第二章_有心运动和两体问题_习题解答
-
2.1
、
质点在有心力
F
(
r
)
的作
用下运动，质点的速度的大小为
v
a
/
r
，这里
a
是常数。已
知
0
时
r
r
0
，速度与矢径间夹角为
。求质点的轨道方程。
2
a
2
h
2
2
2
2
解：
质点
受到有心力的作用，
在极坐标系中有：
r
h
，
v
(
)
r
(
r
)
r
2
r
< br>r
2
化简得：
rr
a
2
< br>h
2
，变形有：
r
dr
d
dr
h
dr
r
a
2
h
2
dt
dt
d
r
d
a
(<
/p>
)
2
1
2
h
c
1
a
2
2
分离变量：
dr
(
)
1
d
，积分有：
r
e
r
h
c
为积分常数
初始条件：
0
< br>时
r
r
0
代入初始条件可得：
c
ln
，故
r
r
0
e
又速度与矢径间夹角为
r
0
(
)
2
1
2
a
h
v
r
< br>h
tg
tg
rr
hctg
，与
rr
< br>
a
2
h
2
比较可知：
< br>v
r
r
rr
a
hctg
< br>a
2
h
2
ctg
(
)
2
1
2
h
所以质点的轨道方程为：
r
r
0
e
< br>ctg
2.2
、
木星轨道的半长轴长度是
5.2
< br>天文单位
(1
天文单位为
1.5
10
km
，
是太阳与地球的平
均距离
)
。已知地球
和木星的轨道都接近圆形。求出
(i)
木星绕太阳运动的周期
(ii)
木星的平均轨道速率。
解：
(i)
由牛二定律知：
G
8
m
木星
< br>m
太阳
r
木太
< br>2
=
m
木星
木星
r
木太
，
G
2
m
地球
m
太阳
r
地太
2
m
地
球
地球
2
r
地太
可解得：
木星
地球
(
r
地太
3/
2
2
)
11.9
地球
，式中
地球
1
年
r
木太
9
(ii)
因接近圆形
v
木星
木星
r
木太
11.9
地球
r
木太
60.2
地球
9.2
10
地球
2.3
、<
/p>
月球的质量和半径分别是
m
0.0123
m
e
和
R
0.273
R
e
，其中
m
e
,
R
e
分别是
球球的质
量和半径。已知地球半径约为
6370
km
，试求
(i)
月球表面处的重力加速度
(ii)
若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度
至少是多少？
解：
(i)
物体
(
质量为
m
'
)
在月球表面处受到的重力可看是成有引力的
体现：
m
'
g
'
G
同理此物体放在地球表面时有：
m
'
g
G
m
'
m
R
2
m
'
m
e
< br>R
e
2
两式相除有：
g
'
g
m
R
e
2
1
2
(
)
9.8
0.0123
(
)
m
< br>/
s
2
1.6
m
/
s
2
m
e
R
0.273
(ii)
只考虑火箭
(
质量为
m
'
)
和月球之间的引力，那么火箭和月球机械能守恒
(
取无穷远处为
0
势能
)
。火箭刚好脱离月球时，火箭的最小速度为
0<
/p>
，势能为
0
，若月球的势能为
V
，则有：
1
m
'
m
Gm
V
m
'
v
min
2
G
V
v
min
2
2
g
'
R
0.546
g
'
R
e
2.38
km
/
s
2
R
R
2.4
、
如果质点受到的有心力为
F<
/p>
m
(
2
r
2
r
3
)
e
r
，式中
及
都是常数，并且
h
2
。
h
2
k
2
h
2
Ak
2
h
2
试证其轨道方程可写为：
r
a
/(1
e
cos
k
)
，
式中
k
，
a
，
e
，
2
2
2
h
2
A
为积分常数，
h
r
< br>
2
d
2
u
解：
代入比内公式有：
F
m
(
u
< br>u
)
mh
u
(
2
u
)
d<
/p>
2
2
3
2
2
d
2
u
h
2
2
u
2
0
化简为：
2
2
d
h
h
d
2
