第六讲：等差、等比数列的运用公式大全
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第六讲：等差、等比数列的运用
1.
等差数列的定义与性质
定义：
a
n
1
a
n
d
（
d
为常数），
a
n
a
1
n
1
d
等差中项：
x
，
A
，
y
成等差数列
< br>
2
A
x
y
前
n
项和
S
n<
/p>
a
1
a
n
n
na
2
1
n
< br>n
1
d
2
性质：
a
n
是
等差数列
（
1
）若
m
n
p
q
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
（
2
）数列
a
2
n
< br>
1
,
a
2
n
,
a
2
n
1
仍为等差数列，
< br>S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
S
2
n
……
仍为等差数列，
公差为
n
2
d
；
（
3
）若三个成等差数列，可设为
a
d
，
a
，
a
d
（
4
< br>）若
a
n
，
b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，则
a
m
S
2
m
1
b
m
T
2
m
1
（
5
）
a
n<
/p>
为等差数列
S
n
an
2
bn
（
a<
/p>
，
b
为常数，
是
关于
n
的常数项为
0
< br>的二次函数）
S
n
的最值可求二次函数
S
n
an
2
b
n
的最值；或者求出
a
n
中的正、负分界项，
a
0
即：当
a
1
0
，
d
0
，解不等式组
n<
/p>
可得
S
n
达到最
大值时的
n
值
.
a
n
1
0
a
n
0
当
a
1
< br>
0
，
d
0
，由
可得
S
n
达到最小值时的
n
值
.
a
0
n
1
（
6
）
项数为偶数
2
n
的等差数列
a
n
，
有
S
2
n
n
(
a<
/p>
1
a
2
n
)
n
(
a
2
a
2
n
1
)
n
(
a
n<
/p>
a
n
1
)(
a
n
,
a
n
1
为中间两项
)
S
偶
S
奇
nd
，
S
奇
S
偶
a
n
.
a
n
1
，
有
（
7
）项数为奇数
2
n
1
的等差数列
a
n
S
2
n
1
<
/p>
(
2
n
1
)
a
n
(
a
n
为中间项
)
，
1
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S
奇
奇
S
偶
a
n
，
S
S
< br>
n
偶
n
1
.
2.
等比数列的定义与性质
定义：
a
n
1
a
q
（
q
为常数，
q
0
），
a
n
a
1
q
n
1
n
.
等比中项：
x
、
G
、
y
成等比数列
G
2
xy
，或
G
xy
.
na
1
(
q
前
n
项和
：
S
1)
n
a
1
1
q
n
1
q
< br>(
q
1)
（要注意！）
性质：
a
n
是等比数列
（
1
）若
m
n
p
q
，则
a
m
·
a
< br>n
a
p
·
a
q
（
2
）
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
< br>S
2
n
……
仍为等比数列
,
公比为
q
n
.
注意
：由
S
n
求
a
n
时应注意什么？
n<
/p>
1
时，
a
1
S
1
；
n
2
时，
a
n
S
n
S
n
1
.
3
．求数列通项公式的常用方法
（
1
）求差（商）法
如
：数列
a
1
1
1
n
，
2
a
1
2
2
a
2
……
2
n
a
n
2
n
5
，求
a
n
解
n
1
时，
1<
/p>
2
a
1
2
1
5
，∴
a
1
14
n
2
时，
1
2
a
1
1
1
2
2
a
2
……
2
n
1
a
n
1
2
n
1
5
①—②得：
1
2
n
a
n
1
14
(<
/p>
n
1)
n
2
，∴
a
n
2
，∴
a
n
2
n
< br>1
(
n
2)
［练习］
数列
a
5
n
满足
S
n
S
n
1
3
a
n
1
，
a
1
4
，求
a
n
注意到
a
S
n
1
n
1
S
n
1
S
n
，代
入得
S
4
又
S
1
4
，∴
S
n
是等比数列，
n
；
n
2
时，<
/p>
a
n
S
n
S
n
1
……
3
·
4
< br>n
1
①
②
S
n
n
4
2
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（
2
）叠乘法
如
：数列
a
a
a
1
n
n
中，
1
3
，
n
a
，求
a
n
< br>n
n
1
解
a
2
a
3
a
1
2
n
1
a
·
……
n
·
……
，∴
a
n
1
又
a
3
1
3
，
∴
1
a
2
a
n
<
/p>
1
2
3
n
a
a
n
1
n
n
.
（
3
）等差型递推公式
<
/p>
由
a
n
a
n
1
f
(
n
)
，
a
1
a
0
，求
a
n
，用迭加法
< br>a
2
a
1
f
(2)
n
2
时
，
a
3
a<
/p>
2
f
(3)<
/p>
……
……<
/p>
两边相加得
a
n
a
1
<
/p>
f
(2)
f<
/p>
(3)
……
f
(
n
)
a
n
a
n
1
f
(
< br>n
)
∴
a
n
a
0
f
(2)
f
(3)
……
f
(<
/p>
n
)
（
4
）等比型递推公式
a
n
ca
n
1
d<
/p>
（
c
、
d
为常数，
c
0
，
c
1
，
d
0
）
可转化为等比数列，设
a
n
x
<
/p>
c
a
n
1
x
a
n
ca
n
< br>1
c
1
x
令
(
c
1)
x
d
，∴
x
d
c
1
，∴
a
d
d
n
c
1
是首项为
a
1
c
1
，
c
为公比的等比数列
∴
a
c
1
a
d
<
/p>
n
1
d
n
1
d
n
d
1
c
1
·
c
，∴
a
n
a
1
c
1
c
c
1
（
5
）倒数法
如：
a
a
n<
/p>
1
1
，
a
n
1
2
a
2
，求
a
n
< br>
n
由已知得：
1
a
a
n
< br>
2
a
1
1
，∴
1
1
1<
/p>
n
1
2
n
2
a
n
a
n
1
a
n
2
∴
1
a
为等
差数列，
1
1
，公差为
1
，∴
1
< br>
1
n
1
·
1
1
n
a
2
n
1
，
1
2
a
< br>
n
2
∴
a
2
n
n
1
3