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2021年2月10日发(作者：瞬息的拼音)

2013

年中考数学规律探索性

第一部分

讲解部分

一．专题诠释

规律探索型题是根据已 知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含

的数字或图形 的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计

等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受

< p>
命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题

。

二．解题策略和解法精讲

规律

探索型问

题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性 或不变性的问题，它往

往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读 、观察、分析、猜想来探索规律．它

体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生 的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，

以及探究能力和创新能力．题型可涉及 填空、选择或解答．。

三．考点精讲

考点一：数与式变化规律

通常根据给 定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先

写 出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要

求的规律的形式。

例

1.

有一 组数：

1

3

5

7

9

,

,

,< /p>

2

5

10

17< /p>

26

，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第

< p>
n

（

n

为正整数）

个数为

．

分析：

观 察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加

1

．根据规律求 解即可．

解答：

解：

1

2



1

< /p>

1

；



2

1

2



< p>
1

3

2



2



1

；



2

5

2



1

5

2< /p>



3



1

；



2

< p>
10

3



1

7

2



4

< br>

1

；



2

17

4



1

9

2

< /p>

5



1



；

…

；

< p>
26

5

2



1

∴第

n

（

n

为正整数）个数为

2

n



1

．

2

n



1

点评：

对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变 化的．此题的规律

为：分子变化是奇数，分母是数的平方加

1< /p>

．

例

2

（

2010

广东汕头）阅读下列材料：

1

3

1

< p>
2×

3

＝

< p>
(2×

3×

4

－

1×

2×

3)

，

3

1

3×

4

＝

(3×

4 ×

5

－

2×

3 ×

4)

，

3

1×

2

＝

(1×

2 ×

3

－

0×

1 ×

2)

，

1 / 15

由以上三个等式相加，可得

1×

2

＋

2×

3

＋

3×

4

＝

×

3×

4×

5

＝

20

．

读完以上材料，请你计算下列各题：

(1)

1×

2

＋

2×

3

＋

3×

4

＋

·< /p>

·

·

＋

10×< /p>

11

（写出过程）；

(2)

1×

2

＋

2×

3

＋

3×

4

＋

·< /p>

·

·

＋

n

×

(

n

＋

< p>
1)

＝

______________

；

(3)

1×

2×

3

＋

2×

3×

4

＋

3×

4×

5

＋

·

·

·

＋

7×

8×

9

＝

______________

．

分 析：

仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行 简化计

算，从而得到公式

1



2



2



3



3



< br>4







n



(

n



1

)

1< /p>

3

1







(

1



< p>
2



3



0



1



2

)



(

2



3



4< /p>



1



2



3

)



< p>




n

(

n



1

)(

< br>n



2

)



(

n



1

)

n

(

n



1

)



3

1



n

(

n



< br>1

)(

n



2

)

；照此方法，同样有公式：

3

1



2



3



2



3



4



3



4

< br>

5







n



(

n



1

)



(

n



2

)



1



(

1



< br>2



3



4



0



1



2



3

)



(

2



3



4



5



1

< br>

2



3



4

)







n



(

n



1

)



(

n



2

)



(

< br>n



3

)



(

n



1

)



n



(

n



1

)



(

n



2

)



< br>4



1

n

(

n



1

) (

n



2

)(

n



3

)

．

4

解：（

1

）∵

1×

2

＝

(1×< /p>

2×

3

－

0×< /p>

1×

2)

，

< /p>

1

3

1

3

1

3×

4

＝

(3×

4 ×

5

－

2×

3 ×

4)

，

…

3

1

10×

1 1

＝

(10×

11×

12

－

9×

10×

11)

，

< p>
3

1

∴

1×

2

＋

2×

3

＋

3×

4

＋

< br>·

·

·

＋

10×

11

＝

×

10×

11×

12

＝

440

．

3

1

（

2

）

< br>n

(

n



1

)(

n



2

)

．（

3

）

1260

．

3

2×

3

＝

(2×

3 ×

4

－

1×

2 ×

3)

，

点 评：

本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初 、高中知识

衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有 较高的要求．如果学生不

掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容 易出错．而这些数列的求和公式的探

索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法 与技巧，从而较为轻松地解决问题．

例

3

（

2010

山东日照，

< p>
19

，

8

分）我们知道不 等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不

变．不等式组是否也具有类似 的性质？完成下列填空：

已知

用“

<

”或“

>< /p>

”填

空



5



3

,

5+2 3+1





2



< br>1





3





5

,





1





2





1



4

,







< br>2



1

-3-1 -5-2

1-2 4+1

一般地，如果





a



b

,

那么

a

+

c b

+

d

．（用

“>”