u
h
2
h
2
u
0
正是简谐振动方程，
故其通解为：
u
A
< br>cos
，
A
< br>为积分常数
2
2
2
d
h
< br>h
d
2
u
h
2
2
2
u
2
0
的形式，显然有特解
u
c
，代入可得：
c
2
观察
< br>2
2
d
h
h
h
d
2
u
h
2
2
1
h
2
2
< br>
u
2
0
的通解为：
u
< br>
A
cos
< br>所以
2
2
2
2
d
h
h
r<
/p>
h
h
h
2
从而
r
1
A
cos
h
< br>h
2
h
2
2
2
2
h
2
2
A
cos
h
1
h
2
2
< br>h
2
k
2
h
2
A
k
2
h
2
由已
知
k
，
a<
/p>
，
e
，代入可得：
r
a
/(1
e
c
os
k
)
2
2
2
h
2
2.5
、
一质点受遵循万有引力定律的有心力作用，作椭圆运动。
P
1
和
P
2
是过椭圆中心一直径
2
的
两端，
v
1
和
v
2
分别是质点在
P
< br>和
处的速率。
证明当
和
不是短轴端点时
P
P
P
v
v
v
1
2
1
2
1
2
b
，
v
b
是质点在短轴端点处的速率
证明：
如图所示，由于椭圆具有中心对称性，所以设
P
1
的坐标为
(<
/p>
x
0
,
y
0
)
和
P
2
的坐标为
a
2
(
x
0
,
y
0
< br>)
，
P
r
1
，
由椭圆的定义知
r
1
r
< br>2
2
a
，
P
1
到准线
x
的
2
F
PF
1
'<
/p>
r
2
，
PF
1
c
距离为
r
c
a
x
0
，由椭圆的定义知
2
1
a<
/p>
a
c
x
0
c
c
x
0
a
2
2
a
y
x
c
1
(
x
0
,
y
0<
/p>
)
b
P
r
2
o
F
'
r
1
r
2
F
x
即
r
1
a
c
c
c
2
2<
/p>
P
2
(
x
0
,
y
0
)
2
那么
r
1
r
< br>2
r
1
(2
a
r
1
)
(
a<
/p>
x
0
)(
a
x
0
)
a
2
x
0
< br>a
a
a
质点受到万有引力定律的
有心力作用，机械能守恒：
1
k
2
2
在
P
mv
1
E
1
有：
2
r
1
1
< br>k
2
2
在
P
mv
2
E
2
点有
：
2
r
2
1<
/p>
k
2
2
E
在短轴端点有：
mv
b
2
a
那么有：
1
2
1
k
4
k<
/p>
4
2
2
2
1
2
2
r
1
r
2
m
(
v
1
v
2
)
E
Ek
(
)
E
Ek
(
)
4
r
1
r
2
r
1
r
2
r
1
r
2
r
1
r
2
E
2<
/p>
E
2
1
1
(2
aEk
2
k
4
)
E
2
(2
aEk
2
k
4
)
r
1
r
2
r
1
r
2
1
(2
a
Ek
2
k
4
)
2
c
a
2
2
x
0
2
a
1
2
4
k
2
< br>2
2
2
k
4
1
2
m
v
b
(
E
)
E
Ek
2
E
2
2
(2
aEk
2
k
4
)
< br>
4
a
a
a
a
因
P
1
和
P
2
不是短
轴端点，故
x
0
0
，所以
2
1
2
1
m
(
v
1
v
2
)<
/p>
2
m
2
v
b
4
，即
v
1
v
2
v
b
2
< br>
4
4
2.6
< br>、
设地球的半径为
R
，
质量是
m
'
。
证明人造卫星在地球引力场中以椭圆轨道运动的速率
由下式表示：
v
v
e
(
1
1
2
Gm
'
是质点能脱离地球的
逃逸速度，即
)
R
。其中，
v
e
r
2
a
R
第二宇宙速度；
a
是卫星轨道半长轴的长度。
mh
2
2
p
k
证明：
由平方反比引力下质点椭圆轨道极坐标方程<
/p>
r
知：
mh
2
1
e
cos
1
A
2
cos
k
p
p
在近日点
(
0
)
有：
r
min
，在远日点<
/p>
