最新人教版八年级下册数学 全册教案全集(85页)
舞龙-
最新人教版八年级下册数学
全册教案全集
八年级数学下学期教学工作计划
一、
指导思想
< br>在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神
通过数
学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现
代化科学技术所必需的数学
基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能
力，以及分析问题和解决问
题的能力。
二、学情分析
八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直
接影响到将来是否能
升学。我班优生稍少，学生非常活跃，有少数学生不求上进，思维不
紧跟老师。有的学生
思想单纯爱玩，缺乏自主学习的习惯，有部分同学基础较差，厌学无
目标。要在本期获得
理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学
习的主体，教师是教
的主体作用，注重方法，培养能力。
三、
教材分析
本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标
，重、难点分析如
下：
《义务教育教
科书•数学》八年级下册包括二次根式，勾股定理，平行四边形，一次函数，
数据的分析
等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（
2013
年版）》（以
下简称《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”
“综合与实践”全
部四个领域。其
中对于“综合与实践”领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安
排了一个课题学
习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活
动落实“综合与
实践”的要求。
第
16
章
“二次根式”
主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二
次根式的加、减、乘、除运算
。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算
的知识结构，并为勾股定理、
一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。
第
17
章
“勾股定
理”
主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，
包括它们的发现、
证明和应用。
第
18
章“平行四边形”主要研究一般平行
四边形的概念、性质和判定，还研究
了矩形、菱形和正方形等几种特殊的平行四边形。<
/p>
第
19<
/p>
章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，
< br>函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程
< br>等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。
第
20
章“
数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数
以及方差等统计量的
统计意义，
学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，
< br>并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计
< br>总体的思想。
本学期全书共需约
62
课时，具体分配如下
：
第
十
六
章
二
次
根
式
约
9
课
时
第
十
七
章
勾股定理
约
9
课时
第十八章
平行四边形
约
15
课时
第十九章
一次函数
约
17
课时
第二十章
数据的分析
约
12
课时
四、提高学科教育质量的主要措施：
1
、
认真做好教学六认真工作。
把教学六认真作为提高成绩的主要方法，
认真研读
新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真
辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2
、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，
数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3
、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自
主、探究、合作、
交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受
学习。引导学生写
学后总结，写复习提纲，使知识来源于学生的构造。
< br>
4
、引导学生积极归纳解题规律
，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现
象看本质，提高学生举一反三的能力，
这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发
散思维，让学生处于一种思如泉涌的状
态。
5
、
运用新课程标准的理念指导教学，
积极更新自己脑海中固有的教育理念，
不同
的教育理念将带来不同的教育效果。
6
、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提
高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
7
、开展分层教学，布置作业设置
A
、
B
、
C<
/p>
三类分层布置分别适合于差、中、好三
类学生，课堂上的提问照顾
好好、中、差三类学生，使他们都等到发展。
8
、
进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅
导差生过
关，为差生以后的发展铺平道路。
9
、
培养学生学习数学的良好习惯。
这些习惯包括①认真做作业的习
惯包括作业前
清理好桌面，
作业后认真检查；
< br>②预习的习惯；
③认真看批改后的作业并及时更正的习惯；
④认真做好课前准备的习惯；⑤在书上作精要笔记的习惯；⑥妥善保管书籍资料和学习用
品的习惯；⑦认真阅读数学教材的习惯。
二次根式
课
题
课
时
16.1
二次根式
第
1
课时（总
2
课时）
课
型
新授
<
/p>
1
、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
知
识
2
、掌握二次根式有意义的条件。
教
学
能
力
目
目
标
标
情
感
培养积
极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。
目
标
发展观
察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
目
标
2
3
、掌握二次根式的基本性质：
a
0
(
a
0
)
和
< br>(
a
)
a
(
a
0
)
教
学
重
点
二次根式有意义的条件；二次根式的性质．
< br>教
学
难
点
(
a
0
)
和
(
a
)
2
a
(
a
0
)
。
综合运用性质
a
0
板书
16.1
二次根式
a
0
(
a<
/p>
0
)
(
a
)
2
a
(
a
0
)
设计
教
学<
/p>
环
节
教
学
过
程
设
计
二次备课
自学导航
< br>（课
前预习）
2
（
1
）已知
x
a
，
那么
a
是
x
的
__
____;
x
是
a
的
______,
记
为
_____,
a
一定是
____
数。
（
2
）
4
的算术平方根为
2
，用式子表示为
=_________
_
；正数
a
的
4
算术平方根为
_______
，
0
的算术平方根为
_______
；
式子
a
0
(
a
0
)
的意义是
。
合作交流
（小
组互助）
(1)
16
的平方根是
；
(2)
一
个物体从高处自由落下，落到地面的时间是
t
(
单位：秒
)
与开始
下落时的高
度
h
(
单位：米
)
满足关系式
h
< br>5
t
。如果用含
h
的式子
表示
t
，则
t
=
；
(3)
圆
的面积为
S
，则圆的半径是
；
(4)
正
方形的面积为
b
3
< br>，则边长为
。
思考：
1
6
，
2
h
s<
/p>
，
,
b
3
等式子的实际意义
.
说一说他们的
5
共同特征
.
定
义
:
一<
/p>
般
地
我
们
把
形
如
______
_______
。
a
（
a
0
）
叫
做
二
次
根
式
，
a
叫<
/p>
做
。
1
、试一
试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
次根式
a
中，字母
a
必须满足
,
a
才有意义。
3
、根据算术平方根意义计算
：
公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
2
2
如
(
5
)
=5
；
也可以把一个
非负数写成一个数的平方形式，
如
5=(
5
)
.
3
，
16
，
3
4
，
5
，
a
(
a
0
)
，
x
2
1
< br>
3
2
、当
a
为正数时
a
指
< br>a
的
< br>，而
0
的算术平方根
是
，负数
，只有非负数
a
才有算术平方根。所以，在二
2
3
)
2
（
3
）
(
0
.
5
)
< br>2
（
4
）
(
1
)
2
(1)
(
4
)
(2)
(
3
根据计算结果，你能得出结论：
(
a
)
2
________
，其中
a
0
,
< br>2
2
4
、由公式
(
a
)
a
(
a
0
)
，我们可以得到公式
a
=
(
a
)
,
利用此
练习：
(1)
把下列非负数写成一个数的平方的形式：
（三）
展
示提
升（质疑点
拨）
6
0.35
(2)
在实数范围内因式分解
x
2
7
4
a
2
-11
例：当
x
是怎样的实数时，
x
2
在实数范围内有意义？
< br>
练习：
1
、
< br>x
取何值时，下列各二次根式有意义？
①
3
x
4
②
2
2
x
③
1
3<
/p>
2
x
2
、（
1
）若
a
3
3
a
有意义，则
a
的值为
___________
．
（
2
）若
x
在实数
范围内有意义，则
x
为（
）。
A.
正数
B.
负数
C.
非负数
D.
非正数
3
、
(1)
在式子
< br>1
2
x
1
x
2
中
，
x
的取值范围是
_________
___.
(2)
已知
x
4
+
(3)
已知
y
(
一
)
填空题：
2
x
y
< br>＝
0
，则
x
y
____________
_.
3
x
x
3
<
/p>
2
,
则
y
x
=
_____________
。
3
1
、
5
2
、若
2
x
1
y
1
0
，那么
x
=
，
2
y
=
。
3
、
当
x
=
时
，
代
数
式
是
。
4<
/p>
x
5
有
最
小
值
，
其
最
小
值
达标检测
教学
反思
课
题
16.1
二次根式
2
课
时
第
2
课时（总
2
课时）
课
型
新授
教
学
目
标
知
识
1
、掌握二次根式的基本性质：
a
a
2
、能利用上述性质对二次根式进行化简
.