或

“<”

填空）



c



d

2 / 15

你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？

分析：

可以用不等式的基本性质和不 等式的传递性进行证明。

解答：

＞，＞，＜，＞；

证明：∵

a

＞

b

，∴

a

＋

c

＞

b

＋

c

．

又∵

c

＞< /p>

d

，∴

b

＋

c

＞

b

＋

d

，

∴

a

＋

c

＞

b

＋

d

．

点评：

本题是一个考查不等式性质的 探索规律题，属于中等题．要求学生具有熟练应用不等式的基

本性质和传递性进行解题的 能力．区分度较好．

考点二：点阵变化规律

在这类有关点 阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的

规律 是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难

< br>点．

例

1

：如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为

2

，

4

，

6

< p>
，

…

，

2

n

，

…

，

请你探究出前

n

行的点数和所满足的规律、若前

< p>
n

行点数和为

930

，则

n

=

（

）

A

．

29

B

．

30

C

．

31

D

．

32

分析：

有图个可以看出以后每行的点数增加

2

，前

n

行点数和也就是前

n

个偶数的和。

解答：

解：设前

n

行的点数和为

s

．

(2

n



2)

n

=

n

（

< br>n

+1

）．

< br>2

若

s

=930

，则

n

（

n

< br>+1

）

=930

．

∴（

n

+31

< p>
）（

n

﹣

30

< p>
）

=0

．

∴

n

=

﹣

< br>31

或

30

．故选

B

．

< p>
点评：

主要考查了学生通过特例，分析从而归纳总结出一般结论的能力．< /p>

例

2

观察图给 出的四个点阵，

s

表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点 的个数变化规律，猜想第

n

个点阵中的点的个数

s

为（

）

则

s

=2+4+6+…+2

n

=

A.3

n

﹣

2

B.3

n

﹣

1 C.4

n

+1

D.4

n

﹣

3

考点

：规律型：图形的变化类。

专题

：规律型。

分析：

根据所给的数据，不难发现：第一个数是

1

，后边是依次加

4

，则第

n

个点阵中的点的个数是

1+4

（< /p>

n

﹣

1

）

=4

n

﹣

3

．

解答：

解：第

n

个点阵中的点的个数是

1+4

< p>
（

n

﹣

1

）

=4

n

﹣

< br>3

．故选

D

．

< br>

点评：

此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计 算．

考点三：循环排列规律

循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就 会

循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。

例

1

：

（

2007

广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第

2007

个图形是（

）

3 / 15

A

．

B

．

C

．

D

．

考点

：规律型：图形的变化类．

专题

：规律型．

分析

：

本题的关键是要找出

4

个图形一循环，然后再求

2007

被

4

整除后余数是

3

， 从而确定是第

3

个图

形．

解答

：

解：根据题意可知 笑脸是

1

，

2

，

3

，

4

即< /p>

4

个一循环．所以

2007÷

< p>
4=50

1…3

．所以是第

3

个图

形．故选

C

< br>．

点评

：

主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪

些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．< /p>

例

2

：

下

列

一

串

< p>
梅

花

图

案

是

按

一

定

规

律

排

列

的

，

请

你

仔< /p>

细

观

察

，

在前

2012

个梅花图案中，共有

< p>

个

“

”

图案．

考点

：规律型：图形的变化类．

专题

：规律型．

分析

：

注意观察图形中循环的规律，然后进行计算．

解答

：

解：观察图 形可以发现：依次是向上、右、下、左

4

个一循环．所以

2013÷

4=503

余

1

，则共

有

503+1=504< /p>

个．

考点四：图形生长变化规律

探索图形 生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐

,

其原因是简单 、直观、易懂

.

从一些基本图

形开始< /p>

,

按照生长的规律

,

变化出一系列有趣而美丽的图形

.

因此也引起了应试人的兴 趣

,

努力揭示内在的奥

秘

,

从而使问题规律清晰

,

易 于找出它的一般性结论

.