(
)
有：
r
max
1
e
1
e
又质点受受遵循万有引力定律的有心力作用，故机械能守恒：
2
1
2
k
< br>2
1
k
2
1
h
2
k
2
k
4
2
2
2
e
1
E
mv
m
(
r
min
|
0
)
m
(
e
1)
k
2
r
2
r
min
2
r
min
2
r
min
2
mh
2<
/p>
2
p
因
r
min
r
max<
/p>
p
p
2
p
k
2
2
a
1
e
1
e
1
e
2<
/p>
E
k
2
1
2
k
2
k
2
于是有：
E
，即
E
mv
2
a
2
< br>r
2
a
2
又因
k
Gmm
'
，所以有：
v
2
Gm
'(
2
1
r
1
2
Gm
'
1
1
)
(
)
R
2
a
R
r
2
a
那么
v
2
Gm
'
1
1
1
1
< br>
(
)
R
v
e
(
)
R
证毕。
R
r
2
a
r
2
a
2.7
、
太阳绕银河系中心运动，其轨道运动速
度约为
250
km/s
，离银河系中心
的距离为
30000
光年。以太阳质量
m
s
为单位，估计一下银河系的总质量
m
g
v
s<
/p>
2
Gm
g
m
s
解：
由于太阳
绕银河系中心做圆周运动，有：
m
s
r
r
2
查表有
：
G
6.67
10
11
m
3
/
kg
s
2
，
m<
/p>
s
1.989
10
30
kg
v
s
2
r
(2.5
10
5
)
2
3
10
4
<
/p>
3
10
8
365
24<
/p>
3600
2.66
10
41
kg
解得：
< br>m
g
11
G
6.67
< br>10
2.66
10
41
所以
1.33
10
11
30
m
s
1.989
10
从
而银河系的质量
m
g
1.33
10
m
s
11
m
g
2.8
、
一质点质量为
m
，
在有心引力
k
作用
下运动。
试问质点的能量
E
及角动量的
大小
L
r
3
分
别为何值时，质点将按轨道
r
ae<
/p>
运动？这里
a
,
b
均为已知常数。
解：
质点受到有心力的作用，故角动量守恒：
mr
L
2
b
bL
1
bL
1
bL
1
bL
1
b
2
L
2
r
< br>
2
3
因
r
ae
，所以
r
bae
br
，
r
2
2
m
r
m
r
m
r
m
r
m
r
b
< br>b
k
b
2
L
2
L
2
mk
2
由牛顿第二定律可知：
F
3
m
(
r
< br>
r
)
m
(
2
3
2
3
)
L
r
m
r
m
r
b
2
< br>
1
若取无穷远处的势能为零
则
V
(
r
)
Fdr
k
k
k
3
dr
3
dr
< br>2
r
r
r
2
r
r
1
k
b
2
1
2
k
k
k
2
2
2
L
< br>
0
机械能守恒：
E
m
(
r
r
)
2
2
2
r<
/p>
2
mr
2
2
r
2
2
r
2
2
r
2
所以只有当
E
0
，
L
mk
b
r
ae
时，质点将按轨道
运动
2
b
1
1
2
kr
的有心力
作用。
初始时质点沿半径为
r
的
2
2.9
、
一质量为
m
的质点受两体谐振势
V
(
r
)
< br>圆轨道运动。
(i)
求出质点
圆轨道运动的速度
v
0
(ii)
如果质点在轨道平面内受到一与速度成
<
/p>
角的大小为
I
mv
0
的冲量作用，求质点在此
后的运
动中离力心的最大和最小距离
(iii)
当
0
和
时，
从物理上对你所得到的结果分别作出解释
解：
(i)
质点受两体谐振势
V
(
r
)
1
2
kr
时，有心力为：
2
v
F
(
r
)
< br>
V
(
r
)
e
r
kre
r
r
I
v
0
v
0
2
k
kr
，解得
v
0
r
质点做圆周运动，故有
m
r
m
(ii)
由题意知，
初始时刻，
t
0
时，
r
，
v
cos(
< br>I
2
2
)
v
0
sin
，
v
2
