0
),
且
1
4,
则
2
3
(
等
角的余角（或补角）相等
)
。
< br>
6
、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法
。
二、对顶角
1
、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2
、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这
两个角叫做对顶角。
3
、对顶角的性质：对顶角相等。
<
/p>
4
、
对顶角的性质在今后的推理说明中应
用非常广泛，
它是证明两个角相等的依据及重要桥
梁。
5
、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相
等，但相等的角不一定是对顶角。
三、同位角、内错角、同旁内角
1<
/p>
、两条直线被第三条直线所截，形成了
8
个角。
2
、同位角：两个角都在两条
直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对
角叫做同位角。
3
、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在
第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角
叫做内错角。
4
、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线
）的同旁，这样的一对
角叫同旁内角。
5
、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关
系。
四、六类角
< br>1
、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2
、余角、补角只有数量上的关系，
与其位置无关。
3
、同位角、内错角
、同旁内角只有位置上的关
系，与其数量无关。
4
、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
五、平行线的判定方法
1
、同位角相等，两直线平行。
2
、内错角相等，两直线平行。
3
、同旁内角互补，两直线平行。
<
/p>
4
、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两
条直线平行。
5
、在同一平面内，如
果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
六、平行线的性质
1
、两直线平行，同位角相等。
2
、两
直线平行，内错角相等。
3
、两直线平行，同旁内角互补。
<
/p>
4
、平行线的判定与性质
具备互逆的特征
，其关系如下：
在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
七、尺规作线段和角
1
、在几
何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2
、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫
基本作图。
3
、尺规作图中直尺的功能是：
（
1
）在两点间连接一条线段；
（
2
）将线段向两方延
长。
4
、尺规作图中圆规的功能是：
（
1
）以任意一点为圆心，任意长为半径作
一个圆；
（
2
）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；
5
、熟练掌握以下作图语言：
（
1
）作射线××；
（
2
）在射线上截取××
=
××；
（
3
）在射线××上依次截取××
=
< br>××
=
××；
（
4
）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×
；
（
5
）分
别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；
（
6
）过点×和点×画直线××（或画射线××）
；
（
7
）在∠×××的外部（或内部）画∠×××
=
∠
×××；
6
、在作较复杂图形时，涉
及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括
叙述就可以了。
（
1
）画线段××<
/p>
=
××；
（
2
）画∠×××
=
∠×××；
3
第三章
生活中的数据
单位换算
科学记数法
近似数
生活中的数据
精确数
有效数
字
精确度
统计图（象形统计图）
一、单位换算
1
、长度单位：
（
1
）百万分之一米又称微米，即
1
微米
=10
-6
米。
（
2
）
10
亿分之一米又称纳米，即
1<
/p>
纳米
=10
-9
米。
（
3
）
1
微米
=10
3
纳米。
（
4
）
1
米
=1
0
分米
=100
厘米
< br>=10
3
毫米
=10
6
微米
=10
9
纳米。
2
、面积单位
（
1
）
10
-6
千米
2
=1
米
2
=10
2
分米
2
=10
4
厘米
2
=10
6
< br>毫米
2
=10
12
微米
2
=10
18
纳米
2
。
3
、质量单位
（
1
）
1
吨
=10
3
千克
=10
6
克。
二、科学计数法表示绝对值小于
1
的较小数据
1
、用科学计数法表示绝对值小于
< br>1
的较小数据时，也可以表示为
a
×
10
n
的形式，其中
1
≤
〡
a
< br>〡
<10,n
为负整数，
n
等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（
包括小数
点前面的一个零）的相反数。
三、近似数与精确数
1
、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。
2
、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。
3
、近似数产生的原因有：
<
/p>
（
1
）由于测量工具和测量方法的局限性
不可能得到物体的准确值；
（
2
）有些事件也不可能或没有必要得出它的精确值。
4
、
近似数
a
的真值的范围大于或等于
a
与它的最末位的半个单位的
差而小于
a
与它的最末
位的半个单位的
和。例如近似数
1.60
的真值范围为大于或等于
1.595
而小于
1.605
。
四、有效数字
1
、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所
有的数字都
叫这个数的有效数字。
2
、对于科学计数法型的近似数，由
a
×
10
n
（
1<
/p>
≤〡
a
〡
<10
）中的
a
来确定，
a
的有效数字
就是这个近似数的有效数字。与×
10
n
无关。
3
、对带有记数单位的近似数，由数字来确定，与单位无关。