例

1

（

2010

四川乐川 ）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文

价值． 如图所示，是一棵由正方形和含

30°

角的直角三角形按一定规 律长成的勾股树，树主干自下而上第

一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为

S

1

，第二个正方形和第二个直角三角形的面 积之和为

S

2

，

…

，第

n

个正方形和第

n

个直角三角形的面积之和为

S

n

．设第一个正方形的边长为

1

．

请解答下列问题：

（

1

）

S

1

=

；

（

2

）通过探究，用含

n

的代数式表示

S

n

，则

S

< p>
n

=

．

分析< /p>

：

根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关 系运用勾股定理求出三角形

的直角边，求出

S

< br>1

，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．

解答

：

解：（

1

）∵第一个正方形的边长为

1

，

4 / 15

∴正方形的面 积为

1

，

又 ∵直角三角形一个角为

30°

，

∴三角形的一条直角边为

1

3

1

，另一条直角边就是

1

2



(

)

2

=

，

2

2

2

∴三角形的面积为

∴

S

1

=1+

3

3

1

×

÷< /p>

2=

，

2

8

2

3

；

8

3

3

3

，它的面积就是

，也就是第一个正方形面积的

，

2

4

4

3

同理，第二个三角形的面积也是第一个三角 形的面积的

，

4

（

2

）∵第二个正方形的边长为

3

3

3

3

3

3

3

）

•

，依此类推，

S

3

═< /p>

（

1+

）

•

•

，即

S

3

═

（

1+

）

•

(

)

2

，

8

8

< br>8

4

4

4

4

3

3

n



1

S

n

=

(1



)



(

)