2
能
力
会用二次根式的性质进行化简与计算
情
感
培养积
极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。
教
学
重
点
二次根式的性质
a
< br>a
．
2
教
学
难
点
综合运用性质
a
a
进行化简和计算
2
教
学
准
备
多媒体课件
板书
设计
16.1
二次根式
2
a
2
a
化简
例题
二次备
教
学
环
节
教
学
过
程
设
计
课
自学导航（课
（
1
）什么是二次根式，它有哪些性质？
前预习）
合作交流（小
组互助
2
、化简下列各式：
展示提升（质
疑点拨）
什么区别与联系。
（
1
）
、
0
.
3
2
（
2
）
、
(
0
.
5
)
（
3
）
、
(
6
)
（
4
）
、
2
2
（
2
）二次根式
2
有意义，则
x
。
x
5
2
2
2
（
3
）在实数范围内因式分解：
x
6
x
(
)
=
（
x
+
）
(
y
-
)
1
、计算：
4
4
2
0
.
2
2
(
)
2
20
2
5
a
2
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
a
0
时
,
2
、
计
算
：
(
4
)
2
(
0
.
2
)
2
4
(
)
2
5
(
20
)
2
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
a
0
时
,
a
2
< br>
3
、计算：
1<
/p>
、归纳总结
将上面做题过程中得到的结
论综合起来，
得到二次根式的又一条非常重
要的性质：
0
当
a
0
时
,
a
2
2
a
0
a
a
2
a
0
0
< br>
a
a
0
2
a
2
=
（
a
0
）
2
2
3<
/p>
、
请大家思考、
讨论二次根式的性质
(
a
)
a
(
a
0
)
与
a
< br>
a
有
1
、化简下列各式
< br>（
1
）
4
x
2
(
x
0
)
(2)
x
4
2
、化简下列各式
达标检测
3
、
已知<
/p>
0
＜
x
＜
1
，化简：
(
x
（
）
A
、
2
x
B
、
x
2
C
、
2
x
D
、
4
、把
<
/p>
2
x
（
1
）
(
a
3
)
2
(
a
3
)
（
2
）
A
组
2
1
、填空：（
1
）、
(
2
x<
/p>
1
)
2
-
(
2
x
3
)
(
x
2
)
=_________.
（
2
）、
2
x
3
2
（
x
＜
-2
）
(
4
)
2
=
（
3
）
a
、
b
、
c
为
三
角
形
的
三
条
边
< br>，
则
(
a
b
c
)
2
b
a
c
________.
2
、已知
2
＜
x
＜
3
，化简：
(
x
< br>
2
)
x
3
B
组
2
1
2
1
)
4
－
(
x
)
2
< br>
4
x
x
1
的根号外的
< br>2
x
适当变形后移入根号内，得
x
2<
/p>
x
2
5
、
若二次
根式
2
x
6
有意义，化简│
x
< br>-4
│
-
│
7-
x
│
教学
反思
课
题
16.2
二次根式的乘除
课
时
第
1
课时（总
2
课时）
课
型
新授
<
/p>
理解
a
·
b
＝
ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
），
ab
=
a
·
b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
），并利用它们
知
识
进行计算和化简
教
学
能
力
目
目
标
标
情
感
通过观
察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法
目
标
能用二
次根式的性质以及乘法法则进行根式的化简
.
目
标
教
学
重
点
掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
<
/p>
教
学
难
点
正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式
的化简。
16.2
二次根式的乘除
1
板书
a
·<
/p>
b
＝
ab
（
a
≥
0
，
b
≥
0
），
ab
=
a
·
b
（
a
≥
< br>0
，
b
≥
0
）
例题
设计
教
学
环
节
教
学
过
程
设
计
二次备课
自
学
导
航
（
课
前
预
1
．
填空：
（
1
）
4
×
9
=____
，
4
9
=____
；
4
×
9
__
4
9<
/p>
（
2
）
16
×
25
=____
，
16
25
=___
；
16
×
习）
25
_
_
16
25
（
3
）
100
×
36
=___
，
100
36
=___
．
100
×
36
__
1
00
36
合
作
交
流
（
小
组
互
助）
1
、
学生交流活动总结规律．
2
、一般地，对二次根式的乘法规定为
a
·
b
＝
ab
．
< br>（
a
≥
0
，
b
≥
0
反过来
:
ab
< br>=
a
·
b
（
a
≥
0
，
b
≥
0
）
例
1
、计算
（
1
）
5
×
7
（
2
）
1
1
×
9
（
3
）
3
6
< br>×
2
10
（
4
）
5
a
·
ay
5
3
例
2
、化简
（
1
）
9
16
（<
/p>
2
）
16
81
（
3
）
81
100<
/p>
（
4
）
9
x
2
y
2
（
5
）
54
（
1
）计算：
①
16
×
8
②
5
5
×
2
15
③<
/p>
12
a
3
·
1
2
ay
3
（
2
）化简
:
20
;
18
;
24
;
54
;
12
a
2
b
2
< br>
判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
巩固练习
展示学习成果后，请大家讨论：对于
9
×
27
的运算中不必把它变成
（
1
）
(
4)
(
9)
4
9
（
2
）
4
12
12
12
×
25
=4
×
×
25
=4
×
25
=4
12
=8
3
< br>
25
25
25
243
后再进行计算，你有什么好办法？
注
：
1
、
当二次根式前面有系数时，
可类比单项式乘以单项式法则进行计算：
即系数之积作为积的系数，
被开方数之积为被开方数。
2
、化简二次根式达到的要求：
（
1
）被开方数进行因数或因式分解。
（
2
）分解后把
能开尽方的开出来。
展
示
提
升
（
质
疑
点
拨）
A
组
1
、选择题
（
1
）等式
x
1
x
<
/p>
1
x
2
1
成立的条件是（
）
A
．
x
≥
1
B
．
x
≥
-1
C
．
-1
≤
x
≤
1 D
．
< br>x
≥
1
或
x
≤
-1
（
2
）下列各等式成立的是（
）．
A
．
4
5
×
2
5
=8
5
B
．
5
3
×
4
2
=20
5
C
．<
/p>
4
3
×
3
2
=7
5
D
．
5
3
×<
/p>
4
2
=20
6<
/p>
达标检测
A
．
4
B
．
2
C
．
-2
D
．
1
1
、选择题
2
（
3
）二次根式
(
2
)
2
6
的计算结果是（
）
A
．
< br>2
6
B
．
-2
6
C
．
6
D
．
12
2
、化简与计算：
4
32
x
（
< br>1
）
360
；
< br>
（
2
）
；
（
3
）
18
30
；
（
4
）
3
2
75
B
组
<
/p>
若
a
2
b
4
b
4
c
2
c
1
0
，则
b
2
a
c
=
（
）
4
教学
反思
课
题
课
时
16.2
二次根式的乘除
2
第
2
课时（总
2
课时）
课
型
新授
<
/p>
1
、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
知
识
2
、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
教
学
能
力
目
目
标
标
情
感
通过观
察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法
目
标
能用二
次根式的性质以及乘除法法则进行根式的化简
.
