等比数列及其前n项和专题练习(含参考答案)
中-
数学
等比数列及其前
n
< br>项和
一、选择题
1
1
1
1
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
，
q
＝
，
a
n
＝
，则项数
n
为
(
)
2
2
32
A
．
3
C
．
5
B
．
4
D
．
6
2
．在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
<0
，
a
2
＝
18
，<
/p>
a
4
＝
8
，则公比
q
等于
(<
/p>
)
3
A
．
2
2
C
．－
3
2
B
．
3
2
2
D
．
或－
3
3
3
．
我国古代数学名著
《算法统宗》
中有如下问题：
“远望巍巍塔
七层，
红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”
意思是：一座
7
层塔共挂了
381
盏灯，且相邻两层中
的下一层灯数是上一层灯塔的
< br>2
倍，则塔的顶层共有灯
(
)
A
．
1
盏
C
．
5
盏
B
．
3
盏
D
．
9
盏
4
．
已知各项均为正数的等比数列
{
a
n
}
< br>的前
n
项和为
S
n
，
且
S
3
＝
14
，
a
3
＝
8
，
则
a
6
＝
(
)
A
．
16
C
．
64
B
．
32
D
．
128
1
－
5
．已知
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
＝
a
·2
n
1
＋
，
则实数
a
的值为
(
)
6
1
A
．－
3
1
C
．－
2
1
B
．
3
1
D
．
2
a
n
6
．
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
>0
，
且
q
≠
1
，
S
n
为数列
{
a
n
}
前
n
< br>项和，
记
T
n
< br>＝
，
则
(
)
S
n
A
．
T
3
≤
T
6
C
．
T
3
< br>≥
T
6
B
．
T
3
<
T
6
D
．
T
3
>
< br>T
6
7
．已知
{
a
n
}
是首项为
1
的等比数列，若
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且
28
S
3
＝
S
6
，则数列
1
{
}
的前
4
项和为
(
)
a
n
15
A
．
或
4
8
40
C
．
27<
/p>
40
B
．
或
4
27
15
D
．
8
8
．
已知数列
{
a
n
}
是递减的等比
数列，
S
n
是
{
a
n
}
的前
n
项和，
若
a
2
＋
a
5
＝
18
，
a
3
a
4
＝
32
，
则
S
5
的值是
(
)
A
．
62
C
．
36
二、填空题
9
．数列
{
a
n
}
满足：
log
2
< br>a
n
＋
1
＝
1
＋
log
2
a
n
，若
a
3
＝
10
，
则
a
8
＝
__
___
．
1
10
．
已知数列
{
a
n
}
是等比数列，
a
2
＝
2
< br>，
a
5
＝
，
则
a
1
a
2
a
3
＋
a
2
a
3
a
4
＋…＋
a
n
a
n
＋
1
a
n
＋
< br>2
＝
．
4
7
63
11
．
等比数
列
{
a
n
}<
/p>
的各项均为实数，
其前
n
项和为
S
n
.
已知
S
3
＝
< br>，
S
6
＝
，
则
a
8
＝
_____
．
4
4
12
．
已知
等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
1
，则其前
3
项的和
S
3
的取值范围是
_____
．
三、解答题
13
．等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
< br>＝
1
，
a
5
＝
4
a
3
．
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
记
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和．若
S
m
＝
63
，求
m
．
14
．
(2
018·
安徽联考
)
已知
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且满足
S
n
－
2
a
n
＝
n
－
4
< br>．
(1)
证明：
{
S
n
－
< br>n
＋
2}
为等比数列．
(2)
求数列
{
S
n
}
的前
n
项和
T
n
．
a
1
＋
a
2
1
．已知
1
，
a
1
，
a
2,
4
成等差数列，
1
，
b
1
，
b
2
，
b
3,
4
成等比数列，则
的值是
(
)
b
2
5
5
A
．
或－
2
2
5
C
．
2
5
B
．－
2
1
D
．
2
B
．
48
D
．
31
<
/p>
2
．等比数列
{
a
n
}
共有奇数项，所有奇数项的和<
/p>
S
奇
＝
255<
/p>
，所有偶数项的和
S
偶
< br>＝－
126
，
末项是
192
，则首项
a
1
等于
(
)
A
．
1
C
．
3
B
．
2
D
．
4
3
．各项均为正数的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
n
＝
2
，
S
3
n
＝
14
，则
S
4
n
＝
(
)
A
．
80
C
．
26
B
．
30
D
．
16
<
/p>
4
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＋
a
n<
/p>
＝
82
，
a
3
·
a
n
－
2
＝
81
，且前
n
项和
S
n
＝
121
，则此数列
的项数
n
等于
(
)
A
．
4
C
．
6
B
．
5
D
．
7
*
5
．
已知等比数列
{
a
n
}
满足条件
a
2
＋
a
4
＝
3(
a
1
＋<
/p>
a
3
)
，
a
2
n
＝
3
a
2
n
，
n
∈
N
，数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
1
，
b
n
－
b
n
－
1
＝
2
n
－
1(
n
≥
2
，
n
∈
N
*
)
．
(1)
求数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
的通项公式；
c
1
< br>c
2
c
3
c
n
(2)
若数列
< br>{
c
n
}
满足
＋
＋
＋…＋
＝
b
n
，
n
∈
N
*
，求
{
c
n
}
的前
n
项和
T
n
．
a
1
a
2
a
3
a
n
【参考答案】
一、选择题
<
/p>
1
1
1
1
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1<
/p>
＝
，
q
＝
，
a
n
＝
，则项数
n
为
(
C
)
2
2
32
A
．
3
C
．
5
B
．
4
D
．
6
2
．在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
<0
，
a
2
＝
18
，<
/p>
a
4
＝
8
，则公比
q
等于
(<
/p>
C
)
3
A
．
2
2
C
．－
3
2
B
．
3
2
2
D
．
或－
3
3
a
1
＝
27
，
a
1
＝－
27
，
a
1
q
＝
18
，
[
解析
]
由
解得
2
或
2
3
a
1
q
＝
8
q
＝
3<
/p>
q
＝－
3
，
2
又
a
1
<0
，因此
q
＝－
.