（

n

< p>
为整数）．

8

4

点评

：

本题重点考查了勾股定理的运用．

例

2

（

2011

重庆江津区）如图，四边形

ABCD< /p>

中，

AC

＝

a< /p>

，

BD

＝

b

，且

AC

丄

BD< /p>

，顺次连接四边形

ABCD

各边中点， 得到四边形

A

1

B

1

C

1

D

1

，再顺次连接四边形

A

1

< p>
B

1

C

1

D

1

各边中点，得到四边形

A

2

B

2

C

2

D

2

…

，如此

进行下去，得到四边形

A

n

B

n

C

n

D

n

．下列结论正确的有（

）

①四边形

A

2

B

2

C

2

D

< p>
2

是矩形；

②四边形< /p>

A

4

B

4

C

4

D

4

< p>
是菱形；

∴

S

2

=

（

1+

< p>
a



b

4

ab

④四边形

A

< p>
n

B

n

C

n

D

n

的面积是

n



1

．

< br>

2

③四边形

A

5

B

5

C

5

D

5

的周长是

< br>

A

、①②

B

、②③

C

、②③④

D

、①②③④

分析：

首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形

A BCD

中各边长的长度关系规律，然后

对以下选项作出分析与判 断：

①根据矩形的判定与性质作出判断；

②根据菱形的判定与性质作出判断；

③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形

A

5< /p>

B

5

C

5

D

5

的周长；

④根据四边形

A

n

B

n

C

n

D

n

的面积与四边形

ABCD

的面积间的数量关系来求其面积．

解答：

解：①连接

A

1

C

1

，

B

1

D

1

．

∵在四边形

ABCD

中，顺次连接四边形< /p>

ABCD

各边中点，得到四边形

A

1

B

1

C

1

D

1

，

5 / 15

< br>∴

A

1

D

1

∥

BD

，

B

1

C

1

∥< /p>

BD

，

C

1

D

1

∥

AC

，

A

1

B

< p>
1

∥

AC

；

∴

A

1

< br>D

1

∥

B

1

C

1

，

A

1

B

1

∥

C

1

D

1

，

∴四边形

ABCD

是平行四边形；

∴

< br>B

1

D

1

＝

A

1

C

1

（平行四边形的两条对角线相等）；

∴

A

2

D

2< /p>

＝

C

2

D

2

＝

C

2

< p>
B

2

＝

B

2

A

2

（中位线定理），

∴四边形

A

2< /p>

B

2

C

2

D

2

是菱形；

故本选项错误；

②由①知，四边形< /p>

A

2

B

2

C

2

D

2

< p>
是菱形；

∴根据中位线定理知，四边形

A

4

B

4

C

4

D

4

< br>是菱形；故本选项正确；

③根据中位线的性质易知，< /p>

A

5

B

5

＝

1

1

1

< p>
1

1

1

1

1

A

3

B

3

＝

×

A

1

B

1

＝

×< /p>

×

AB

，

B

5

C

5

＝

B

3

C

3

＝

×

2

2

< br>2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

B

1

C

1

＝

×

×

BC

，

2

< p>
2

2

2

∴四边形

A

5

B

5

C

5

D

5

< br>的周长是

2×

（

a

+

b

）＝

1

8

a



b

；故本选项正确；

4

④∵四边形

ABCD

中，

AC

＝

a

，

BD

＝

b

，且

AC

丄

BD

，

∴

S

四边形

ABCD

< br>＝

ab

；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形

A

n

B

n

C

n

D

n

的面积是

ab

；

n

2

故本选 项错误；

综上所述，②③④正确；

故选

C

．

点评：

本题主要考查了菱形的判定与 性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线

平行于第三边且等于第 三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．

例

3

：（

2009

< p>
锦州）图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为

S

1

；图

2

中的四个圆的半径相

等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为

S

2

；图

3

中的九个圆半径相等，

并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为< /p>

S

3

，

…

依此规律，当正方形边长为

2

时，第

n

个图中所有圆的面积之和

S

< br>n

＝

．

分析：

先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积 和．

解答：

根据图形发现：第一个图 中，共一个愿，圆的半径是正方形边长的一半，为

1

，

S

1

=

π

r

2

=

π；

1

1

1

1

，为

×

2=

；

S

2

=4

π

r

2

=4

π（

）

2

=

π ，依次

4

4

2

2

1

类推，则第

n

个图中，共有

n

2

个圆，所有圆的 面积之和

S

n

=n

2

π

r

2

=n

2

π（

）

2

=

π，

即 都与第一个图中

n

第二个图中，共

4< /p>

个圆，圆的半径等于正方形边长的

的圆的面积都相等，即为

π

．

点评：

观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆面积和都相等．

考点五：

与坐标有关规律

6 / 15

这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一 起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数

值的大小，还要考虑不同象限的坐标的 符号。最后用

n

把第

n

个点的坐标表示出来。

例

1

：

如图，已知

A

l

（

1

，

0

），< /p>

A

2

（

1

，

1

），

A

3

（－

1

，

< p>
1

），

A

4

（－

1

，－

1

），

A

5

（

2

，－

1

），…．则

点

A

2012

的坐标为

______

．

分析：

根据（

A

1

除外）各个点分别位于四个象限的角平分线上，逐步探索 出下标和个点坐标之间的

关系，总结出规律，根据规律推理点

A

2007

的坐标．

< br>解答：

由图形以及叙述可知各个点（除

A

1

点外）分别位于四个象限的角平分线上，

第一象限角平分线的点对应的字母的下标是

2

，

6

，

10

，< /p>

14

，即

4

n< /p>

－

2

（

n

是自然数，

n

是点的横坐标的绝

对值）；点的坐标为（

n,n

）

.

同理第二象限内点的下标是

4

n

－

1

（

n< /p>

是自然数，

n

是点的横坐标的绝对值）； 点的坐标为（－

n,n

）

.

第三象限是

4

n

（

n

是自然数，

n

是 点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（－

n,

－

n

）

. < /p>

第四象限是

1

＋

4

n

（

n

是自 然数，

n

是点的横坐标的绝对值）；点的坐标为（

n,

－

n

）

. < /p>

2012

＝

4

n

则

n

＝

503

，当

2007

等于

4

n

＋

1

或

4

n

或

4< /p>

n

－

2

时，不存 在这样的

n

的值．

< br>故点

A

2007

在第二象限的角 平分线上，即坐标为（－

502

，

50 2

）．

故答案填（﹣

503

，﹣

503

）．

点评：

本题是一个探究规律的问题，正确对 图中的所按所在的象限进行分类，找出每类的规律是解

答此题的关键点．

例

2

：

（

2009

湖北仙桃）如图所示，直线

y

＝

x

＋

1

与

y

轴相交于点

A

1

，以

OA

1

为边作正方形

OA

1

B

1

C

1

，

记作第一个正方形；然后延长

C

1

B

1

与直线

y

＝

x

＋

1

相交于点

A

2

，再以

C

1

A

2

为边作正方形

C

1

A

2

B

2

C

2

，

记作第二个 正方形；同样延长

C

2

B

2

与直线

y

＝

x

＋

1

相交于点

< p>
A

3

，再以

C

< p>
2

A

3

为边作正方形

C

2

A

3

B

3

C

3

，

记作第三个正方形；

…

， 依此类推，则第

n

个正方形的边长为

_ ________

．

分析：

解题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算

n

＝

1

，

n

＝

2…

总结出规律．

< p>

解答：

根据题意不难得出第一个正方体的边长＝

1

，

那么：

n

＝

1

时，第

1

个正方形的边长为：

1

＝

2

0

< br>n

＝

2

时，第

< br>2

个正方形的边长为：

2

＝

2

1

n

＝

3

时，第

3

个正方形的边长为：

4

＝

2

2

…

－

第

n

个正方形的边长为：

2

n

1

< br>点评：

解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着

“

编号

”

或

“< /p>

序号

”

增加时，后一个图形与前一个

图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的 结论．

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