目
标
3.<
/p>
会判断二次根式是否为最简二次根式。
教
学
重
点
掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
<
/p>
教
学
难
点
正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式
的化简
16.2
二次根式的乘除
2
板书
设计
例题
最简二次根式
a
a
a
a
=
（
a
≥
0
，<
/p>
b>0
）反过来，
=
（
a
≥
0
，
b>0
）
b
b
b
b
教<
/p>
学
环
节
教
学
过
程
设
计
二次备课
自学导航
（课
前预习）
1
、计算：
（
1
）
3
8<
/p>
×（
-4
6
）<
/p>
（
2
）
12
ab
6
ab
3
2
、填空：
（
1
）
9
9
9
9
=____
，
=____
；
规律：
______
；
16
16
16
16
16
16
16
16
=____
，
=____
；
______
；
< br>36
36
36
36
（
2
）
一般地，对二次根式的除法规定：
a
a
a
a
=
（
a
≥
0
，
b>0
）反过来，
=
（
a
≥
0
，
b>0
）
b
b
b
b
1
、计算：
（
1
）
3
1
1
1
64
12
（
2
）
（
3
）
（
4
）
2
8
4
16
8
3
2
、化简：
注：
1<
/p>
、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计
算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。
2
、化简二次根式达到的要求：（<
/p>
1
）被开方数不含分母；（
2
）分
母中不含有二次根式。
阅读下列运算过程：
合作交流
（小
组互助）
(1)
3
9
x
5
x
64
b
2
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
64
169
y
2<
/p>
64
y
2
9
a
2
1
3
3
2
2
5
2
5
，
< br>
5
3
5
5
5
3
3
3
数学上将这种把分母的根号去掉的过程
称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：
2
1
1
=________
（
２）
=_________(
３
)
=_____
___
(
４
)
3
2
12
6
展示提升
（质
疑点拨）
10
=___ ___
2
5
A
组
1
、选择题
（
1
）计算
1
1
1
2
2
1
的结果是（
）．
3
3
5
A<
/p>
．
2
7
5
B
．
2
2
C
．
2
D
．
7
7
（
2
）化简
3
2
的结果是（
）
27
A
．
-
（
1
）
达标检测
B
组
6
2
2
B
．
-
C
．
-
D
．
-
2
<
/p>
3
3
3
2
、计算：
2
48
（
2
）
2
x
3
8
x
（
3
）
1
1<
/p>
9
x
（
4
）
4
16
64
y
2
用两种方法计算：
（
1
）
64
< br>6
（
2
）
8
4
3
教学
反思
课
题
课
时
知
识
教
学
目
标
目
标
能
力
培养学生较熟练的运算能力
目
标
情
感
16.3
二次根式的加减
第
2
课时（总
2
课时）
课
型
新授
<
/p>
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
帮助学生正确对待学习，养成良好的学习习惯，寻
找有效的学习方法
目
标
教
学
重
点
熟练进行二次根式的混合运算。
教<
/p>
学
难
点
混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
板书
设计
16.3
二次根式的加减
2
二次根式的混合运算
二次备
教
学
环
节
教
学
过
程
设
计
课
自学导航（课
前预习）
1
、探究计算：
（二）合作交
（
1
）
（
8
流（小组互
（
3
）
2
3
8
< br>计算：
（
1
< br>）
6
·
3
a
·
1
1
1
b
（
2
）
3
4
16
1<
/p>
1
12
50<
/p>
2
5
3
）×
6
（
2
）
(
4
2
3
6
)
2
2
助）
2
、探究计算：
2
（
1
）
(
2
3
)(
2
5
)
（
2
）
(
2
3
2
)
计算：
（
1
）
(
1<
/p>
2
27
24<
/p>
3
)
12
（
2<
/p>
）
(
2
3
5
)(
2
3
)
3
3
2
（
< br>3
）
(
3
2
2
3
)
（
4<
/p>
）
（
10
-
7
）
（
-
10
-
7
）
同学们，
我们以前学
过完全平方公式
(
a
b
)
a
2
ab
b
，
你一定熟练掌握了吧
!
现在，我们又学习了二次根式，那么所有的
2
正
数
（包括
0
）
都可以看作是一个数的平方，
如
3=
（
3
）
，
5=<
/p>
（
5
）
2
2
2
2
，下面我们观察：
仿上例，求：（
< br>1
）；
4
2
3
展示提升（质
疑点拨）
A
组
1
、计算：
（
2
）你会
算
4
12
吗
？
(
2
<
/p>
1)
2
(
2)
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
3
2
2
2
反之，
3
2
2
2
2<
/p>
2
1
(
2
1)
2
∴
3
2
2
(
2
1)
∴
3
2
2
=
2
-1
（
1
）
(
80
90
)
5
（
2
）
24
3
6
2
3<
/p>
（
3
）
(
a
3
b
3
ab
ab
3
)
(
ab
)
< br>（
a
>0,
b
< br>>0
）
（
4
）
(2
6
-
5
2)(
-
2
6
-
5
2
)
1
、计算：（
1
）
(
3
达标检测
教学
反思
200
9
2009
（
2
）
(3
10)
(3
10)
< br>2
、已知
a
< br>1
2
1
,
b
1
2
1
，求
a<
/p>
b
10
的值。
2
2
B
组
2
1
)(
3
2
1
)
学
科
课
题
课
时
数学
年
级
八
主备人
16.3
二次根式的加减
第
1
课时（总
2
课时）
1
、
理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式
2
、理解和掌握二次根式加减的方法．
知
识
3
、
先提出问题，
分析问题，
在分析问题中，
渗透对二次根式进行加减的方法的理解．
再
教
学
目
能
力
标
目
标
情
感
通过类
比学习，培养学生分析问题解决问题的能力和团队合作精神。
目
标
教
学
重
点
二次根式的加减运算．
法，培养学生观察、探索、归纳的能力。
经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较体会类比思想，探究二次根式加减的方
目
标
总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
课
型
新授
编
号
5
教
学
难<
/p>
点
探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算。
16.3
二次根式的加减
板书
设计
同类二次根式
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，
•
再将同类二次根式进行合并
教
学
环
节
教
学
过
程
设
计
二次备课
自学导航
（课
前预习
< br>）
计算．（
1
）
2
x
3
x
；（
2
）
2
x
3
x
5
x
；
（
3
）
x
2
x
3
< br>y
；（
4
）
3
a
2
a
a
2
2
2
2
2
2
学生活动：计算下列各式．
合作交<
/p>
流（小组互
助）
的几个二次根式，称为同类二次根式）
3
2
+
8
=3
2
+2
2
=5
2
（
1
）
3
48
-9
展示运用
3
3
+
27
=3
3
+3
3
=6
3
所以，二次根式加减时，
可以先将二次根式化成最简二次根式，
•
再将同类二次根式进行
合并．
例
1
．计算
（
1
）
8
+
18
（
2
）
16<
/p>
x
+
64
x
例
2
．计算
（
1
）
2
2
+3
2
=
（
2
）
2
8
-3
8
+5
8
=
（
3
）
7
< br>+2
7
+3
9
< br>
7
=
（
4
）
3
3
< br>-2
3
+
2
=
由此可见，二次根式的被开方数相同也是
可以合并的，如
2
2
与
8
表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同
类项的意义相类似我们把
3
3
与
2
3
，
3
a
、
<
/p>
2
a
与
4
a
这样
1
+3
12
(2
）（
48
+
20
）
+
（
12
-
5
）
3
归纳：
第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；
第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
（三）展示提升（质疑点拨）
(1)
12
(
1<
/p>
1
)
(2)
(
48
20
)
(
12
5
)
3
27
(3)
x
2
1
x
1
x
1<
/p>
2
6
x
)
（
4
）
x
9
x
(
x
4
y
y
3
x
4
x
2
y
2<
/p>
2
例
3
．
已知
4x
+y
-4x
-6y+10=0
，
求
（
1
y
2
x
< br>2
-
（
x
-5x
）
x
9
x
+y
2
3
）
x
x
3
y<
/p>
的值．
（一）、选择题
2
1
．以下二次根式：①
12
；②
2
；③<
/p>
2
；④
27
中，
与
3
3
是同类二次根式的是（
）．
A
．①和②<
/p>
B
．②和③
C
．①和④
D
．③和④
2
．下列
各式：①
3
3
+3=6
3
；②
1
7
< br>7
=1
；③
2
< br>+
6
=
8
=2
2
；④
达标检测
二、填空题
24
=2
2
，其中错误的有（
）．
A
．
3
个
3
B
．
2
个
C
．
1
个
D
．
0
个
3
．在下列各组根式中，是同类二次根式的是
( ) <
/p>
(A)
3
和
18
(B)
3
和
1
(C)
a
2
b
和
ab
2
(D
)
a
1
和<
/p>
a
1
3
1
．
在
8
、
1
1
2
2
75
a<
/p>
、
9
a
、
125
、
3
a
3
、
3
0.2
、
-2
8
3
3
a
中，与
3
a
是同类二次根式的有
________
．
2
．若
最简二次根式
3
2
x
< br>
1
与
3
x
1
是同类二次根式，则
x
＝
______
．<
/p>
教学
反思
勾股定理
18.1
勾股定理（
1
）
学习目标：
1
．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2
．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3
．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的
成就，激发爱国热情，勤奋学习。
重点：勾股定理的内容及证明。
难点：勾股定理的证明。
学习过程：
一
.
