高考数学专题 等差数列和等比数列
-
专题
9
等差数列、等比数列
例题讲解
考点一
数列的概念
2
*
例
1 <
/p>
（
2009
浙江文）设
< br>S
n
为数列
{
< br>a
n
}
的前
n
项和，
S
n
kn
n
，
n
N
，
其中
k
是常数．
（
I
）
求
a
1
及
a
n
；
（
II
）
若对于任意的
m
N
< br>，
a
m
，
a
2
m
，
a
4
m
成等比数列，求
< br>k
的值．
解（Ⅰ）当
n
1
,
a
1
S
< br>1
k
1
，
*
n
2
,
a
n
S
n
S
n
1
kn
2
n
[
k
(
n
1
)
2
(<
/p>
n
1
)]
2
kn
k
1
（
）
经验，
n
1
,
（
）式成立，
a
n<
/p>
2
kn
k
1
（Ⅱ）
a
m
,
a
2
m
,
a
4
m
< br>成等比数列，
a
2
m
a
m
.
a
4
m
，
即
(
4
km
k
1
)
(
2
km
k
1
)(
8
km
k
1
)
，整理得：
mk
(
k
1
)
0
，
对任意的
m
N
成立，
k
0
或
k
1
变式练习
1
（
2009
北京文）
设数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
< br>
pn
q
(
n
N
,
P
0)
.
数列
{
b
n<
/p>
}
定义如下：
对于正整数
m
，
2
2
b
m
是使得不等式
a
n
m
成立的所有
n
中的最小值
.
1<
/p>
1
（Ⅰ）若
p
,
q
，求
b
3
；
2
3
（Ⅱ）若
p
2,
q
1
，求数列
{
b
m
}
的前
2
m
项和公式；<
/p>
（Ⅲ）是否存在
p
和
q
，使得
b
m
3
m
2(
m
N
)
？如果存在，求
< br>p
和
q
的取值范围；如果不存在
，请说明理由
.
【解析】
本题主要考
查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题
.
解（Ⅰ）由题意，得
a
n
∴
1
1
1
1
20
.
n
，解
n
3
，得
n
2
3
3
2
3
1
1
< br>n
3
成立的所有
n
中的最小整数为
7
，即
b
3
7
.
2
3
（Ⅱ）由题意，得
a
n
2
n
1<
/p>
，
m
1
对于正整数，由
a
n
m
，得
n
.
2
根据
b
m
的定义可知
当
m
2
k
1
时，<
/p>
b
m
k
k
N
*
；当
m
2
k
时，
b
m
k
1
k
N
*
.
∴
b
1
b
2
b
2
m
b
1
< br>b
3
b
2
m
1
b
2
b
4
m
1
< br>
b
2
m
1
2
3
m
2
< br>3
4
m
m
1
m
m
3
m
2
2
m
.
2
2
（Ⅲ）假设存在
p
和
q
满足条件，由不等式
pn
< br>
q
m
及
p
0
得
n
m
q
.
p
∵
b
m
3
m
2(
m
N
)
< br>,
根据
b
m
的定义可知，对于任意的正整数
m
都有
m
<
/p>
q
3
m
2
，即
2
p
q
3
p
< br>
1
m
p
q
对任意的正整数
m
都成立
.
p
p
q
2
p
q
当
3
p
1
0<
/p>
（或
3
p
1
0
）时，得<
/p>
m
（或
m
）
，
3
p
1
3
p
< br>
1
3
m
1
这与上述结论矛盾！
1
2
1
2
1
< br>时，得
q
< br>
0
q
，解得
q
.
3
3
3
3
3
∴
存在
p
和
q
，使得
b
m
3
m
2(
m
N
)
< br>；
1
2
1
p
和
q
的
取值范围分别是
p
，
q
.
.