故选
C
．
3
3
．
我国古代数学名著
《算法统宗》
中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，
红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座
7
层塔共挂了
381
盏灯，且相邻两层中
的下一层灯数是上一层灯塔的
2
倍，则塔的顶层
共有灯
(
B
)
A
．
1
盏
C
．
5
盏
B
．
3
盏
D
．
9
盏
x
1
－
2
7
1
－
< br>2
[
解析
]
设塔的顶层共有灯
x
盏，
则各层的灯数构成一个公比为
2
的等比数列，
由
＝
381
可
得
x
＝
3
．<
/p>
4
．
已知各项
均为正数的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
且
S
3
＝
14
，
a
3
＝
8
，
则
a
6
＝
(
C
)
A
．
16
C
．
64
B
．
32
D
．
128
2
a
1
1
＋
q
＋
q
＝
14
，
[
解析
]
由题意得，
等比数列的公比为
q
，
由
S
3
＝
14
，
a
3
＝
8
，
则
，
解
2
a
3
＝
< br>a
1
q
＝
8
，
得
a
1
＝
2
，
q
＝
2
，所以
a
6
＝
a
1
q
5
＝
2
×
2
5
＝
< br>64
，故选
C
．
1
－
5
．已知等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
＝
a
·2
n
1
＋
，则实数
a
的值为
(
A
)
6
1
A
．－
3
1
C
．－
2
1
B
．
3
1
D
．
2
1
[
解析
]
当
n
≥
2
时，
a
n
< br>＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
a
·2
n
－<
/p>
1
－
a
·2
n
－
2
＝
a
·2
n
－
2
，
当
n
＝
1
时，
a
< br>1
＝
S
1
＝
a
＋
，
6
1
a
1
又因为
{
a
n
}
是等比数列，所以
a
＋
＝
，所以
a
＝－
< br>．
6
2
3
a
n
6
．
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
>0
，
且
q
≠
1
，
S
n
为数列
{
a
n
}
前
n
项和，
记
T
n
＝
，
则
(
D
)
S
n
A
．
T
3
≤
T
6
C
．
T
3
≥
T
6
a
6
1
< br>－
q
a
3
1
－
q
B
．
T
3
<
T
6
D
．
T
3
>
T
6
< br>
q
5
1
－
q
q
2
1
－
q
－
q
2
1
－
q
[
解析
]
T
6
－
T
3
＝
－
＝
－
＝
，<
/p>
由于
q
>0
且<
/p>
q
≠
1
，
6
3
6
3
6
a
1
1
－
q
a
1
1
－
q
1
－<
/p>
q
1
－
q
1
－
q
所以
1
－
q
与
1
－
q
6
< br>同号，所以
T
6
－
T
3
<0
，∴
T
6
<
T
< br>3
，故选
D
．
< br>
7
．已知
{
< br>a
n
}
是首项为
1
的等比数列，若
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，且<
/p>
28
S
3
＝
S
6
，则数列
1<
/p>
{
}
的前
4
项和为
(
C
)
a
n
15
A
．
或
4
8
40
C
．
27<
/p>
[
解析
]
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
．<
/p>
当
q
＝
1
时，由
a
1
＝
1
，得
28
S
3
＝
28
×
3
＝
84.
S
6
＝
6
，两者不相等，因此不合题意．
28
1
－
q
< br>3
1
－
q
6
当
q
≠
1
时，由
28
S
3
＝
S
6<
/p>
及首项为
1
，得
＝
，解得
q
＝
3.
所以数列
{
a
n
}
的通
1
－
q
1
－
q
项公式为
a
n
＝
3
n
－
1<
/p>
．
1
1
1
1
40
所以数列<
/p>
{
}
的前
4
项和为
1
＋
＋
＋
＝
．
a
n
3
9
27
27
8
．
已知数列
{
a
n
}
是递减的等比数列，
S
n
是
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和，
若
a
2
＋
a
5
＝
18
，
a
3
a
4
＝
32
，
则
S
5
的值是
(
A
)
40
B<
/p>
．
或
4
27
15
D
．
8