等差等比数列及求数列的通项和前n项和
-
精心整理
等差数列
（一）定义及其判断
定义：
a
n
a
n
1
d
(
n
2)
判定：
（二）基本公式
通项公式
a
n
a
1
(
n
1)
d
通项公式的变形
a
n
a
m
(
n
< br>
m
)
d
a
n
a
m
d
n
m
n
(
a
1
a
n
)
n
(
< br>n
1)
na
1
d
2
2
（注意数列求和中的倒序相加
及适用类型）
前
n
< br>项和公式
S
n
注意：公式得应用主要在于求基本量，
a
1
、
d
、
n
、
a
n
、
S
n
知三求二
（三）性质及其应用
1
角标性质：
若
n
m
p
q
,
则
a
< br>n
a
m
a
p
a
q
2
等差数
列
{a
n
}
的
任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
3
等差中项：
a
、
M
、
b
成等差数列
a
b
2
M
4
等差数列
{a
n
}
的任意连续
m
项的和构成的数列
< br>S
m
、
S
2m
-S
m
、
S
3m
-S
2m
、
S
4m
-S
3m
、
……
仍为等差数
列。
5
在等差数列
a
n
中，有关
S
n
的最值问
题
——
常用邻项变号法求解：
（
1
）当
<
/p>
a
1
>0
，
d<0
时，满足
的项数
m
使得
s
m
取最大值。
（
2
）当
<
/p>
a
1
<0
，
d>0
时，满足
巩固练习：
1
设数列
2
设
S
n
的项数
m
使得
s
m
取最小值。
a
8
{
a
n
}
的前
n
项和
{
a
n
}
S
n
<
/p>
n
2
，则
的值为
S
3
3
，
S
6
24
为等差数列
的前
n
项和，若
，则
a
9
a
a
a
a
10
3
在等差数
列
n
中，
1
9
，则
5<
/p>
的值为
4
等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
3
＝
6
，
a
3
＝
4
，则公差<
/p>
d
等于
5
若等差数列
{
a
n
}
的前
5
项和
S
5
＝
25<
/p>
，且
a
2
＝
3
，则
a
7
等于
6
设
{
a
n
}
是等差数列，若
a
2
＝
3
，
a
7
＝
13
，则数列
{
a
n
}
前
8
项的和为
7
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为<
/p>
S
n
，若
S
7
>
S
8
>
S
6
，则下列结论：
①
a
7
＝
0<
/p>
②
a
8
<0
③
S
13
>0
④
S
14
<0
其中正确
结论是
a
a
a
a
12
a<
/p>
a
...<
/p>
a
7
8
如果等差数列
n
中，
3
4<
/p>
5
，那么
1
2<
/p>
9
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
a
5
＝
5
a
3
，则＝
__________.
精心整理
a
S
S
a
<
/p>
11
a
4
a
6
6
10
设等差数列
<
/p>
n
的前
n
项和为
n
,
若
1
,
,
则当
n
取最小值时
,n
等
于
11
已知
{
a
n
}
为等
差数列，
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝
105
，
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＝
99.
以
S
n
表示
{
a
n
}
的前
n
项和，则使得<
/p>
S
n
达到最大值的
n
是
a
S
S
S
12<
/p>
2
a
,
a
,
a
1
12
记等差数列
n
的前
n
项和为<
/p>
n
，设
3
，且<
/p>
1
2
3
成等比数
列，求
n
13
已知
{
a
n
}
是等差数列，
a
2
< br>＝
5
，
a
5
＝
14
，
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
当
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
155
，求
n
的值．
< br>
a
a
5
a
10
9
14
设等差数列
< br>
n
满足
3
，
。
a
a
S
S
（Ⅰ
）求
n
的
通项公式；
（Ⅱ）求
n
的前
n
项和
n
及使得
n
最大的序号
n
的值。
15<
/p>
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
且
a
3
＝
5<
/p>
，
S
15
＝
225
；
数列
{<
/p>
b
n
}
是等比数
列，
b
3
＝
a
2
＋
a
3
，
b
2
b
5
＝
128.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
及数列
{
b
n
}
的前
8
项和
T
8
；
(2)
求使得
>
成
立的正整数
n
.
等比数列
（一）定义及其判断
定义：
a
n
q
(
n
2)
判定：
a
n
1
（二）基本公式
a
通项公式
a
n
a
1
q
(
n
1)
通项公式的变形
a
n
<
/p>
a
m
q
(
n
m
)
n
q
n
m
a
m
na
1
(
q
1)
前
n
项和公式
S
n
（注意数列求和中的错位相减及适用类型）
a
1
(1
q
n
)
(
q
1
）
a
、
q
、
n<
/p>
、
a
、
S
知三求二
注意：公式得应用主要在于求基本
量，
1
n
n
1
q
（三）性质及其应用
1
角标性质：
若
n
m
k
l
,
< br>则
a
n
a
m
a
k
a
l
2
等比数列
{a
n
}
的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
3
等比中项：
a
、
G
、
b
成等比数列
a
b
G
2
4
等比数列
{a
n
}
的任意连续
m
项的和构成的数列
S
m
、
S
2m
-S
m
、
S
3m
-S
2m
、
S
4m
-S
3m
、
……
仍为等比数
列。
巩固训练
1
设
{
a
n
}<
/p>
是公比为正数的等比数列，若
a
1
＝
1
，
a
5
＝
16
，则数列
{
a
n
}
前
7
项的和为
2
设等比数列
{
a
n
}
的公比
q
＝
2
，前
n
项和为
S
n
，则＝<
/p>
a
q
1
a
1
a
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
3
在等比数列
n
中，
1
，公比
< br>.
若
m
，则
m=
4
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
2010
8
a
2007
，则公比
q<
/p>
的值为
S
n<
/p>
5
设
a
n
是有正数组成的等比数列，
S
7
S
< br>
为其前
n
项和。已知
a
2
a
4
1
,
< br>3
,
则
5