3
3
3
当
3
p
1
0
，即
p
考点二
等差数列的概念、通项、求和
例
2
(2009
山
东卷文
)
等比数列
{
< br>a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
已知对任意的
n
N
，
点
< br>(
n
,
S
n
)
，
均在函数
y
b
r
(
b
0<
/p>
且
x
b
1,
b
,
r
均为常数
)
的图像上
.
（
1
）求
r<
/p>
的值；
（
11
）当
b=2
时，记
b
n
n
1
(
n
N
< br>)
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
< br>
4
a
n
n
x
解
:
因为对任意的
n
N
,
点
(
n
,
S
n
)<
/p>
，均在函数
y
b
r
(
b<
/p>
0
且
b
1,
b
,
r
均为常数
)
的图像上
.
所以得
S
n
b
r
,
当
n
1
时
,
a
1
S
1
b
r
,
n
n
1
n
n
1
n
1
当
n
2
时
,
a
n
S
n
S
< br>n
1
b
r
(
b
r
)
b
b
(
b
1)
b
,
n
1
又因为
{
a
n
}
为等比数列
,
所以
r
1
,
公比为
b
,
所以
a
n
(
b
1)
b
< br>n
1
n
1
（
2
）
当
b=2
时，
a
n
(
b
1)
b
2<
/p>
,
b
n
n
1
n<
/p>
1
n
1
4
a
n
4
2
n
1
2
n
1
2
3
4
n<
/p>
1
2
2
2
3
2
4
2
n
1
1
2
3
4
n
n
1<
/p>
T
n
3
4
5
n
1
n
2
2
2
2
2
2
2
1<
/p>
2
1
1
1
1
n
1
相减
,
得
T
n
2
< br>3
4
5
n
1
n
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
< br>(1
)
n
1
1
n
1
1
2
3<
/p>
n
1
3
2
n
2
n
1
n
2
1
4
2
2
2<
/p>
2
1
2
3
1
n
1
3
n
3
所以
T
n
< br>
n
n
1
n
1
2
2
2
2
2
则
T
n
【命题立意】
:
本题主要
考查了等比数列的定义
,
通项公式
,<
/p>
以及已知
S
n
求
a
n
的基本题型
,
并运用错位相减法求出一等比
数列与一等差数列对应项乘积
所得新数列的前
n
项和
T
n
.
变式练习
2
（
2009
上海青浦区）
设数列
a
n
的前
n
和为
S
n
，已知
S
1
(
n
1
)
2
4
n
1
(
2
1
),
(
当
n
为奇数时
)
12
3
一般地，
S
n
（
n
N
< br>*
）
．
2
n
4
(
2
n
1
).
(
当
n
为偶数时
)
12
3
（
1
）求
a
4
；
1
13
16
64
，
S
2
，
S
3
，
S
4
，
3
3
3
3
（<
/p>
2
）求
a
2
n
；
（
3
）求和：
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
2
n
1
a<
/p>
2
n
．
（
1
）
a
4
16
；
……
3
分
<
/p>
（
2
）当
n
2
k
时，
（
k
N
*
）
(
2
k
)
2
4
2
k
(
2
k
)
2
4<
/p>
2
k
2
a
2
k
S
2
k
S
2
k
1
(
2
1
)
<
/p>
[
(
2
1
)]
2
2
k
，
……
6
分
<
/p>
12
3
12
3<
/p>
n
所以，
a
2<
/p>
n
4
（
n
N
*
）
．
……
8
分
<
/p>
1
（
3
）与（<
/p>
2
）同理可求得：
a
2
n
1
(
2
n
<
/p>
1
)
，
……
10
分
3
设
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
< br>
a
2
n
1
a
2
n
=
T
n
，
1
2
3
n
则
T
n
[
< br>4
3
4
5
4
(
2
n
1
)
4
]
，
（用等比数列前
n
项和公
式的推导方法）
3
1
4
T
n
[
4
2
3
4
3
5<
/p>
4
4
(
2
n
1
)
4
n
1
]
，相减得
< br>3
1
3
T
n
[