预习新知（阅读教材第
64
至
66
页，并完成预习内容。）
1
正方形
A
、
B
、
C
的面积有什么数量关系？
2
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么
关系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系
A
B
D
C
C
b<
/p>
A
c
a
B
(1)
那么一般的直角三角形是否也有这样
的特点呢？
(2)
组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为
3
和
4
的直角三角形，并以其三边为边长向
外作三个正方形，并分别计算其面积。
(3)
通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？
(4)
对
于更一般的情形将如何验证呢？
二
.
课堂展示
方法一；
如图，让学生剪
4
个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。
< br>
S
正方形＝
________
_______
＝
____________________
方法二；
已知：在△
ABC
中，∠
C=90
°，∠
A
、∠
B<
/p>
、∠
C
的对边为
a
、
b
、
c<
/p>
。
求证：
a<
/p>
＋
b
=c
。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面
b
a
a
a
b
c
a
2
2
2
积
相
a
c
c
b
等。
左边
S=______________
b
c
c
a
a
b
b
c
b<
/p>
右边
S=_______________
左边和右边面积相等，
即
D
a
b
C
化简可得。
方法三：
a
A
c
b
E
c<
/p>
a
b
B
以
a
、
b
为直角边，
以
c
为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
等于
个直角三角形拼成如图所示形状，使
A
、
E
、
B
三点在一条直线上
.
∵
Rt
Δ
EAD
≌
Rt
Δ
CBE,
∴
∠
ADE
=
∠
BEC.
∵
∠
AED
+
∠
ADE =
90
º
,
∴
∠
AED +
∠
BEC =
90
º
.
1
ab.
把这两
2
∴
∠
DEC
= 180
º―
90
º
= 90
º
.
∴
Δ
DEC
是一个等腰直角三角形，
它的面积等
于
1
2
c
.
2
又∵
∠
DAE =
90
º
,
∠
EBC =
90
º
,
∴
AD
∥
BC.
∴
ABCD
是一个直角梯形，它的面
积等于
_________________
归纳：勾股定理的具体内容是
。
三
.
随堂练习
1.
如图，直角△
ABC
的主要性质是：∠
C=90
°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
；
(2)
若
∠
B=30
°，则∠
B
的对边和斜边：
；
(3)
三边之间的关系：
2.
完成书上
P69
< br>习题
1
、
2
四
.
课堂检测
新课
标
第
一
网
1.
在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°
①若
a=5
< br>，
b=12
，则
c=_____
______
；
②若
a=15
，
c=25
，则
b=___________
；
③若
c=61
，
b=6
0
，则
a=__________
；<
/p>
④若
a
∶
b=3
∶
4
，
c=10
则
S
Rt
△
ABC
=________
。
C
A
D
B
< br>
2.
已知在
Rt
△
ABC
中，∠
B=90
°，
a
、
b
、
c
是△
ABC
的三边，则
⑴
c=
。（已知
a
、
b
，求
c
）
⑵
a=
。（已知
b
、
c
，求
a
）
⑶
b=
。（已知
a
、
c
，求
b
）
3.
直角三角形两直角边长分别为
5
和
12
，则它斜边上的高为
_____
_____
。
4.
< br>已知一个
Rt
△的两边长分别为
3
和
4
，则第三边长的平方是（
）
A
、
25
B
、
14
C
、
7
D
、
7
或
25
5.<
/p>
等腰三角形底边上的高为
8
，周长为
32
，则三角形的面积为（
）
A
、
56
五
.
小结与
反思
18.1
勾股定理（
2
）
学习目标：
1
．会用勾股定理解决简单的实际问题。
2
．树立数形结合的思想。
3
．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方
法。
4
．培养思维意识，发展数学理
念，体会勾股定理的应用价值。
重点：勾股定理的应用。
难点：实际问题向数学问题的转化。
一
.
预习新知（阅读教材第
66
至
67
页，并完成预习内容。）
1.
①在解决问题时，
每个直角三角形需知道几个条件？
B
、
48
C
、
40
D
、
32
②直角三角形中哪条边最长？
2.
在长方形
ABCD
中，宽
AB
为
1
< br>m
，长
BC
为
< br>2
m
，求
AC
长．
问题（
1
）在长方形
< br>ABCD
中
AB
、
BC
、
AC
大小关系？
（
2
）一个门框的尺寸如图
1
所示．
①若有一块长
3
米，宽
0.8
米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长
3
米，宽
1.5
米呢？
③若薄木板长
3
米，宽
2.2
米呢？为什么？
C
图
1
二
.
课堂展示
例：如图
2
，一个
3
米长的梯子
AB
，斜着靠在竖直
的墙
AO
上，这时
AO
的距离为
2.5
米．
①求梯子的底端
B
距墙角
O
多少米？
②如果梯的顶端
A
沿墙下滑
0.5
米至
C
.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
三
.
随堂练习
1.
书上
P68
练习
1
、
2
2
．小明和爸爸妈妈十一登香山，他
们沿着
45
度的坡路走了
500
米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的
离地面的高度是
米。
A
2
m
A
A
C
B
O
C
1
m
B
O
B
D
O
D
3
．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是
< br>4
3
米，则这两株树之间的垂直距离是
< br>
米，水平距离是
米。
C
B
30
B
A
C
A
3
题图
1
题图
2
题图
四
.
课堂检测
1
．
如图，
一
根
12
米高的电线杆两侧各用
15
米的铁丝固定，
两个固定点之间的距离是
。
2
．如图
，原计划从
A
地经
C
< br>地到
B
地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道
由
A
地到
B
地
直
接修建，
已知高速公路一公里造价为
300
万元，
隧道总长为
2
公里，
隧道造价为
500
万元，
AC=80
公里，
BC=60<
/p>
公里，则改建后可省工程费用是多少？
A
3
．如图，欲测量松花江的宽度，沿
江岸取
B
、
C
两点，在江对岸取一点
A
，使
AC
垂直江岸，测得
BC=50
米，
∠
B=60
°，则江面
的宽度为
。
R
B
C
4
．有一个边长为
1
米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个
形盖半径至少为
米。
5<
/p>
．一根
32
厘米的绳子被折成如图所示的
形状钉在
P
、
Q
两点，
PQ=16
厘米，且
RP
⊥
PQ
，则
RQ=
厘米。
P
Q
洞口，则圆
6.
如图
3
，
分别以
Rt
△
ABC
三边为边向外作三个正方形，
其面积分别用
S
1
、
S
2
、
S
3
表示，
容易得出
S
1
、
S
2
< br>、
S
3
之间有的关系式
．
变式：书上
P71 -11
题如图
4
．
五
.
小结与反思
18.1
勾股定理（
3
）
学习目标
:
1
、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并
在数轴上表示无理数。
2
、体会数与
形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。
< br>3
、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。
重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。
难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。
<
/p>
一
.
预习新知（阅读教材第
67
至
68
页，并完成预习
内容。）
1.
探究：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，
有的表示无理数，
你能在数轴上画出表示
13
的点吗？
2.
分析：如果能画出长为
_____
__
的线段，就能在数轴上画出表示
13
的点。容易知道，长为
2
的线
段是两
条直角边都为
______
的直角边的斜边。长为
13
的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜
边
吗？
利用勾股定理，可以发现，长为
13
的线段是直角边为正整数
_____
、
______
的直角三角形的斜边。
3.
作法：在数轴上找到点
A
，使
OA=_____
，作直线
l
垂直于
OA
，在
l
上取点
B
，使
AB=_
____
，以原点
O
C
S
3
A
S
1
S
2
B
S
2
S
3
S
1
图
4
图
3
为圆心，以
OB
为半径作弧，弧与数轴的交点
C
即为表示
13
的点。
4.
