等比数列的前n项和例题详细解法
方差公式-
等比数列的前
n
< br>项和例题详细解法
・
例题解析
【例
1
】
<
/p>
设等比数列的首项为
a(a
＞
0)
，公比为
q(q
＞<
/p>
0)
，前
n
项和
为
80
，其中
最大的一项为
54
，又它的前
2n
项和为
656
0
，求
a
和
q
.
解：
由
S<
/p>
n
=80
，
S<
/p>
2n
=6560
，故
q≠1
∵a＞
0
，
q
＞
1
，等比数列为递增数列，故前
n
项中最大项为
an
．
∴a
n
=aq
n-1
< br>=54
④
将③代入①化简得
a=q
－
1
⑤
由⑤，⑥联立方程组解得
a=2
，
q=3
证
∵Sn=a
1
＋
a
1
q
＋
a
1
q
2
＋
...
＋
a
1
q
n-1
S
2n
=S
n
＋
(a
1
q
n
＋
a
1
q
n+1
＋
...
＋
a
1
q
2n-1
)
=S
n
＋
q
n
(a
< br>1
＋
a
1
q
＋
...
＋
a
1
q
n-1
)=S
n
＋
q
n
S
n
=S
n
(1
＋
q
n
)
< br>类似地，可得
S
3n
=S
n
(1
＋
q
n
＋
q
2n
)
说明
本题直接运用前
n
项和公式去解，也很容易．上边的解
法，灵活地处理
了
S
2n
、
S
3n
与
S
n<
/p>
的关系．介绍它的用意在于让读者体
会利用结合律、
提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学
问题的关键，并且变得好
，则解法巧．
【例
2
】
<
/p>
一个有穷的等比数列的首项为
1
，
项数为偶数，
其奇
数项的和为
85
，偶数项的和为
170
，
求这个数列的公比和项数．
分析
设等比数列为
< br>{a
n
}
，
公比为
q
，
取其奇数项或偶数项所
成
的数列仍然是等比数列，公比为
q
2
，首项分别为
a
1
，
a
1
q
．
解
设项数为
2n(n∈N*)，因为
a
1
=1
，由已知可得
q≠1．
即公比为
2
，项数为
8
．
说明
运用等比数列前
n
项和公式进行运算、推理时，对公比
q
要分情况讨论．
有关等比数列的问题所列出的方程
(
组
)
往往有高次
与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．
【例
3
】
<
/p>
已知
S
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项和，
S
n
＝
p
n
(p∈
R，n∈N*)，那
么数列
{a
n
}
．
[ ]
A
．是等比数列
B
．当
p≠0
时是等比数列
C
．当
p≠0，p≠1<
/p>
时是等比数列
D
．不是等比数列
分析：由
S
n
＝
p
< br>n
(n∈N*)，有
a
1
=S
1
＝
p
，并且当
n≥2
时，
a
n
< br>=S
n
－
S
n-1
＝
p
n
－
p
n-1
＝
(p
－
1)p
n-1
但满足此条件的实数<
/p>
p
是不存在的，故本题应选
D
．
【例
4
】
<
/p>
已知等比数列
1
，
x
1
，
x
2
，
...
，
x
2n
，
2
，求
x
1
・
x
2
・
x
3*
...
・
x
2n
．