题型05 等比数列通项公式、前n项和公式及其变形公式(解析版)
老舍-
【秒杀题型】
：等比数列通项、前
n
项和公式及其变形公式。
【题型
1
】
：通项公式及其变形公式。
n
1
n
m
『秒杀策略』
：通项
:
a
n
a
1
q
=
a
m
.<
/p>
q
(
变形公式
)
，即可以用数列中的任意一项来表示。
※
在等比数列求和中，当
时，一般不必代入求和公式，直接累
加即可。
．
．．．．．．．．．．<
/p>
n<7
．
．
．<
/p>
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
1.(
高考题
)
等比数列
{
a
n
}
中，
|
a
1
|
1,
a
5
8
a
2
,
a
5
a
2
,
则<
/p>
a
n
=
(
)
A.
(
2)
n
<
/p>
1
B.
<
/p>
(
2
n
1
)
C.
(
<
/p>
2)
n
D.
<
/p>
(
2)
n
n
1
【解析】
：
a
5
8
a
2
，可得
q
2
，因为
a
5
a
2
，
a
1
1
，所以
a
n
2
，选
A
。
2
2.(
高考题改编
< br>)
设
a
n
为公比
q
1
的等比数列，若
a
2018
和
a
2019
是方程
4
x
8
x
3
0
的两根，则
a
2020
a
20
21
。
【解析
】
：可得
a
2018
< br>
1
3
2
，
a
2019
，
q
3
，
a
2018
+
a
2019
=2
，
< br>a
2020
a
2021
q
(
a
2018
+
a
2019
)=18
。
<
/p>
2
2
3.(2008
年新课标全国卷
4)
设等比数列
a
n
的公比
q
2
，前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
，则
S
4
=
(
)
a
2
A.2
B.4
C.
15
17
D.
2<
/p>
2
a
2
a
2
2
a
2
4
a
2
S
4
15
2
，选
C
。
【解析】
：
a
2
a
2
2
4.(2009
年新课标全国卷
7)
等比数列
a
n
的
前
n
项和为
S
n
，且
4
a
1
，
2
a
2
，
a
3
成等差数列
，若
a
1
=1
，则
S
4
=
(
)
A.7
B.8
C.15
D.16
【解析】
：
4
a
2
4
a
1
a
3
q
<
/p>
2
，
S
4
1
2
4
8
15
，选
C
。
S
n
为其前
n
项和，
5.(2010<
/p>
年辽宁卷
)
设
a
n
是由正
数组成的等比数列，
已知
a
2
a
4
1
,
S
3
< br>7
,
则
S
5
= (
) <
/p>
A.
15
31
3
3
17
B.
C.
D.
2
4<
/p>
4
2
2
【解析】
：
a
2
a
4
a
3
1
，
a
3
1
< br>，
1
1
1
1
1
31
1
7
q<
/p>
S
4
2
1
，选
B
。
，
< br>，
5
2
q
q
2
2
4
4
6.(2013
年辽宁卷
)
已知等比数列
a
n
是递增数列
,
S
n
是
a
n
的前
n
项和，
若
a
1
,
a
3
是方程
x
5
x
4
0
的两
2
个根
,
则
S
6
=
。
【解析】
：
a
1
1<
/p>
，
a
3
4
，
q
2
，
S
6
1
2
4
8
16
32
63
。
7
.(2013
年新课标全国卷
II3)
等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,
已知
S
3
a
2
10
a
1<
/p>
,
a
5
9
,
则
a
1
(
)
A.
1
1
1
1
B.
C.
D.
<
/p>
3
9
3
9
【解析】
：
S
3
a
2
10
a
1
q
2
9
，
a
1
a
5
1
，选
C
。
q
4
9
2
8.(2012
年辽宁卷
)
已知等比数列
a
n
为递增数列，且
a
5
a
10
,<
/p>
2(
a
n
a
n
2
)
5
a
n
1
，则数列
a
n
的通项公
式
a
n
=________
。
【解析】
：
2
n
。
<
/p>
9.(2012
年新课标全国卷
)
等比数列
a
n
的前
n
项和为<
/p>
S
n
，若
S
3
3
S
2
0
，则公比
q
______
。
【解析】
：
4
a
1
4<
/p>
a
2
a
3
0
，得
q
2
。
10.(2015
年新
课标全国卷
II4)
等比数列
a
n
满足
a
1
3
，
a
1
< br>a
3
a
5
21
，则
a
3
a
5
a
7
=
(
)
A.21
B.42
C.63
D.84
2
4
2
2
2
【解析】
：
代入得
q
q
6
0
，得
q
2
或
q
3
（舍去）
，
a<
/p>
3
a
5
a
7
a
1
a
3
a
5
q
42
。
1
1.(
高考题
)
在各项均为正数的等比
数列
a
n
中，若
a
2
1
，
a
8
a
6
2
a
4
，则
a
6
的值是
．
4
4
2
2
【解析】
：
q
q
2
0
，
q
2
，
a
6
a
2
q
4
。
<
/p>
12.(
高
考
题
)
等
比
数
列
a
n
的
前
n
项
和
为
S
< br>n
，
公
比
不
为
1
，
若
a
1
1
，
且
对
任
意
的
n
N
，
都
有
< br>a
n
2
a
n
1
