圆和扇形(经典题汇总)
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圆与扇形
公式与割补
内容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念
圆是我们在生活中经常见到的图形
.
及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识．
.
它也是最完美的平面图形：
有无数条通过圆心的对称轴
.
绕圆心旋
转任何角度还保持原状．而且
.
所有的平面图形在周长相同的情况下
.
圆的面积是最大的．
我们知道
.
圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数
.
这正是圆周率
.
用
π
表示．另外
记作
d
.
半径记作
r
.
如图
1
所示．
r
d
图
1
所以
.
圆的周长
C
d
2
r
.
圆的面积
S
r
2
．
如图
3.
由组成圆心角的两条半
径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分
扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．
n
°
r
图
3
扇形的圆心角为
n
°时
.
它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的
n
．
360
所以
.
扇形弧长
=
n
2 r
.
面积
=
n
r
2
．
360
360
我们先来熟悉一下这些公式．
练习：
.
.
一般把直径
.
所以关于
.
1.
半径是
2
的圆的面积和周长分别是多少？
2.
直径是
5
的圆的面积和周长分别是多少？
3.
周长是
10
π
的圆的面积是多少？
4.
面积是
9
π
的圆的周长是多少？
例题
一、
基本公式运用
例题
1.
已知扇形的圆心角为
120
°
.
半径为
2.
则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按
例题
2.
已知扇形面积为
18.84
平方厘米
.
圆心角为
60
°
.
则这个扇形的半径和周长各是多少？
3.14
计算）
60
°
随堂练习：
1.
已知一个扇形的弧长为
0.785
厘米
.
圆心角为
45 .
这个扇形的半径和周长各是多少？
2.
扇形的面积是
31.4
平方厘米
,
它所在圆的面积是
157
平方厘米
,
这个扇形的圆心角是多少？
.
.
3.14
计算）
（圆周率按
例题
3.
如图
.
直角三角形
ABC
的面积是
45.
分别以
B
.
C
为圆心
.3
为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是
35.58
．请问：角
A
是多少度？（
π
取
3.14
）
A
B
C
二、
圆中方
.
方中圆
例题
4.
如图
.
左下图和右下图中的正方形边长都是
2.
那么大圆、小圆的面积分别为
________
、
随堂练习：
1.
已知外面大圆的半径是
4.
里面小圆的面积是多少？（答案用
π
表示）
二、割补法
例题
5.
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米
.
圆周率按
3.14
计算）：
（
1
）
（
2
）
2
3
2
.
.
．
________
随堂练习：
求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米
.
圆周率按
3.14
计算）：
（
1
）
（
2
）
4
7
例题
6.
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米
.
圆周率按
3.14
计算）：
（
1
）
（
2
）
2
2
例题
7.
已知图中正方形的边长为
2.
分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心
影部分
的面积为
________
．（答案用
表示）
例题
8.
根据图中所给数值
.
求下面图形的外周长和总面积分别
是多少？（
π
取
3.14
）
.
.
.
那么图中阴
4
随堂练习：
1.
根据下图中给出的数值
.
求这个图形的外周长和面积．
（
π
取
3.14
）
6
例题
9.
求图中阴影部分的面积．
（圆周率
取
3.14
）
45
o
45
o
20
厘米
思考题
图中的
4
个圆的圆心是正方形的
4
个顶点
.
它们的公共点是该正方形
的中心．如果每个圆的半径都是
米
.
那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
.
.
厘
1
作业：
1.
半径为
4
厘米的圆的周长是
________
厘米
.
面积是
________
平方厘米；
2.
半径为
4
厘米
.
圆心角为
90
的扇形周长是
________
厘米
.
面积是
________
平方厘米．（
取
3.14
）
3.
家里来客人了
.
淘气到超市买了
4
瓶啤酒
.
售货员阿姨将
4
瓶啤酒捆扎在一起
（如下图所示）
.
捆
4
圈至少要用绳子
________
厘米．（
取
3.14.
接头处忽略
不计）
7
厘米
O
4.
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米
（
1
）
.