在数轴上画出表示
17
的
点？（尺规作图）
二
.
课堂展示
例
1
已知直角三角形的两边长分别为<
/p>
5
和
12
，求第
三边。
例
2
已知：如图，等边△
ABC
的边长是
6cm
。<
/p>
⑴求等边△
ABC
的高。
⑵求
S
< br>△
ABC
。
三
.
随堂练习
1.
完成书上
P71
< br>第
9
题
2
．填空题
⑴在
Rt
△
ABC
，∠
C=90
°，
a=8
，
b=15
，则
c=
。
⑵在
Rt
△
ABC
，∠
B=90
°，
a=3
，
b=4
，则
c=
。
A
C
D
B
⑶在
Rt
△
ABC
，∠
C=90
°，
c=10
，
a
：
b=3
：
4
，则
a=
，
b=
。
(4)
已
知直角三角形的两边长分别为
3cm
和
5cm
，，则第三边长为
。
2
．已知等腰三角形腰长是
10
，底边长是
16
，求这个等腰三角形面积。
四
.
课堂检测
1
．
已知直角三角形中
30
°角所对的直角边长
是
2
3
cm
，
则另一条直角边的长是
（
）
A.
4cm B.
4
3
cm C. 6cm
D.
6
3
cm
2
．△
ABC
中，
AB
＝
15
，
AC
＝
13
，高
AD
＝
12
，则△
ABC
的周长为（
）
A
．
42
B
．
32
C
．
42
或
32 D
．
37
或
33
3
．一架
25
分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离
墙底端
7
分米
.
如果梯子的顶端沿墙下
滑
4
分米，那
么梯足将滑动
(
)
A.
9
分米
B.
15
分米
C.
5
分米
D.
8
分米
4
．
如图，
学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走
在花铺内走出了一条“路”．他们仅
仅少走了
步路（假设
3
m
“
路
”
米）
，却踩伤了花草．
4m
5.
等腰△
ABC
< br>的腰长
AB
＝
10cm
，底
BC
为
16cm<
/p>
，则底边上的高为
，面积为
.
6.
一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为
．
7
．已知
：如图，四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AD
⊥
DC
，
A
D
AB
⊥<
/p>
AC
，∠
B=60
°，
CD=1cm
，求
BC
的长。
B
C
五．小结与反思
18.2
勾股定理的逆定理（一）
学习目标
1
．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2
．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3
．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
“捷径”，
2
步为
1
一
.
预习新知（阅读教材
P73
—
75
,
完成课前预习）
1.
三边长度分别为
3
cm
、
4
cm
、
5
cm
的三角形与以
3
cm
、
4
c
m
为直角边的直角三角形之间有什么关系？
你是怎样得到的？<
/p>
2.
你能证明以
6cm
、
8cm
、
< br>10cm
为三边长的三角形是直角三角形吗？
3.<
/p>
如图
18.2-2
，若△
ABC
的三边长
a
、
b
、
c
满足
a
简要地写出证明过程．
4.
此定理与勾股定理之间有怎样的关系？
（
1
）什么叫互为逆命题
（
2
）什么
叫互为逆定理
（
< br>3
）任何一个命题都有
_____
，但任何一个定理未必都有
__
5.
说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？
（
1
）
两直线平行，内错角相等；
（
2
）
如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（
3
）
全等三角形的对应角相等；
（
4
）
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
二．课堂展示
例
1
：判断由线段
a
、
b
、
c
组成的三角形是不是
直角三角形：
（
1
< br>）
a
15
,
b
8
,
c
17
；
（
2
< br>）
a
（
3
）
a
7
,
b
24
,<
/p>
c
25
；
（
4
）
a
C
5km
13km
图
18.2-2
2
b
2
c
2
，试证明△
ABC
是直角三角形，请
B
12km
A
13
,
b
14
,
< br>c
15
．
1
.
5
,
b
2<
/p>
,
c
2
.
5
；
三
.
随堂练习
1.
完成书上
P75
< br>练习
1
、
2
< br>2.
如果三条线段长
a,b,c
满足
a
2
c
2
b
2
，
这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
3.A,B,C
三地的两两距离如图所示，
A
地在
B
地的正东
方向，
C
地在
B
地的什么方向？
4.
思考：我们知
道
3
、
4
、<
/p>
5
是一组勾股数，
那么
< br>3k
、
4k
、
< br>5k
（
k
是正整数）
也是一组勾股数吗？一般地，
如果
a
、
b
、
c
< br>是一组勾股数，那么
ak
、
bk
、
ck
（
k<
/p>
是正整数）也是一组勾股数吗？
四
.
课堂检测
1.
若△
ABC
的三边
a
，
b
，
c
满足条件
a
+b
+c
+338=10a+24b+26c
，试判定△
ABC
的形状．
2.
一根
24
米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？
C
2
2
2
3.
已知：如图，在△
ABC
中，
CD
是
AB
边上的高，且
CD
=AD
·
BD
。
求证：△
ABC
是直角三角形。<
/p>
五
.
小结与反思
<
/p>
18.2
勾股定理逆定理（
2
）
学习目标：
1.
进一步掌握勾股定理的逆定理，
并会应用
勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，
能够
理解
勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。
2
.
培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
3.
在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的
程度。
4.
培养数学思维以及合情推
理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
重点：勾股定理的逆定理
难点：勾股定理的逆定理的应用
<
/p>
B
D
A
2
一
.
预习新知
已知：如图，四边形
ABCD
，
AD
∥
BC
，
AB=4
，
BC=6
，
CD=5
，
AD=3
。
求：四边形
ABCD
的面积。
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形
二
.
课堂展示
例
1.
“远航”号、“海天”号轮船同
时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行
16
海里，“海天”号每小时航行
12
海里，它们离开港口一个半
小时后相距
30
海里．如果知道“远航”号
沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
A
D
D
C
B
E
C
图
18.2-3
A
B
例
2
．
如图，
小明的
爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，
爸爸让小明计算一下土地的面积，
以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，
测
得
AB=4
米，
BC=3
米，
CD=13
米，
DA=
12
米，
又已知∠
B=90
°。
三
.
随堂练习
1.
完成书上
P76
< br>练习
3
2.
一个三角形三边之
比为
3
：
4
：
5
，则这个三角形三边上的高值比为
A 3:4:5 B 5:4:3 C
20:15:12 D 10:8:2
3.
如果△
ABC
的三边
a,b,c<
/p>
满足关系式
a
2
b
18
+
（
b-18
）
+
c
30
=0
则△
ABC
是
_______
三
2
角
形。
四
.
课堂检测
1.
若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，满足（
a
－
b
）（
a
＋
b
－
c
）
=0
，则△
ABC
是（
）
2
2
2
A
．等腰三角形；
B
．直角三角形；
C
．等腰三角形或直角三角形；
D
．等腰直角三角形。
2.
若△
ABC
的三边
a
、
b
、
c
，满足
a
：
b
：
c=1
：
1
：
2
，试判断△
ABC
的形状。
3.
已知：如图，四边形
ABCD
，<
/p>
AB=1
，
BC=
求：四边形
ABCD
的面积。
B
C
D
A
3
13
，
CD=
，
AD=3
，且
AB
⊥
BC
。
<
/p>
4
4
4.
小强在
操场上向东走
80m
后，又走了
60m
，再走
100m
回到原地。小强在操场
上向东走了
80m
后，又
走
60m
的方向是
。
5.
一根
30
米长的细绳折成
3
段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长
7
米，比较长边短
1
米，请你试判断这个三角形的形状。
6.
已知△
ABC<
/p>
的三边为
a
、
b
、
c
，且
a+
b=4
，
ab=1
，
< br>c=
14
，试判定△
ABC
的形状。
7.
如
图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝
＝
90
.