2
a
n
0
，则
S
5
=
。
【解析】
：
q
<
/p>
2
，
S
5
1
2
4
8
16
31
。
13.(2017
年新课
标全国卷
III14)
设等比数列
<
/p>
a
n
满足
a
1
a
2
1
，
a
1
< br>a
3
3
，
则
a
4
=_______
。
【解析】
：
a
1
a
2
< br>
1
①
；
a
1
a
3
3
②
，
①
×
3-
②
得
a
1
1
,
q
2
，
a
4
8
。
<
/p>
14.(
高考题
)
设
S
n
为等比数列
< br>
a
n
的前
n
项和，已知
3
S
3
a
4
2
，
3
S
2
a<
/p>
3
2
，则公比
q
(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】
：
< br>3
S
3
a
4
2
①
；
3
S
2
a
3
2
②
，
①
-
②
得
q
< br>
4
，选
B
。
15.(
高考题
)
设公比为
q
(
q
0
)
的等比数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
S
2
3
a
< br>2
2
,
S
4
3
a
4
2
，则<
/p>
q
。
【解析】
：
同上得
q
3
。
2
16
.(
高考题
)
设
a
n
是
公比为
q
的等比数列，
|
q
|
1
< br>，
令
b
n
a
n
1
(n
1
,2,
)
，若数列
b
n
有连续四项在
集合
53,
23,19,37,82
中，则
< br>6
q
=
。
【解析
】
：
每项减
1
后按绝对值从小到大排序为：
18
，
-
24
，
36
，
-54
，
81
，后一项与前一项的比相
同，可排
除
18
，即公比为
3
，得
6
q
=
－
9
< br>。
2
【题型
< br>2
】
：公比
q
< br>及其变形公式。
『秒杀策略』
：
q
n
m
a
n
（变形公式）
< br>。注意
n
m
< br>的奇偶性，如为偶数，公比为两个。
a
m
1.(
高考题
)
在等比数列
{
a
n
}
中
,
a
2010
8
a
2007
,
则公比
q<
/p>
的值为
(
)
A.2
B.3
C.4
D.8
【解析】
：
因为
a
2010
8
a
2007
，可得
q
3
8
，所以
q
2
，选
A
。
1
,
则公比
q
=
(
)
4
1<
/p>
1
A.
B.
2
C.2
D.
2<
/p>
2
2.(
高考题
)
已知
a
n
是等比数列
,
a
2
2
,
a
5
【解析
】
：
选
D
。<
/p>
3.(
高考题
)
在等比数列
a
n
中
,
a
1
8,
a
4
64
，则
公比
q
为
(
)
A.2
B.3
C.4
D.8
【解析】
：
< br>选
A
。
【题型
3
】
：等比数列单调性的分类
。
『秒杀策略』
：等比数列单调性的
分类：
ⅰ
.
当
a
1
0,
q
1
或
a
1
0,1
q
0
时，为递增
数列；
ⅱ
.
当
a
1<
/p>
0,1
q<
/p>
0
或
a
1
0,
q
1
时，为递减数列；
ⅲ
.
当
q
0
时为摆动数列
;
ⅳ
.
当
q
1
时为常数列。
1.(
高考题
)
设
a
n
是等比数列，则
“
a
1
a
2
a
3
”
是数列
a
n
是递增数列的
(
)
A.
充分而不必要条件
C.
充分必要条件
B.
必要而不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
【解析】
：
当
a
1
0
时，
由
a
1
a
2
a
< br>3
得
q
1
；
当
a
1
0
时，
由<
/p>
a
1
a
2
a
3
得
1
q
0
，
所以是递增数列，
选
C
。
2.(
高考题
)
设
{
a
n
}
是公比为
q
的等比数列，则
q
1
是
a
n
}
为递增数列的
(
)
A.
充分且不必要条件
B.
必要且不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【解析】
：
选
D
。
【题型
4
】
：等比数列前
n
项
和公式。
(
< br>q
1
)
na
1
，
『秒杀策略』
：
等比数列前
n
项和
:
S
n
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
n
q<
/p>
’
这是一个重要的知识点，
并且考生
．．．．．．．．．．．．．．．
(
q
1
)
1
q
1
q
，
容易忽略
。
．．．．
q
1
这种情形
．．．．
1
.(
高考题
)
设数列
< br>{
a
n
}
是首项为
1
,
公比为
2
的等比数列
,
则
a
1
|
a
2
|
a
3
|
a
4
|
<
/p>
.
【解析】
：
1+2+4+8=15
。
1
,
a
4
=-4,
则公比
q
=______
< br>；
a
1
a
2
...
a
n
_
________
。
2
1
n
1
< br>【解析】
：
q
=
－
2
；前
n
< br>项和为：
2
。
2
1
3.(
高考题
)
在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
1
，
a
4
，则该数列的前
10
项和为
(
)
8
2.
(
高考题
)
在等比数列
a
n
中
,
a
1
=