4
2
(
4
2
4
3
4
n
)
(
< br>2
n
1
)
4
n
1
]
，所以
3
2
n
1
n
1
32
4
T
n
4
(
4
n
1
1
)
．
……
14
分
9
27
9
考点三
等比数列的概念、通项、求和
例
3
（
2009
全国
卷Ⅱ理）设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
< br>已知
a
1
1,
S
n
1
4
a
n
2
（
I
）设
b
n
a
n
1
2
a
n
，证明数列
{
b
n
}
是等比数列
（
II
）求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式。
解：
（
I
）由
a
1
1,
及
S
n<
/p>
1
4
a
n
2
，有
a
1
a
2
4
< br>a
1
2,
a
2
3
a
1
2
<
/p>
5,
b
1
a
2
2
a
1
3
由
S
< br>n
1
4
a
n
2
，
．
．
．①<
/p>
则当
n
<
/p>
2
时，有
S
n<
/p>
4
a
n
1
2
．
．
．
．
．②
②－①得
a
n
1
4
a
n
4
a
n
1
,
a
n<
/p>
1
2
a
n
2(
a
n
2
a
n
1
< br>)
b
n
a
n
1
2
a
n
，
b
n
2
b
n
1
{
< br>b
n
}
是首项
< br>b
1
3
，公比为２的等比数列．
a
1
a
n
3
n
1
（
II
）由（
I
）可得
b
n
a
n
1
2
a
n
3
2
，
n
n
<
/p>
n
1
2
2
4
a
1
3
数列
{
n
}
是首项为
，公差为
的等比数列．
n
2
2
4
a<
/p>
1
3
3
1
n
2
n
，
a
n
(3
n
< br>1)
2
(
n
1)
n
n
2
2
4
4
4
评析：第（
I
）问思路明确，只需利用已知条件寻找
b
n
与
b
n
1
的关系即可
．
又
n
1
n
第
（
II<
/p>
）
问中由
（
I<
/p>
）
易得
a
n
1
2
a
n
3
2
，
这个递推式明显是一
个构造新数列的模型：
a
n
1
pa
n
q
(
p
,
q
为常数
)
，
主要的处理手段是两边除以
q
．
变式练习
3
(
山东省潍坊市
2007
—
2008
学年度高三第一学期期末考试
)
已知数列
n
1<
/p>
{
a
n
}
是首项为
a
1
1
1
,
公比
q
的等比数列
，设
b
n
2
3
log
1
a
n
(
n
N
*)
，数列
{
c
n
}
满足
c
n
a
n
< br>b
n
。
4
4
4
（
1
）求证：
{
b
n
}
是等
差数列；
（
< br>2
）求数列
{
c
n
}
的前
n
< br>项和
S
n
；
1
2
m
m
1
对<
/p>
一切正整数
n
恒成立，求实数
m
的取值范围。
4
1
n
解：
（
1
）由题意知，
a
n
(
)
(
n
N
*)
……………………
1
分
4
b
n
3
log
1
a
n
2
,
b
1
3
log
1
a
1
2
1
（
3
）若
c
n
4
4
b
n
1
b
n
3<
/p>
log
1
a
n<
/p>
1
3
log
1
a
n
3
log
1
4
4
4
a
n
1
3
log
1
q
3
a
n
4
∴数列
{
b
n
}
是首项
b
1
1
,
公差
d
3
的等差数列……………………
4
分
（
2
）由（
1
）知，
a
n
(
)
,
b
n
3
n
2
(
< br>n
N
*)
1
4
n
1
c
n
<
/p>
(
3
n
2
)
(
)
n
,
(
n
N
*)
< br>…………………………
5
分
<
/p>
4
1
1
1
1
1
S
n
1
4
(
)
2
7
(
)
3
<
/p>
(
3
n
5
)
)
n
1
(
3
n
2
)
(
)
n<
/p>
,
4
4
4
4
4
1
1
2
1
3
1
4
1
n
1
n
1
于是
S
n
1
(
)
4
(
)
7
(
)
< br>(
3
n
5
)
)
(
3
n
2
)
(
)
4
4
4
4
4
< br>4
3
1
1
2
1
3
1
n
1
n
1
两式相减得
S
n
3
[(
)<
/p>
(
)
(
)
]
(
3
n
2
)
(
)
4
4
4
4
4<
/p>
4
1
1
(
3
n
2
)
(
)
n
1
.
