等比数列前n项和性质的证明及应用
-
一个等比数列前
n
项和性质的完善及应用
黄文宪
福建省南安市新营中学
摘要：本文所
指等比数列的前
n
项和性质是指
,
,
之间的关系，这也是中学数学中
常用又常错的命
题。很多的课外辅导材料中所给的相关性质都是不完善的，应用该性质解
题存在着逻辑上的缺陷，但又不易察觉。本文
对该性质进行了完善与发展，使得利用该性
质解题能完整无误。
关键词：等比数列
前项和
性质
完善
应用
在很多的高中数学辅导材料中，
都有关于等比数列前
n
项和一个性质：
在等比数列
中，若其前
n
项和为
，
,
则
,
,
也成等比
数列，公比为
。
由于等
差数列前
n
项和有相类似性质的存在，虽然没有严格的证明，但
在惯性思维作
用下，这个性质得到广大师生的认同。
其实，这是一个假命题，比如有穷等比数列
1 ,-1 ,1
,-1 ,1 ,-1
的前两项和、中两
项和及后两项和
,
组成的数列为
0 ,0 ,0
，显然不成等比数列。这说明，至少在公比
时，命题是不成立的。那么，该性质应如何表述才恰当呢？
<
/p>
1.1
等比数列前
n
项和性质及其证明
等比数列前
n
项和性质：在等比数列
中，其前
n
项和为
，
，则
。
证明：在等比数列
中，前
n
项和为
，设公比为
,
则
①
=
②
=
③
当
时，
，
由
得
①
③
②
②
由
得
是等比数列，即有
。
当
时
若
为偶数，则
，
=
=0
=
=0
此时，
不成等比数列，但有
若
为奇数，则
，
,
成等比数列，即有
综上所述，在等比数列
中，其
前
n
项和为
，
则
。
1.2
等
比数列前
n
项和性质应用错析
有了等比数列前
n
项和性质，可以直接用它来
解题了吗？先看以下一道试题几个学生
的不同解法：
人教
A
版教辅《优化设计》
P42
，试题
7
：等比数列
的前
n
项和为
，
，
，则
________________
学生甲：由等比数列前<
/p>
n
项和的性质有：
（
）
（
）
所以（
）
（
）
或
学生乙：显然公比
，由等比数列的前
n
项和公式得
①
②
②
①得
解得
或
（舍去）
或
或
当
时，
当
时，
=15
综上所述，
.
学生丙：由已知
，
得