圆周率按
3.14
计算）：
（
2
）
1
10
1
1
10
5.
下列图形中的正方形的边长为
3.14
）
2.
则下图中各个阴影部分面积的大小分别为
______
、
______
．（
取
6.
用一块面积为
36
平方厘米的圆形铝板下料
.
从中裁出了
7
个同样大小的圆铝<
/p>
板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
O
.
.
圆与扇形
旋转与重叠
知识总结：
学习如何利用割补法和包含排除的
思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程
.
并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．
例题：
一、
重叠问题
57
平方厘米
.
且半圆的半径是
取
3.14
）
10
厘米
.
那么其中直角三角形的另一
例题
1.
下图中甲区域比乙区域的面积大
条直角边的长度是多少？（圆周率
乙
甲
例题
2.
下图中有一个等腰直角三角形
ABC
.
一个以
AB
为直径的半圆
.
和一个以
π
取
3.14
）
BC
为半径的扇形．已知
AB
BC
10
厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（
A
E
D
C
随堂练习
1.
B
如图
17-13.
以
AB
为直径做半圆
.
三角形
ABC
是直角三角形
.
阴影部分①比阴影部分②的面积小
厘米
.
AB
长
40
厘米．求
BC
的长度．（
取
3.14
．）
C
28
平方
②
①
B
.
A
.
例题
3.
如图
.
直角三角形的两条直角边分别为
3
和
5.
分别以三条边做了
3
个半圆（直角顶点在以斜边为直
径的半圆上）
.
那么阴影部分的面积为
______
．
4
3
5
例题
4.
图
1
是一个直径是
3
厘米的半圆
.
AB
是直径．如图
2
所示
.
让
A
点不动
.
把整个半圆逆时针转
60
°
此时
B
点移动到
C
点．请问：图中阴
影部分的面积是多少平方厘米？（
π
取
3.14
）
C
60
图
1
A
B
图
2
二、
动态扫面积问题
例题
5.
如图
.
正方形
ABCD
边长为
1
厘米
.
依次以
A
、
B
、
C
、
D
为圆心
.
以
AD
、<
/p>
BE
、
CF
、<
/p>
DG
为半径画出四个
直角扇形
.
那么阴影部分的面积为
________
平方厘米．（
取
3.14
）
E
A
D
H
F
B
C
G
.
.
.
例题
6.
如图所示
.
以等边三角形的
B
< br>、
C
、
A
三点分别为圆心
.
分别以
AB
、
CD
、
AE
为半径画弧
.
这样形成的曲线
ADEF
被称为正三角形
ABC
的渐开线
.
如果正三角形
ABC
的边长为
3
厘米
.
那么此渐开线的长度为多少厘米
.
图
中
I
、
II
、
III
三部分的面积之和是多少平方厘米？
III
C
A
I
B
II
D
E
三、
运动圆扫面积
4
厘米
.
而圆环的半径是
1
厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来
例题
7.
图中正方形的边长是
位置时
.
其扫过的面积有多大？（
π
取
3.14
）
随堂练习
1.
图中长方形的长是
10
厘米
.
宽是
4
厘米
.
而圆环的半径是
1
厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周
又回到原来位置时
.
其扫过的面积有多大？（
π
取
3.14
）
.
.
例题
8.
图中等边三角形的边长是
3
厘米
.
而圆环的半径是
1
厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又
回到原来位置时
.
其扫过的面积有多大？（
π
取
3.14
）
思考题
如图所示
.
一只小狗被拴在一个边长为
4
米的正五边形的建筑物的一个顶点处
.
四周都是空地．绳长刚好够
.
小狗身长忽略
< br>小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越
< br>
不计
.
π
取
3
）
狗
作业：
1.
图
17-14
由一个长方形与两个
90
角的扇形构成
.
其中阴影部分的面积是
_______
平方厘米．（
取
3.14
．）
2
5
图
17-14
2.
图中有一个矩形和两个半径分别为
5
和
2
的直角扇形
.
那么两个阴影部分的面积相差为
_______
．（
π
取
3.14
）
.
.