2
4
S
n
<
/p>
2
12
n
8
1
n
1
(
)
(
n
< br>N
*)
……………………
8
分
3
3
4
1
1
（
3
）
c
< br>n
1
c
n
(
3
n
1
)
(
)
n
1
(
3
n
2
< br>)
(
)
n
4
4
1
9
(
1
n
)
(
)
n
1
,
(
n
< br>
N
*)
4
1
∴当
n=1
< br>时，
c
2
c
1
4
当
n
2<
/p>
时
,
c
n
1
c
n
,
即
c
1
c
2
c
3
c
4
<
/p>
c
n
1
∴当
n=1
时，
c<
/p>
n
取最大值是
4
1
2
又
c<
/p>
n
m
m
1
对一切正整数
n
恒成立
4
1
1
m
2
m
1
4
4
2
即
m
< br>
4
m
5
0
得
m
1
或
m
5
……………
………
12
分
考点四
等差与等比的综合问题
例
4
（
2009
福建卷文）
等比数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
2,
a
4
16
（
I
）求数列
{
< br>a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若
a
3
,
a
5
分别为等差数列
{
b
n
}
的第
3
项和
第
5
项，试求数列
{
< br>b
n
}
的通项公式及前
n
项和
S
n
。
解：
（
I
）设
{
a
n
}
的公比为
q
由已知得
16
2
q
，解得
q
2
（Ⅱ）由（
I
）得
a
2
8
，
a
5
32
，则
b
3
8
，
b
5
32
设
{
b
n
}
的
公差为
d
，则有
3
b
1
2
d
8<
/p>
b
1
16
解得
d
12
b
1
4
d
< br>32
n
(
16
12
n
28)
6
n
2
22
n
2
a
n
1
,
n
N
．
a
n
从而
b
n
16
12(
n
1)
12
n
28
所以数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
< br>
变式练习
4
（
2009
重庆卷文）
（本小题满分
12
分，
（Ⅰ）问
3
分，
（Ⅱ）问
4
分，
（Ⅲ）问
5
分）
<
/p>
已知
a
1
1,
a
2
4,
a
n
2
4
a
n
1
< br>a
n
,
b
n
（Ⅰ）求
b
1
,
b
2
,
b
3
的值；
（Ⅱ）设
c
n
b
n
b
n<
/p>
1
,
S
n
为数列
c
n
的前
n
项和，求证：
S
n
<
/p>
17
n
；
（Ⅲ）求证：
b
2
n
b
n
<
/p>
解：
（Ⅰ）
1
1
．
64
17
n
2
17<
/p>
72
,
b
3
4
17
a
a
1
（Ⅱ）由
a
n
2
4
a
n
1
a
< br>n
得
n
2
4
n
即
b
n
1
4
a
n
1
a
n
< br>1
b
n
所以当
< br>n
≥
2
时，
b
n
4
于是
c
1
b
1
,
b
2
17,
c
n
b
n
b
n
1
4
b
n
< br>1
17
(
n
≥
2)
a
2
4,
a
3
17,
a
4
72
，
所以
b
1
4
.