v
0
cos
2
v
与
v
0
成
/
2
的夹角。
质点受有心力
，施以冲量
I
后，角动量仍然守恒：
m
v
m
2
e
z
mrv
sin(
)
e
z
2
mrv
0
cos
2
e
z
mhe
z
(1)
2
2
2
由极坐标系下的牛二定律知：
k
m
(
< br>
)
m
(
2
h
2
3
)<
/p>
h
2
3
(
h
2
k
d
d
d
d
<
/p>
m
dt
dt<
/p>
d
d
k
)
d
d
m
h
2
k
2
c
<
/p>
2
m
3
积分有：
2
代入初始时刻质点运动的条件有：
h
2
k
2
2
r
c
< br>v
0
2
sin
< br>2
r
m
h
2
k
2
c
v
0
sin
2
r
r
m
2
2
所以有：
k
2
h
2
k
2
1
1
k
2
2
2
v
0<
/p>
sin
2<
/p>
r
h
2
(
2
2
)
(
r
2
2
)
v
0
2
sin
2
m
r<
/p>
m
r
m
2
h
2
把
h
2
rv
0
cos
2
2
，
v
0
< br>
r
k
代入可得：
m
2
< br>
k
1
1
[4
r
4
cos
4
(
2
2
)
(<
/p>
r
2
2
)
r
2
sin
2
]
m
2
r
由高数中求极值的知识可知，只需满足
0
时，
有极值。
当
4
2
k
1
1
[4
r
4
cos
< br>4
(
2
2
)
(
r
2
2
)
r
2
sin
2
]
0
m
2
r
2
< br>4
即
(4
r
cos
4
2
r
2
sin
2
r
2
)
<
/p>
2
4
r
4
cos
4
2
2
0
化简有：
(3
2cos
)
r
求根公式得：
2
(1<
/p>
cos
)<
/p>
2
r
4
0
(3
2cos
)
r
2
(3
2cos
)
2
r
4
4(1
cos
)
2
r
4
2
2
2
(3
2cos
)
r
r
5
4cos
2
2
< br>所以
r
3
2cos
< br>
5
4cos
2
r
3
2cos
< br>
5
4cos
时，质点离力心最远
2<
/p>
显然当
<
/p>
r
3
2cos
5
4cos<
/p>
时，质点离力心最近
2
或者利用机械能守恒和角动量守恒：
1
2
1
2
1
1
mv
kr
m
(
2
2
2
)
< br>
k
2
2
2
2
2
m
v
m
2
e
z
mrv
sin(
)
e
z
2
mrv
0
cos
2
e
z
mhe
z
2
2
2
把
v
2
v
0
cos
2
和
2
2
h
2<
/p>
/
2
代入可得
：
2
<
/p>
k
1
1
[4
r
4
cos
4
(
2
2
)
(
r
2
< br>2
)
r
2
sin
2
]
m
2
r
(iii)
当
0
时，
cos
1
那么
2
r
，
<
/p>
r
又质点的轨道方程为：
< br>2
k
1
1
[4
r
4
cos
4
(
2
2
)
(<
/p>
r
2
2
)
r
2
sin
2
]
m
2
r
2
k
1
1
[4
r
4
c
os
4
(
2
2
)
(
r
2
2
)
r
2
sin
2
]
m
2
r
< br>
k
1
1
[
r
4
(
1
cos
)
2
(
2
<
/p>
2
)
(
r
2
2
)
r
2
sin
2
]
m
r
k
4
r
4
2
(5
r
2
2
)
m
k
4
r
4
2
2
所以当
0
时，质点在
r
到
2
r
的范围内，遵循
运动规律
(5
r
2
)
m
<
/p>
2
当
时，
cos
1
，那么
r
，
0
2
< br>
k
1
1
[4
r
4
cos
4
(
2
2
)
(<
/p>
r
2
2
)
r
2
sin
2
]
m
2
r
k
1
1
[
r
4
(1
cos
)
2
(
2
2
)
(
r
2
2
)
r
2
sin
2
]
m
r
< br>
k
(
r
2
2
)
m