余数性质及同余定理(B级)
皮卡丘图片-
余数四定理
一、
余数性质及定理
知识框架
带余除法的定义及性质
1.
定义：一般地，如果
a
是整数，
b
是整数（<
/p>
b
≠0
）
,
若有
a
÷
b
=
q
……
r
，也就是
a
＝
b
×
q
＋
r
,
0≤
r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式
。这里：
(1)
当
< br>r
0
时：我们称
a
可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或完全商
(2
)
当
r
0<
/p>
时：我们称
a
不可以被
< br>b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型
:
如图
这是一堆书，
共有
a
本，这个
a
就可以理解为被除数，现在要求按照
b
本一捆打包，那么<
/p>
b
就是除数
的角色，经过打包后共打包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
d
本，这个
d
就是余数。
这个图能够让学生清晰的
明白带余除法算式中
4
个量的关系。并且可以看出余数一定要比
除数小。
2.
余数的性质
⑴
被除数
除数
商
<
/p>
余数；除数
（被除数
< br>
余数）
商；商
（被除数
余数）
除数；
⑵
余数小于除数．
一、
余数定理：
1.
余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数
之和，或这个和除以
c
的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
< br>3
和
1
，
所以
23+16
＝
39
除以
5
的余数等于
4
，
即两个余数的和
3+1.
< br>当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23+19
＝
42
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数为<
/p>
2
2.
余数的加法定理
a
与
b
的差除以
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数
之差。
例如：
23
< br>，
16
除以
5
< br>的余数分别是
3
和
1
，所以
23
－
16
＝
7
除以
5
的余数等于
2
，两个余数差
3
－
1
＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
脑袋转转：电线杆上绑鸡毛
好大的胆子
!
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余数四定理
例如：
< br>23
，
14
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，
23
－
14
＝
9
除以
5
的余数等于
4
，两个余
数差为
3
＋
5
－
4
＝
4
3.
余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余
数的积，或者这个积除以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23×
16
除以
5
的余数等于
3×
1
＝
3
。当余数的和比除
数大时，所求的
余数等于余数之积再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23×
19
除以
5
的余数等于
3×
4
除以
5
的余数，即
2.
< br>乘方：如果
a
与
b
除以
m
的余数相同，那么
a
n
与
b
n
除以
m
的余数也相同．
二、
1
、
定义
整数
a
和
b
，
除以一
个大于
1
的自然数
m
< br>所得余数相同，
就称
a
和
b
对于模
m
同余或称
a
和
b
在
模
m
下同余，即
a≡b
（
modm
）
2
、
同余的重要性质及举例。
〈
1
〉
a≡a
（
modm
）
（
a
为任意自然）
；
〈
2
〉若
a≡b
（
modm
）
，则
b≡a
（
modm
）
〈
3
〉若
a≡b
（
modm
）
，
b≡c
（
modm<
/p>
）则
a≡c
（
m
odm
）
；
〈
4
〉若
a≡b
（
modm
）
，则
< br>ac≡bc
（
modm
）
〈
5
〉若
a≡b
（
modm
）<
/p>
，
c≡d
（
mo
dm
）
，则
ac=bd
（
modm
）
；
〈
6
〉若
a≡b
（
modm
）则
an≡bm
（
modm
）
其中性质〈
3
< br>〉常被称为
同余的可传递性
，性质〈
4
〉
、<
/p>
〈
5
〉常被称为
同余的可乘性，
性质〈
6
〉
常被称为
同余的可开方性
注意：一般地同余没有
可除性
，但是：如果：
ac=bc
（
modm
）且（
c
，
m
）
=1
则
a≡b
（
modm
）
3
、
整数分类：
〈
1
〉用
2
来将整数分类，分为两类：
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
……
（奇数）
；
0
，
2
，
4
，
6
，
8
< br>，
……
（偶数）
〈
2
〉用
3
来将整数分类，分为三类：
0
，
3
，
6
，
9
，
12
，<
/p>
……
（被
3
除余
数是
0
）
1
，
4
，
7
，
10
，
13
，
……
（被
3
除余数是
1
）
<
/p>
2
，
5
，
8
，
11
，
14
，
……
（被
3
除余数是
2
）
〈
3
〉在模
6
的情况下，可将整数分成六类，分别是：
0
（
mod6
）
：
0
，
6<
/p>
，
12
，
18<
/p>
，
24
，
……<
/p>
脑袋转转：电线杆上绑鸡毛
好大的胆子
!
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同余定理
余数四定理
1
（
mod6
）
：
1
，
7
，
13
，
19
，
25
，
……
2
（
mod6
）
：
2
，
8
，
14
，
20
，
26
，
……
3
（
mod6
）
：
3
，
9<
/p>
，
15
，
21<
/p>
，
27
，
……<
/p>
4
（
mod6
）
：
4
，
10
，
16
，
22
，
29
，
……
5
（
mod6
）
：
5
，
11
，
17
，
23
，
29
，
……
重难点
一个自然数被
9
除的余数和这个自然数
所有数字之和被
9
除的余数相同。
<
/p>
同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟
出它的一
些运用技巧和方法．
例题精讲
【
例
1
】
两数相
除，商
4
余
8
，被除数、除数、商数、余数四数之和等于
415
，则被除数是
_______
．
【
巩
固
】
用
一个自然数去除另一个自然数，商为
40
，余数是
16.
被除数、除数、商、余数的和是
933
，求
这
2
个自然数各是多少？
【
例
2
】
有一个
整数，用它去除
73
，
112
，
165
所得到的
3<
/p>
个余数之和是
60
，那么这个整数是
______
。
【
巩
固
】
用自然数
n
去除
65
，
94
，
129
得到的三个余数之和为
30
，那么
n
=____
____
．
脑袋转转：电线杆上绑鸡毛
好大的胆子
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余数四定理
【
例
3
】
求
143
除以
7
的余
数．
222
2
【
巩
固
】
除以
13
所得余数是？<
/p>
2013
个
<
/p>
89
【
例
4
】
一个家
庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是
3
的
整数倍，每人的岁数都
是一个质数，四人岁数之和是
100
，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁
?
【
巩
固
】
有
三所学校，高中
A
校比
B
校多
10
人，
B
校比
C
校多
10
人．三校共有高中生
2196
人
．有一所
学校初中人数是高中人数的
2
倍；
有一所学校初中人数是高中人数的
1.5
< br>倍；
还有一所学校高中、
初中人数相等．三所学校总人数
是
5480
人，那么
A
校总人数是
________
人．
脑袋转转：电线杆上绑鸡毛
好大的胆子
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余数四定理
【
例
5
】
若
2836
，
4582
，
5164
，
6522
四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除
数和余数的
和为
_______
．
【
巩
固
】
一
个大于
1
的数去除<
/p>
290
，
235
，
200
时，得余数分别为
a
，
a
2
，
a
5
< br>，则这个自然数是多少？
【
例
6
】
有这样
一类
2009
位数，它们不含有数字
0
，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都
有一个约数
和
20
相差
1
，这样的
2009
位数共有
_____
___
个．
【
巩
固
】
在
两位数
10
，
11
，
…
，
98
，
99
中，将每个被
7
除余
2
的数的个位与十位之间添加一
个小数点，
其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少
< br>?
脑袋转转：电线杆上绑鸡毛
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