b
2
所以
S
n
c
1
c
2
c
n
17
n
1
17
成立
4
64
b
< br>
b
1
1
1
4
|
|
n
n
1
|
≤
|
b
n
b
n
1
< br>|
当
n
≥
2
时，有
b
n
1
b
n
|
4
b
n
b
n
1
b
n
b
n
< br>1
17
（Ⅲ）当
n
1
时，结论
b
2
b
1
1
1
1
1
|
b
b
|
≤
≤
|<
/p>
b
b
|
(
n
≥
2)
n
1
n
2
< br>2
1
2
n
1
n
2
17
17
64
17
所以
b
2
n
b
n
≤
b
n
1
b
n
b
n
2
b
n
< br>
1
b
2
n
b
2
n
1
≤
1
1
n
1
1
n
(
)
< br>
(
)
4
17
17
1
1
(
)
n
1
(1<
/p>
n
)
1
1
17
17
1
1
(
n
N
*
)
(
)
2
n
2
n
<
/p>
2
1
17
64<
/p>
17
4
1
17
1
a
n
1
．
2
考点五
求通项的常见方法
2
例
5
（
2009
龙岩一中）设正整数数列
{
a
n
}
满足：
a
1
2,
a
2
6
，当
n
2
时，有
|
a
n
a
n
1
a
n
1
|
（
I
）
< br>
求
a
3
、
a
4
的值；
（Ⅱ）求数列
{
a
n
}
的通项；
1
2
2
2
< br>3
2
(Ⅲ) 记
T
n
< br>
a
1
a
2
a
3
*
9
n
2
，证明
，对任意
n
N
，
T
n
.
4
a
n
1
2
解（Ⅰ）
n
2
时，
|
a
2
a
1
a
3
|
a
1
，由已知
a
1
2,
a
2
6
，得
|
36
2
a
3
|
< br>1
，
2
因为
a
3
为正整数，所以
a
3
18
，同理
a
4
54
………………………………2
分
n
1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：
a
n
<
/p>
2
3
。………
…………………………………3
分
证
明：①
n
1,
2
时，命题成立；
k
1
k
< br>2
②假设当
n
k
1
与
n
k
时成立，即
a
k
2
3
，
a
k
1
2<
/p>
3
。……………4
分
a
k
2
1
1
于是
|
a
k
a
k
1
a
k
1
|
a
k
< br>1
，整理得：
|
a
k
1
< br>|
，……………………………5
分
2
a
k
1
2
1
1
1
k
k
k
由归纳假设得：
|
2
3
a
k
1
|
2
3
a
< br>k
1
2
3
，
…………………6
分
2
2
2
k
因为
a
k
1
为正整数，所以
a
k
1
2
3
，即当
n
k
1
时命题仍成立。
2
n
1
*
综上：由知①②知对于
n
N
，
有
a
n
2<
/p>
3
成立．………………………………7
分
2
2
3
2
n
2
2
n
1
③
(Ⅲ)证明：由
2
< br>T
n
1
3
3
3
2
1
2
2
2
(
n
1)
2
n
2
n
④
得
T
n
2
3
3
3
3
n
1
< br>3
4
3
5
2
n
1
n
2
③式减④式得
T
n
1
2
<
/p>
n
1
n
⑤…………………9
分
3
3
3
3
< br>3
4
1
3
2
n
3
2
n
1
n
2
T
n
2
n
1
< br>n
n
1
⑥
9
3
3
3
3<
/p>
3
⑤式减⑥式得
2
(
n
1
)
2
n
2
<
/p>
n
1
n
1
…………………11
分
3
3
n
3
1<
/p>
1
n
2
2
1
1
1
(
n
1)
n
(
n
< br>1)
2
n
2
3
1
2(1
2
n
<
/p>
1
)
n
1
1
2
n
1
n
1
3
3
3
3<
/p>
n
3
3
3
1
3
2(
n
2
3
n
6)
1
(
n
1)
< br>2
n
2
2
…………13
分
1
3
n
1
n
<
/p>
1
2
3
n
1
3
3
n
3
9
则
T
n
．……………………………………………………14
分
4
8
2
< br>2
T
n
1
2
9
3
3
变式练
习
5
（
2009
滨州一模）
已知曲线
C
:
xy
1,
过
C
上一点
A
n
(
x
n
,
y
n
)
作一斜率为
k
n
1
的直线交曲线
C
于
x
n
2