。
1
ＢＣ，求证：∠ＥＦＡ
4
五
.
小结与反思
勾股定
理复习（
1
）
学习目标
1.
理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边
.
2.
勾股定理的应用
.
3.
会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形
.
重点：掌握勾股定理及其逆定理
.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用
.
一
.
复习回顾
在本章中，
我们探索了直角三角形的三边关系，
并在此基础上得到了勾股定理，
并学习了如何利用拼图
验证勾股定理，
介绍了勾股定理的用途；
本章后半部分学习了勾
股定理的逆定理以及它的应用．
其知识
结构如下：
1.
勾股定理：
(1)
直角三角形两直角边的
______
和等于
_______
的平方．
就是说，
对于任意的直角三角形，
如果它的两
条直角边分别为
a
、
b
，斜边为
c
，那么一定有：
< br>————————————
.
这就是勾股定理．
(2)
勾股定理揭示了直角三角形
___
之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
a
2
c
2
b
2
,
b
2
c
2
a<
/p>
2
,
c
a
2
b
2
,
a
c
2
b
2
,
b
c
2
a
2<
/p>
．
勾股定理的探索与验证，一般采用“
构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从
而得出或验证勾股定理
．
2.
勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为
______
__.
”这一命题是勾股定理的
逆定理
.
它可以帮助我们判断三角形的形状
.
为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法
.
定理的
证明采用了构造法
.
利用已知三角形的边<
/p>
a,b,c(a
+b
=c
)
，先构造一个直角边为
a,b
的直角三角形，由
勾股定理证明第三边为
c,
进而通过“
SSS
”证明两个三角形全等，证明定理成
立
.
2
2
2
3.
勾股定理的作用：
(1
）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2
）在数轴上作出表示
n
< br>（
n
为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的
.
勾股定理的逆定理也可用来证明两直线
是否垂直
,
勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，
它不仅
可以判定三角形是否为直角三角形，
还可以判定哪一个角
是直角，
从而产生了证明两直线互相垂直的新
方法：利用勾股定
理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
(3
)
三角形的三边分别为
a
、
b
、
c
，其中
c
为最大边，若
a
b
c
，则三角形
是直角三角形；若
2
2
2
a
2
b
< br>2
c
2
，则三角形是锐角三角形；若
a
2
b
2
c
，则三角形是钝角三角形．
所以使用勾股
定理
的逆定理时首先要确定三角形的最大边．
二
.
课堂展示
例
1
：如果一个直角三角形的两条边长
分别是
6cm
和
8cm
，那么这个三角形的周长和面积分别是多少
?
例
2
：如图，在四边形
ABCD
中，∠
C=90
°，
AB=
13
，
BC=4
，
CD=3
，
AD=12
，求证：<
/p>
AD
⊥
BD
．<
/p>
三
.
随堂练习
1.
如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形
的一组数是
( )
A
．
7
，
24
，
25 B
．
3
1<
/p>
1
1
1
1
，
4
，
5
C
．
3
，
4
，
5 D
．
4
，
7
，<
/p>
8
2
2
2
2
2
2.
如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的
2
倍，那么斜边扩大到原来的
( )
A
< br>．
1
倍
B
．
2
倍
C
．
3
倍
D
．
4
倍
<
/p>
3.
三个正方形的面积如图
1
，正方形
A
的面积为（
）
A
．
6
B
．
36
C
．
64
D
．
8
100
图
1
64
A
4.
直
角三角形的两直角边分别为
5cm
，
1
2cm
，其中斜边上的高为（
）
A
．
6cm
B
．
8
．
5cm C
．
30
60
cm
D
．
cm
13
13
2
2
5.
在△
ABC
中，三条边的长分别为
a
，
b
，
c
，
a
＝
n
－
1
，
b
＝
2
n
，
< br>c
＝
n
+1(
< br>n
＞
1
，且
n
为整数
)
，这个三角
形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角
四
.
课堂检测
1
．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖
8cm
，另一只朝左挖，每分钟挖
6cm
，
10
分钟之
后两只
小鼹鼠相距（
）
A
．
50cm
B
．
100cm
C
．
140cm
D
．
80cm
2
．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多
1m
，当它把绳子的下端拉开
5m
后，
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为
（
）
A
．
8cm
B
．
10cm
C
．
12cm
D
．
14cm
3
．在△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，若
a
＝
5
，
b
＝
12
，则
c
＝＿＿＿
4
．等腰△
ABC
的面积为
12cm
，底上的高
AD
＝
3cm
，则它的周长为＿＿＿．
5
．等边△
ABC
的高为
3cm
，以
AB
为边的正方形面积为＿＿＿．
6
．一个三角形的三边的比为
5
∶
12
∶
13
，它的周长为
60cm
，则它的面积是＿＿＿
7
．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门
高出
1
尺，斜放就恰好
等于门的对角线
长，已知门宽
4
尺．求竹竿高与门高．
8
．如图
3
，
台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部
8m
处，已知旗杆
原长
16m
，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？
五
.
小结与
反思
8m
图
3
2
勾股定理复习
(2)
学习目标
1.
掌握直角三角形的边、
角之间所存在的关系，
熟练应用直角三
角形的勾股定理和逆定理来解决实际问
题．
< br>2.
经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．
3.
熟悉勾股定理的历史，
进一步了解我国古代数学的伟大成就，
激发爱国主义思想，
培养良好的学习态
度．
重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用．
难点：应用勾股定理以及逆定理．
考点一、已知两边求第三边
1
．在直角三角形中
,
若两直角边的长分别为<
/p>
1cm
，
2cm
，则斜边长为
______
．
2
．已知直角三角形的两边长为
3
、
2
，则另一条边长是
________________
．
3
．在数轴上作出表示
10
的点．<
/p>
4
．已知，如图在Δ
< br>ABC
中，
AB=BC=CA=2cm
< br>，
AD
是边
BC
上的高．
求
①
AD
的长；②Δ
ABC<
/p>
的面积．
考点二、利用列方程求线段的长
1<
/p>
．
如图，
铁路上
A
，
B
两点相距
25km
，
C
，
D
为两村庄，
DA
⊥
AB
于
A
，
CB
⊥
AB
于
B
，
已知
DA=15km
，
CB=10km
，
现在要在铁路
AB
上建一个土特产品收购站
< br>E
，使得
C
，
< br>D
两村到
E
站的距离相等，则<
/p>
E
站应建在离
A
站
多少
km
处？
2.
如图，某学校（
A
点）与公路（直线
L
）的距离为
< br>300
米，又与公路车站（
D
点
）的距离为
500
米，
现要在公路上建
一个小商店（
C
点），使之与该校
A<
/p>
及车站
D
的距离相等，求商店与车站之间
的距离．
D
C
A
E
B
考点三、判别一个三角形是否是直角三角形
< br>1.
分别以下列四组数为一个三角形的边长：（
1
）
3
、
4
、
5
（
2
）
5
、
12
< br>、
13
（
3
）
8
、
15
、
17
（
4
）
4
、
5
、
6
，其中能够成直角三角形的有
2.
若三角形的三别是
a
+b
,2ab,a
-b
(a
>b>0),
则这个三角形是
.
2
3.
如图
1
，在△
ABC
中，
A
D
是高，且
AD
BD
CD
，求证：△
ABC
为直角三角形。
2
2
2
2
考点
四、灵活变通
1.
在
Rt
△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是三条边，∠
B=90
°，已知
a=6
，
b=10
，则边长
c=
2.
直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为
7
cm
2
，
8
cm
2
，则以斜边为边长的正方形的
面
积为
_________
cm
2
．
B
3.
如图一个圆柱，底圆周长
6cm
，高
4cm
，一只蚂蚁沿外
6
8
壁
爬行，要从
A
点爬到
B
点，则最少要爬行
cm
4.
如图：带阴影部分的半圆的面积是
（
取
3
）
5.
一只蚂蚁
从长、宽都是
3
，高是
8
的长方体纸箱的
A
点沿纸箱爬到
B
点，那么
它所爬行的最短路线的长是
6.
