高中数学等比数列和典型例题
吉他-
高中数学等比数列的前
n
项和例题解析
【例
1
】
设等比数列的首项为
a(a
＞
0)
，公比为
q(q
＞
0)
，前
n
项和为
80
，其
中最大的一项为
54
，又它的前
2n
项和为
6560
，求
< br>a
和
q
．
解
由
S
n
=80
，
S
2n
=6560
，故
q
≠
1
a
(
1
q
n
)<
/p>
①
1
q
=
80
③
a
(
1
q
< br>2
n
)
q
n
=
81
1
q<
/p>
=
6560
②
∵
a
＞
0
，
q
＞
1
，等比数列为递增数列，故前
n
项中最大项为<
/p>
a
n
．
∴
a
n
=aq
n-1
=54
④
将③代入①化简得
a=q
－
1
③
④
化简得
3a
=
2q
⑥
由⑤，⑥联立方程组解得
a=2
，
q=3
【例2
】
求证：对于等比数列，有
S
2
＋
S
2
n
2n
=
S
n
(S
2n
＋
S
3n
)
．
证
∵
S
n
=a
1
＋
a
1
q
＋
a
1
q
2
＋…＋
a
1
q
n-1
S
2n
=S
n
＋
(a
1
q
n
< br>＋
a
1
q
n+1
＋…＋
a
1
< br>q
2n-1
)
=S
n
＋
q
n
(a
1
＋
a
< br>1
q
＋…＋
a
< br>1
q
n-1
)
=S
n
＋
q
< br>n
S
n
=S
n
(1
＋
q
n
)
类似地，可得
S
3n
=S
n
(1
＋
q
n
＋
q
2n
)
∴
S
2
+
S
2
2
(1
＋
q
n
)]
2
n
2n
=
S
n
＋
[S
n<
/p>
=
S
2
(2
＋
2q
n
＋
q
2n
)
n
⑤
S
n
(S
2n
＋
S
3n
)
=
S
n
[S
n
(1
＋
q
n
)
＋
S
n
(1
＋
q
< br>n
＋
q
2n
)]
n
2n
=
S
2
n
(2
＋
2q
＋
q
)
2
∴
S
2<
/p>
n
＋
S
2n
=
S
n
(S
2n
＋
S
3n
)
【例
3
】
一个有穷的等比数列的首项为
1
，
项数为偶数，
其奇数项的和为
85
，
偶数项的和为
17
0
，求这个数列的公比和项数．
解
设项数
为
2n(n
∈
N*)
< br>，因为
a
1
=1
，由已知可得
q
≠
1
．
a
1
(
1
< br>
q
2
n
)
①
∴
1
q
2
=
85
a
2
n
1
q
(
1
q
)
1
q
2
=
170
②
①
②
得：
q
=
2
把
q
=
2
代入
①
n
得
1
4
1
4
=
85
∴
4
n
=
256
n
=
4
即公比为
2
，项数为
8
．
【例
4
】
选择题：在等比数列
{a
n
}
中，已知对任意正整数
n
，有
S
n
=2
n
－
1
，则
a
2
＋
a
2
2
1
2
＋…＋
a
n
等于<
/p>
[
A
．
(2
n
－
1)
2
B<
/p>
．
1
(2
n
－
1)
2
3
C
．
2
n
－
1
D
．
1
n
3
(4
－
1)
解
D
．
∵
a
1
=S<
/p>
1
=1
，
a
n
=S
n
－
S
n-1
=2
n-1
∴
a
n
=2
n-1
∴<
/p>
b
n
=(a
n<
/p>
)
2
=(2
n-
1
)
2
=2
2
n-2
=4
n-1
]
2<
/p>
2
∴
b
1
＋
b
2
＋…＋
b
n
=
a
1
＋
a
2
2
＋…＋
a
2
=
1
＋
4
＋
4
2
＋…＋
4
n
1
4
n
1
1
n
=
(
4
1
)
4
1
< br>3
【例
5
】
设
0
＜
V
＜
1
，<
/p>
m
为正整数，求证：
< br>(2m
＋
1)V
m
(1
－
V)
＜
1
－
V
2m+1
分析
直接作，不好下手．变形：
2
m
1
1
V
(2m
＋
1)V
m
＜
1
V
右边分式的外形，
使我们联想到等比数列求和公式，于是有：
(2m
＋
1)V
m
＜
1
＋
V
＋
V
2
＋…＋
V
2m
发现左边有
(2m
＋
1)
个
V
m
，右边有
(2m
＋
1)
项，变形：
V
m
＋
V
m
＋…＋
V
m
＜
1
＋
V
＋
V<
/p>
2
＋…＋
V
2m
．
显然不能左右各取一项比较其大小
，试用“二对二”法，即左边选两项与右
边的两项相比较．
鉴于
左、
右两边都具有
“距首末等远的任意两项指数之和均相等”<
/p>
的特点，想到以如下方式比较：
V
m
＋
V
m
＜
1
＋
V
2m
，
V
m
＋
V
m
＜
V
＋
V
2m-1
< br>，…，
V
m
＋
< br>V
m
＜
V
m-1
＋
V
m+1
< br>，
V
m
=V
m
．
即
2V
m
＜
1
＋
V
2m
，
2V
m
＜
V
＋
V
2m-1
，…．
根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”
，这些式
子显然成立．
(
具体证法从略
)
．
说明
本题
最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”
：
C
1
V
2
m
1
要证
A
·
B
< br>＜
C(B
＞
0)
，改证
A
＜
；见到
，去逆向运用
S
n
=
B
1
V
a
1
a
·
q
n
< br>，化成
1
＋
V
< br>＋
V
2
＋…＋
< br>V
2m
；要证
A
＋
B
＜
C
＋
D
，先证
A
＜
1
q