五、近似数的精确度
1
、近似数的精确度是近似数精确的程度。
< br>2
、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
< br>
3
、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中
所处的位置决定的。
4
、对于单独一
个近似数，根据最后一位有效数字在该数中所处的位置直接确定精确度。
5
、对用科学记数法表示的数应注意将其还原为原来的数后，再确定其精确度
。
6
、对带单位的近似数，也要还原
为原来的数后再确定其精确度。
7
、
对近似数进行取舍时需要注意一般形式与科学记数法形式。
六、统计图（表）
1
、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。
2
、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。
3
、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
4
、象形统计图：能直观地反映数据之间的
意义。
5
、从统计图中获取更多的有
用信息，应做到以下几步：
（
1
）
审清统计图横轴和纵轴代表的意义，
若是
象形统计图则要看准每个形象图标代表什么
意义；
（
2
）把各部分的数据找出来；
< br>
（
3
）以图中读出的信息作为
参考（已知）
，推测相关量的变化趋势或规律；
（
4
）对需要计算后回答的信息要准确地进行计算。
6
、制作象形统计图
（
1
）象形统计图比一般的统计图更直观、更简洁生动
，极富有个性和情感，但准确性差一
些。
（
2
）制作象形统计图没有固定的格式，需要具有较强的想
像力和创造力。
（
3
）制作象形统计图：
一是要明确制作的统计图的特点；
二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的统计图，
加深对问题的理解。
4
第四章
概率
必然事件
事件
不可能事件
不确定事件
概率
等可能性
游戏的公平性
概率的定义
概率
几何概率
设计概率模型
一、事件
1
、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。
2
、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发
生，不可能不发生，即发生的可能是
100%
（或
1
）
。
3
、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都<
/p>
完全没有机会发生，即发生的可能性为零。
4
、
不确定事件：
事先无法肯定会
不会发生的事件，
也就是说该事件可能发生，
也可能不发生，即
发生的可能性在
0
和
1
之间。
5
、三种事件都是相
对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为
100%
，则为
必然事件
；若事件发生的可能性为
0
，则为
不可能事件
；若事件不
一定发生，即发生的可能性在
0
∽
1
之间，则为
不确定事件
。
6
、简单地说，必然事件是一定
会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生
的事件；不确定事件是指有可能发生，也有
可能不发生的事件。
7
、表示事件发
生的可能性的方法通常有三种：
（
1
）用语言叙述可能性的大小。
（
2
）用图例表示。
（
3
）用概率表示。
二、等可能性
1
、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。
2
、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。
<
/p>
（
1
）
首先要看
游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，
若有一个必然事件或不可
能事件，则游戏是不公平的；
（
2<
/p>
）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是
< br>否相同；
即看双方获胜的可能性是否相同，
只有双方获胜
的可能性相同，
游戏
才是公平的。
<
/p>
（
3
）游戏是否公平，并不一定是游戏结
果的两种情况发生的可能性都是二分
之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性一样
即可。
三、概率
< br>1
、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用
P
来表示，
P
（
A
）
=
事件
A
可能出现的结果数
/
所有可能出现的结果数。
2
、必然
事件发生的概率为
1
，记作
P
（必然事件）
=1
；
3
、不可能事件发生的概率为
0
，记作
P
（不可能事件）
=0
；
4
、不确定事件发生的概率在
0
∽
1<
/p>
之间，记作
0
（不确定事件）
<1
。
5
、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。
6
、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
7
、概率的计算：
<
/p>
（
1
）直接数数法：即直接数出所有可能
出现的结果的总数
n
，再数出事件
A<
/p>
可能出现的结果数
m
，利用概率公式
P
(
A
)
m
n
直接得出事件<
/p>
A
的概率。
（
2
）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法
”
。
四、几何概率
1
、
事件
A
发生的概率等于此事件<
/p>
A
发生的可能结果所组成的面积
（用
S
A
表示）
除以所
有可能结果组成图形的面积
（用
S
全<
/p>
表示）
，
所以几何概率公式可表示为
P
（
A
）
=S
A
/S
全
，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。
2
、求几何概率：
< br>（
1
）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；
（
2
）然后计算出
各部分的面积；
（
3
）最后代入公式求出几何概率。
五、设计概率模型（游戏或事件）
1
、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向
运用。
2
、设计通常分四步：
（
1
）首先分析设计应符合什么条件；
（
2
）其次确定选用什么
图形表示更合理；
（
3
）然后再按一定要求和操作经验来设计模型；
（<
/p>
4
）最后再通过计算或其他方法来
验证设
计的模型是否符合条
件。
5