若一个三角形的周
长
12
c
m,
一边长为
3
c
m,
其他两边之差为
c
m,
则这个三角形是
______________________
．
7.
如图：在一
个高
6
米，长
10
米的楼梯表面铺地毯，
则该地毯的长度至少是
米。
考点五、能力提升
1.
已知：如图，△
ABC
中，
AB
＞
AC
，
AD
是
BC
边上的高．
A
求证：
AB
2
-AC
2
=BC(BD-DC)
．
2.<
/p>
如图，四边形
ABCD
中，
F
为
DC
的中点，
E
为
BC
上一点，
且
CE
<
/p>
B
D
C
E
A
1
BC
．你能说明
∠
AFE
是直角吗？
4
3.
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm
，
BC=8cm
，现将直角边
AC
沿直线
AD
折叠，使它落
在斜边
AB
上，且与
AE
重合，你能求出
CD
的长吗？
三
.
随堂检测
1
．已知△
ABC
中，∠
A=
∠
B=
∠
C
，则它的三条边之比为（
）．
A<
/p>
．
1
：
1
：
1
B
．
1
：
1
：
2
C
．
1
：
2
：
3
D
．
1
：<
/p>
4
：
1
2
．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（
）．
A
．<
/p>
6
，
7
，
8
B
．
5
，
6
，
7
C
．
4
，<
/p>
5
，
6
D
．
3<
/p>
，
4
，
5
3
．若等边△
ABC
的边长为
2cm
，那么△
ABC
的面积为（
）．
A
．
3
cm
B
．
2 cm
C
．
3 cm
D
．
4cm
2
2
2
2
4.
直角三
角形的两直角边分别为
5cm
，
12c
m
，其中斜边上的高为（
）
A
．
6cm
B
．
8
．
5cm C
．
30
／
13cm D
．
60
／
13 cm
5.
有两棵树，一棵高
6
< br>米，另一棵高
3
米，两树相距
4
米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树
梢，至少飞了＿
＿＿米．
6.
一座桥横跨一江，桥长
12m
，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到
达南岸以后，发
现已偏离桥南头
5m
，
则小船实际行驶＿＿＿
m
．
7.
一个三角形的三边的比为
5
∶
12
∶
13
，它的周长为
60cm
，则它的面积是＿＿＿．
8.
已知直角三角形一个锐角
60
°，斜边长为
1
，那么
此直角三角形的周长是
．
9.
有一
个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，
如果把竹竿竖放就比门高出
1
尺，
斜放就恰好等
于门的对角线长，已知门宽
4
尺．求竹竿高与门高．
10.
如图
1
所示，梯子
AB
靠在墙上，梯子的底端
A
到墙根
O
的距离为
2m
，梯子
的顶端
B
到地面的距离
为
7m
．现将梯子的底端
A
向
外移动到
A
′
,
使梯子的底端
A
′到墙根
O
的距离为
3m
，同时梯子的顶端
B
下降到
B
′，那么
BB
′也等于
1m
吗<
/p>
?
B
11.
已知：如图△
ABC
中，
AB=AC=10
，
BC=16
，点
D
< br>在
BC
上，
DA
⊥
CA
于
A
< br>．
求：
BD
< br>的长．
四
.
< br>小结与反思
复习第一步：：
勾股定理的有关计算
例
1
：
（
2006
年甘肃省定西市中考题）下图阴
影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
．
析解：
图
中阴影是一个正方形，
面积正好是直角三角形一条直角边的平方，
因此由勾股定理得正方形边
长平方为：
172-152=64
，故正方形面积为
6
勾股定理解实际问题
例
2
．（
2004
年吉林省中
考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：
cm
）．
其中矩形
ABCD
是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分
DCEF
为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插
在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为
220cm
．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②．
求彩旗下垂
时最低处离地面的最小高度
h
．
析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形
DCEF
A
′
A
图
1
O
B
′
的对角线
DE
的长度，连接
DE
，在
Rt
△
DEF
中，根据勾股定理，
< br>
得
DE=
h=220-150=70(cm)
所以彩旗下垂时的最低处
离地面的最小高度
h
为
70cm
与展开图有关的计算
例
3
、（
2005
年青岛市中
考试题）如图，在棱长为
1
的正方体
A
BCD
—
A
’
B
’
C
’
D<
/p>
’的表面上，求从顶
点
A
到顶点
C
’的最短距离．
析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可
以把它展开成平面图形，如图是正方体
展开成平面图形的一部分，在矩形
ACC
’
A
’中，线段
AC
’是点
A
到点<
/p>
C
’的最短距离．而在正方体中，
线段<
/p>
AC
’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点
< br>A
到顶点
C
’的最短距离就是在
图
2
中线段
AC
’的
长度．
在矩形
ACC
’
A
’中，因为
AC=2
，
CC
’
=1
所以由勾股定理得
AC
’
=
．
∴从顶点
A
到顶点
C
’的最短距离为
复习第二步：
1<
/p>
．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和
直角边；
另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；
为了避免这
些错误的出现，
在解题中，
同学们一定要找准直
角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．
例
4
：在
Rt
△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是三条边，∠
B=90
°，已知
a=6
，
b=10
，求边长<
/p>
c
．
错解：因
为
a=6
，
b=10
< br>，根据勾股定理得
c=
剖析：上面解法，由于审题
不仔细，忽视了∠
B=90
°，这一条件而导致没有分清直角三
角形的斜边和直
角边，错把
c
当成了斜
边．
正解：因为
a=6
，
b=10
，根据勾股定理得，
c=
温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用
c2=a2+b2
例
5
：已知一个
Rt
△
ABC
的两边长分别为
3
和
4
，则第三边长的平方是
错解：因为
Rt
△
ABC
的两边长分别为
3
和
4
，根据勾股定理得
:
第三边长的平方是
32+42=25
剖析：此题并没有告诉我们已知的边长
4
一定是直角边，而
4
有可能是斜边
，因此要分类讨论．
正解：
当
4
为直角边时，
根据勾股定理第三边长的平方
是
25
；
当
4
为斜边时，
第三边长的平方为：
42-
32=7
，
因此第三边长的平方为：
2
5
或
7
．
<
/p>
温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．
例
6
：已知
a
，
b
，
c
为⊿
ABC
三边，
a=6
，
b=8
，
<
br>，结合三角形三边关系得 <
br>、 <
br>、 <
br>． CD
<
br>．在
b
，且
c
为整数，则
c=
．
错解：由勾股定理得
c=
剖析：此
题并没有告诉你⊿
ABC
为直角三角形，因此不能乱用勾股定理
．
正解：由
b
8
，即
8
，又因
c
为
整数，故
c
边长为
9
10
、
11
12
、
13
温馨提示：
只有在直角三角
形中，
才能用勾股定理，
因此解题时一定注意已知条件中是否为
直角三角形．
2
．思想方法：本节主
要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；
例
7
：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm
，
BC=8cm
，现将直角边
AC
沿直线
A
D
折叠，使它
落在斜边
AB
上，且与
AE
重合，你能求出
的长吗？
析解：
因两直角边
AC=6cm
，
BC=8cm
，
所以由勾股定理求得
AB=10
cm
，
设
CD=x
，
由题意知则
DE=
x
，
AE=AC=6
，
BE=10-6=4
，
BD=8-x
Rt
△
BDE
由勾股定理得：
42+x2=(8-x)2
，解得<
/p>
x=3
，故
CD
的长能求出且为
3
．
运用中的质疑点：（
1
）使用勾股定理的前提是直角三
角形；（
2
）在求解问题的过程中，常列方程或方
程组来求解；（
3
）已知直角三角形中两边长，求第
三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，
不能确定时，要分类讨论．
复习第三步：
选择题
1
．已知△
ABC
中，∠
A=
∠
B=
∠
C
，则它的三条边之比为（
）．
A
．
1
：
1
：
B
．
1
：
：
2
C
．
1
：
：
D
．
1
：
4
：
1
2
．已知直角三角形一个锐角
60
°，斜边长为
1
，那么此直角三角
形的周长是（
）．
A
．
B
．
3
C
．
D
．
3
．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（
）．
A
．
6
