等比数列前n项和的性质
杜月笙-
第十课时
等比数列前
n
项和的性质及应用
【知识与技能
】
掌握等比数列前
n
项和公式的特点，
在此基础上能初步应用公式解决与之有
关的问题．
【重点难点】
重点：<
/p>
等比数列前
n
项和及性质的应用．
难点：
等比数列前
n
项和及性质的灵活应用．
【教学过程】
一、问题与探究
1.
在等差数列
{a
n
}
中，我们知道其前
n
项和
S
n
满足这样的性质，
S
n
，
S
2n
－
S
n
，
< br>S
3n
－
S
2n
，„也
成等差数列；等比数列的前
n
项和
S
n
是否也满足这一性质呢？试证明之．
等比数列前
n
项和的性质
在等比
数列
{a
n
}
中，
S
n
，
S
2n
－
S
n<
/p>
，
，„成等比数列，其公比是
.
a
1
1
－<
/p>
q
n
2
．等比数列前
n
项和公式
S
n
＝
(
q
≠
1)
，是否可以写成
S
n
＝
A
< br>(
q
n
－
1)(
Aq
≠
0
且
q
≠
1)
1
－
q
的形式？若可以，
A
等于什么？
提示：<
/p>
可以，
A
＝－
.
1
－
q
a
1
a
1
－
a
n
q
3
．等比数列前
n
项和公式
S
n
＝
(
q
≠
1)
．是否可以写成
S
n
＝
Aa
n
＋
B
(
A
B
≠
0
且
A<
/p>
≠
1)
的
1
－
q
形式？
提示：
可以，
A
＝
－
，
B
＝
.
1
－
q
1
－
q
等比数列前
n
项和与指数函数的性质
当
公比
q≠1
时
，等
比数
列的
前
n
项和公
式是
S
n<
/p>
＝
a
1
－
q
1
－
q
n
q
a
1
，
它
可以
变形为
S
n
＝
，设
A
＝
，上式可写成
S
n
＝－
Aq
＋
A.
< br>由此可见，q≠1
的等比数列
的前
n
项和
S
n
是由关于
n
的一个
与一个
的和构成的，而指数式的系数与常数
项
．当
q≠1
时，数列
< br>S
1
，
S
2
，
S
3
，
„，
S
n
，„的图象是函数
y
＝－
Aq
＋
A
图象上
的一些
．
二、合作与探究
类型
1
等
比数列前
n
项和的性质及应用
【例
1
】
(1)<
/p>
已知等比数列
{
a
n
}
中，前
10
项和
S
10
＝
10
，前
20
项和
S
20
＝
30
，求
S
30
.
(2)
一个等比数列的首项是
1
，项数是偶数，其奇数项的和为
85
，偶数项的和为
170
，求此数
列的公比和项数．
x
n
第
1
页
共
4
页
小结
：
1
．解决本例有两种思路：用等比数列的前
< br>n
项和公式直接求解，属通性通法；用性
质求解，方法灵
活，技巧性强，有时使计算简便．
2
．等比数列前
n
项和的常用性质：
(1)
项的个数的“奇偶”性质：等比数列
{a
n
}
中，公比为
q.
①若共有
2n
项，则
S
偶
∶
S
奇
＝
q
；
a
1
＋
a
2n
＋
1
q
②若共有
2n
＋
1
项，则
S
奇
－
S
偶
＝
(q≠1
且
q≠－
1)
．(2)“片断和”性质：等比数
1
＋
q
列
{a
n
}
中，公比为
q
，前
m
项和为<
/p>
S
m
(S
m
≠0)，则
S
m
，
S
2m
－
S<
/p>
m
，
S
3m
－
S
2m
，„，<
/p>
S
km
－
S
(k
－
1)m
，„
构
成公比为
q
的等比数列．
S
6
S
9
【练习】
设等比数列
{a<
/p>
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若<
/p>
＝
3
，求
的值．
S
3
S
6
m
类型
2
由递推公式求通项公式
【例
2
】
根据下面各个数列
{
a
n
}
的
首项和递推关系，求其通项公式：
(1)a
< br>1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
2n(
n
∈
N
)
；<
/p>
(2)a
1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
n
*
a
n
(n
∈
N
)
；
n
＋
1
*
1
*
(3)a
< br>1
＝
1
，
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
1(n
∈
N
)
；
2
1
1
1
1
(4)
数列
{a
n
}
满足
a
1
＋
2
a
2
＋
3
a
3
＋„＋
n
a
n
＝
2n
< br>＋
5
，求数列
{a
n
}
的通项公式．
2
2
2
2
小结：
1
．形如
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
f
(
n
)
的递推式，可用叠加法求通项公式．
2
．形如
a
n
＋
1
＝
f
(
n
)
a
n
的
递推式，可用叠乘法求通项公式
.3.
形如
a
n
＋
1
＝
ka
n
< br>＋
b
(
k
、
b
为常数
)
的递推式，可变形为
a
n
＋
1
＋
λ
＝
k
(
a
n
< br>＋
λ
)
构造等比数列求解，
其中
λ
可用待定系数法确定．
4
．
由和式求通项公式，
S
1
可把和
式看做一个数列的前
n
项和，然后根据
a
n
＝
<
/p>
S
n
－
S
n
－
1
n
＝
n
来求解．
2
1
1
【练习】
(1)
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
，
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
，求数列
{
a
n
}
的通项公式；
3
2
2
(2)
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
3
，
a
2
＝
5
，且
S
n
＋
< br>S
n
－
2
＝
2
S
n
－
1
＋
2
n
－
1
(
n
≥3)，求数列
{
a
n
}
的通项公式．
第
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