余数性质及同余定理B级答案
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余数性质及同余定理
知识框架
一、
带余除法的定义及性质
1.
定义：一般地，如果
a
是整数，
b
是整数（<
/p>
b
≠
0
）
,
若有
a
÷
b=q
……
r
，也就是
a
＝
b
×
q
＋
r,
0
≤
r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除
法算式。这里：
(1)
当时：我们称
a
可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或完全商
0r
(2)
当时：我们称
a
不可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商
0
r
< br>一个完美的带余除法讲解模型
:
如图
这是一堆书，共有
a
本，这个
a
就可以理解为被除数，现在要求按照
b
本一捆打包，那么
b
就是
除数的角色，
经过打包后共打包了
c
捆，
那么这个
c
< br>就是商，
最后还剩余
d
本，
这个
d
就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中
4
个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。<
/p>
2.
余数的性质
⑴
被除数除数商余数；除数（被除数
余数）商；商（被除数余数）除数；
⑵
余数小
于除数．
二、
余数定理：
1.
余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
< br>a,b
分别除以
c
的余数之和，
或这个和除以
c
的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
< br>，所以
23+16
＝
39
除以
5
的余数等于
4
，即两个余数的
和
3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23+19
< br>＝
42
除以
5
< br>的余数等于
3+4=7
除以
5<
/p>
的
余数为
2
2.
余数的加法定理
a
与
b
的差除以
c
的余数，等于
< br>a,b
分别除以
c
的余数之差。
＝
1
－
3
，两个余数差
2
的余数等于
5
除以
< br>7
＝
16
－
23
，所以
1
和
< br>3
的余数分别是
5
除以
16
，
23
例如：
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：
23
，
14
除以
5
的余数分别是
3
和
4
< br>，
23
－
14
< br>＝
9
除以
5
的余数等于
4
，两个余数差为
3<
/p>
＋
5
－
4
＝
4
3.
余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a,b
分别除以
c
的余数的积
，或者这个积除以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
< br>，所以
23
×
16
除以
5
的余数等于
3
×
1
＝
3
。当余数的
和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
2
3
×
19
除以
5
的余数等于
3
×
4
除以
5
的余数，
即
2.
nn
除以
m
的余数也相同．
m<
/p>
的余数相同，那么
与
< br>b
乘方：如果
a
与除以
ba
一、
同余定理
定义
1
、在
b
m
同余或称
a
和
a1
的自然数
m
所得余数相同，就称
和
b
对于模
整数
a
和
b
，除以一个大于
）
a
< br>≡
b
（
modm
模
m
下同余，即
同余的重要性质及举例。
2
、
；
）
（
a
为任意自然）
< br>〈
1
〉
a
≡
a
（
modm
< br>）
b
≡
a
（
modm2
〉若
a
≡
b
（
modm
）
，则〈
）
（
modm
；
，
b
≡
c
（
modm
）
则
a
≡
c
〈
3
< br>〉
若
a
≡
b
（
modm
）
（
modm
）
< br>a
≡
b
（
modm
）
，
则
ac
≡
bc
〈
4
〉
若
modm
）
；
modm
）
，则
ac=bd
（
〈
5
〉若
a
≡
b
（
modm
）
，
c
≡
d
（
modm
）
（
modm
）则
an
≡
bm
（
〈
6
〉若
a
≡
b
〉
性质〈
6
〉常被称为同余的可乘性，同余的可传递性，性质〈
< br>4
〉
、
〈
53
其中性质〈〉常被称为
同余的可开方性常被称为
）
a
≡
b
（
modm
，
modm
）且（
cm
）
=1
则
可除性注意：一般地同余没
有，但是：如果：
ac=bc
（
整数分类：
3<
/p>
、
〉用
2
来将整数分类，分为两类：
1
〈
……（奇数）
；
，
7
，
9
，
，
1
，
35
……（偶数）
6<
/p>
，
8
，
，
0
，
2
，
4
来将整数分类，分为三类：
〈
2
〉用
3
除余数是
0
）……，
9
，
12
，
（被
330<
/p>
，
，
6
）
（被
3
除
余数是<
/p>
1
，
，
，
14
，
710
，
13
……
除余数
是
2
）
3
……
1411852
，
，
< br>，
，
，
（被
的情况下，可将整数分成
六类，分别是：
6
〉在模
3
〈．
0
（
mod6
）
：
0
，
6
，
12
，
< br>18
，
24
，……
1
（
< br>mod6
）
：
1
，
7
，
13
< br>，
19
，
25
< br>，……
2
< br>（
mod6
）
：
2
，
8
，
14
，
20
，
26
，……
< br>3
（
mod6
）
：
3
，
9
，
15
，
21
，
27
，……
4
（
mod
6
）
：
4
，<
/p>
10
，
16
，<
/p>
22
，
29
，…
…
5
（<
/p>
mod6
）
：
5
，
11
，
17
，
23
，
29
，……
重难点
除的余
数相同。
9
除的余数和这个自然数所有数字之和被
9
一个自然数被同余在解答竞赛题中
有着广泛的应用
．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一
些运用技巧和
方法．
例题精讲
，那么，这个两位奇数是多少？，
余数是
491
】
一个两位奇数除
1477
【例
22
．求出符合条件的所有的两位数．
2024
除以一个两位数，余数是
巩【
固】
．
415
，则被除数是
_______
两数相除，商
4
余
8
，被除数、除数、商数、余数
四数之和等于
】
【例
2
，求
933
被除数、除数、商、余数的和是
40
，余数是
16.
< br>一个自然数去除另一个自然数，商为
固
【巩】
用
个自然数各是多少？这
2
的整数
倍，每人的岁数都
3
】
一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都
是
3
例【
，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁是一个质数，四人岁数之
和是
100?
【巩固】
有三所学校，高中
A
校比
B
校多
10
人，
B
校比
C
校多
10
人．三校
共有高中生
2196
人．有一所学校初中人数是高中人数的
2
倍；有一所学校初中人数是高中人数的
1
.5
倍；还有一
所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是
5480
人，那么
A
< br>校总人数是
________
人．
4
】
【例
除的余
数．求被
71993
437309<
/p>
。
73
倍被除，余数是
3
一
巩【固】
个数被
7
除，余数是，该数的
四个自然数都被同一个自然数相除
，
所得余数相同且为两位数，
除
516
4
，
，
652245822836
5
例
【
】
若，
．数和余数的和为
_______
【巩固】
一个大于
1
的数去除
< br>290
，
235
，
200
时，
得余数分别为，
，
，
则这个自然数是多少？
a5a
a
2
【例
6
】
有这样
一类
2009
位数，它们不含有数字
0
，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的
两位数都有一个约数
和
20
相差
1
，这样的
2009
位数共有
_____
___
个．
【巩固】
在两位数
10
，
11
< br>，…，
98
，
99
中，将每个被
7
除余
2
的数的个位与十位之间添加一个
小数点，其余的数不变．问：经过这
样改变之后，所有数的和是多少
?
【例
7
】
甲、乙
、丙三数分别为
603
，
939
，
393
．某数除甲数所得余数是除乙数所得
余数的
2