，
7
，
8 B
．
5
< br>，
6
，
7 C
．
4
，
5
，
6 D
．
3
，
4
，
5
4
．下列各命题的逆命题成立的是（
）
A
．全等三角形的对应角相等
B
．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C
．两直线平行，同位角相等
D
．如果两个角都是
45
°，那么这两
个角相等
5
．若等边△
ABC
的边长为
2cm
，那么△
ABC
的面积为（
）．
A
．
cm2
B
．
2 cm2
C
．
3 cm2
D
．
4cm2
6
．在
Rt
△
ABC
中，已知其两直角边长
a=1
，
< br>b=3
，那么斜边
c
的长为（<
/p>
）．
7<
/p>
．直角三角形的两直角边分别为
5cm
，
12cm
，其中斜边上的高为（
）
A
．
6cm
B
．
8
．
5cm
C
．
cm
D
．
cm
8
．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖
8cm
，
另一只朝左挖，每分钟挖
6cm
，
10
分钟之
后两只小鼹鼠相距（
）
A
．
50cm
B
．
100cm
C
．
140cm
D
．
80cm
9
、有两棵树，一棵高
6
米，另一棵高
3
米，两树相距
4
米．一只小鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的
树梢，至少飞了＿＿＿米．
10
．一座桥横跨一江，桥长
12m
，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，
发
现已偏离桥南头
5m
，则小船实际行驶＿＿＿
< br>m
．
11
．一个三角形的三边的比为
5
∶
1
2
∶
13
，它的周长为
60cm
，则它的面积是＿＿＿．
< br>12
．在
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，中线
BE
＝
13
，另一条中线
AD2
< br>＝
331
，则
AB
＝＿＿＿．
13
．
有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，
如果把竹竿竖放就
比门高出
1
尺，
斜放就恰好
等于门的对角线长，已知门宽
4
尺．求竹竿高与门
高．
14
．如图
3
，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部
8m
处，已知旗
杆原长
16m
，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．
15
．如图
4
< br>所示，梯子
AB
靠在墙上，梯子的底端
< br>A
到墙根
O
的距离为
2m
，梯子的顶端
B
到
地面的距离
为
7m
．现将梯子的底端<
/p>
A
向外移动到
A
′
,
使梯子的底端
A
< br>′到墙根
O
的距离为
3m
，同时梯子的顶端
B
下降到
< br>B
′，那么
BB
′也等于
1m
吗
?
16
．在△
ABC
中，三条边的长分别为
a
，
b
，
c
，
a
＝
n2
－
1
，
< br>b
＝
2n
，
c
＝
n2+1(n
＞
1
，且
n
为整数
)
，这个
三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是
直角？与同伴一起研究．
15
、参考
在
Rt
△
ABO
中，
梯子
AB2
＝
< br>AO2+BO2
＝
22+72
＝
53
．
在
Rt
△
A
′
B
′
O
中，
梯子
A
′
B
′
2
＝
53
＝
A
′
O2+B
′
O2
＝
32+B
′
O2
，所以，
B
′
O
＝
＝
＝
2 <
/p>
＞
2
×
3
＝
6
．所以
BB
′＝
OB
－
OB<
/p>
′＜
1
．
16
、参考．因为
< br>a2
＝
n4
－
< br>2n2+1
，
b2
＝
4n
，
c2
＝
n4+2n2+1
，
a2+b2
< br>＝
c2
，所以△
ABC
是直角三角形，∠
C
为直角．
< br>
复习小结
通过教学，
我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，
因此要注意直角三角
形的条件，
要创造直
角三角形，
作高是
常用的创造直角三角形的辅助线做法，
在做辅助线的过程中，
提
高学生的综合应用能
力。
在不条件、
不同环境中反复运用定理，要达到熟练使用，灵活运用的程度
第十九章
平行四边形
19.1.1
平行四边形及其性质
(
一
)
教学目标：
1
．
理解并
掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2
．
会用平
行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3
．
培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．
重点、难点
4
．
重点：
平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
5
．
难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
教学过程
一
.
温故知新：
1.
< br>有两组对边
__________________
的四
边形叫平形四边形，平行四边形用“
______
”表示，平行
四边形
ABCD
记作
__________
。
2
.
如图
□
ABCD
中，对边有
______
组，分别是
___________________
，对角有
____
_
组，分别是
_________________
，对角线有
____
__
条，它们是
___________________
。
二
.
学习新知：
1.
自学
课本
P
83
～
P
84
，填空：平行四边形的性质
<
/p>
（
1
）边：
__
__________________________________________________
_____
（
2
）角：
_____________________________________________
____________
例：
□
A
BCD
中，如果
AB
∥
CD
，那么
AB
=_____
_
，
BC
=______
，∠
A
=______
，∠
B
=______.
2.
看例
1
，完成课本
P
84
的练习
.
三
.
释疑提高：
1.
□
ABCD
中，两邻角之比为<
/p>
1
∶
2
，则它的
四个内角的度数分别是
____________.
2.
□
ABCD
的周长是
28
cm
，△
ABC
的周长是
22
cm
，则
AC
的长是
__________.
3.
如图，在
□
AB
CD
中，
M
、
N
是对角线
BD
上的两点，
BN=DM
，请判断
AM
与
CN
有怎样的数量关系，并说
明理由
.
它们的位置关系如何呢？
A
N
M
B
C
D
A
D
D
E
F
C
F
B
E
< br>C
A
B
4.
如图，在
□
ABCD
中，
AE
⊥
BC
于
E
< br>，
AF
⊥
CD
< br>于
F
，若∠
EAF
=60
°，
BE
=2
cm
，
DF
=3
cm
，求
□
ABC
D
的周长
和面积
.
若问题改为
CF
=2
cm
，
CE
=3
cm
，求
□
ABCD
的周长和面积
.
5.
□
ABCD
中，
E
在
边
AD
上，以
BE
为折痕，将△
ABE
向上翻折，点
A
正好落在
CD
上的点
F
，若△
FDE
的
周长为
8
，△
FCB
的周长为
22
，求
CF
的长
.
四
.
小结归纳：
五．巩固检测
19.1.1
平行四边形的性质
(<
/p>
二
)
教学目标：
理解平行四边形中心对称
的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
能综合运用
平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．
培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．
重点、难点
重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．
难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
教学过程
一
.
温故知新：
1.
平行四边形的定义是：
______________
_________________________________.
2.
所学平行四边形的性质有：平行四边形的对边
__________
____
，平行四边形的对角
______________.
3.
如图，在
□
ABCD
中，
BC=
2
AB
，
M
是
AD
的中点，则∠
BMC
=_
__________.
二
.
学习新
知：
B
C
A
M
D
1.
自学
课本
P
85
～
86
内容，填空：
平行四边形的又一
个性质是：
______________________________
，
当图形中没有平行四边形的对角线时，
往往需
作出对角线
.
由此得到平行四边形的性质有：
（<
/p>
1
）边：
_____________
（
2
）角：
_
____________
（
3
）
对角线：
_____________
2.
< br>看例
2
，完成课本
P
86
的练习
.
三
.
释疑提高：
D<
/p>
1.
在
□
ABC
D
中，
AC
、
BD
交于点
O
，
已知
AB
=8
cm
< br>，
BC
=6
cm
，
△
AOB
的周长是
18
cm
，
那么△
AOD
的周长是
____________
_.
2.
□
ABCD
的对角线交于点
O
，
S
△
AOB
=2
cm
，则
S
□
ABCD
=__________.
2<
/p>
C
O
B
A
3.
□
ABCD<
/p>
的周长为
60
cm
，对角线交于点
O
，△
BOC
的周长比△
AOB
的周长小
< br>8
cm
，则
AB
=______
cm
，