等比数列前n项和的公式
-
等比数列前
n
项和的公式
北京市五十五中
韩亦军
教学目标
1
．掌握求等比数列前
n
项和的公式及其推导
过程，培养学生创造性的思维．
2
．初步掌握公式的应用，培养学生
的解题能力．
教学重点与难点
等比数列前
n
项和公式的推导
教学过程设计
a
n
=a<
/p>
1
q
n
1
，这个公式的推导使用了迭乘法．
-
(
复习一下旧知识，为下面推导出前
n
项和公式作准备，并提供了类比
)
师：今天我们研究已知等比数列的
首项
a
1
，公比
q
，项数
n(
或
n
项
a
n
)
，求它的前
n
项和
< br>S
n
的计算公式．
(
给足够的时间鼓励学生对问题自由思考，积极解决
)
生：能不能像推导等比
数列通项公式的方法，列出一些等式，然后迭乘或迭加？
师：可以试试．
生
a
1
=a
1
，
a
2
=a<
/p>
1
q
，
a
3
=a
2
q
，
„„
a
n
-
1
=a
n
-
2
q
，
a
n
=a
n
< br>-
1
q
．
将上面
n
个等式的等号两边分别相加，得
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋„＋
a
n
-
1
＋
a
n
=a
1
＋
a
1
q
＋
a
2
q
＋„＋
a
n
-
2
q
＋
a
n<
/p>
-
1
q
等号左边就是
S
n
，右边是„„
(
诱导一下
)
师：可将右边适当变形，再观察它
与
S
n
的关系，注意上式对
n
≥
2
时成立．
生：
S
n
=a
1
＋
q(a
1
＋
a
2
＋„＋
a
n
-
2
＋
< br>a
n
-
1
)
师
：
等号右边括号里是数列
{a
n
}
若干项的和，
可以用什么符号来表示？与<
/p>
S
n
的关系
又是
什么？
(
及时点拔，
可加深学生对符号
S
n
的理解，
最后一
个问题也是推导公式的关键一步
)
生：等号右边的括号里就是
S
n
-
1
，上面等式可
以写成
S
n
=a
1<
/p>
＋
qS
n
-
1
=a
1
＋
q(S
n
－
a
n
)
．
以下只需解出
S
n
即可．
(
“方程”在中学代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数
学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
)
师：
(
纠错
)
能否在等号两端同除
(1
－
q)
？
生：应分
q=1
和
q
≠
1
讨论．
(
分类讨论也是重要的数学思想方法
)
师：因为
S
1
=a
1
，所以此式对
n=1
也成立．
(
帮助学生完善证明过程
)
生：当
q=1
时，数列
{a
n
}
为常数列
a
1
，
a
1
，„，
S
n
=na
1
(
及时归纳小结
)
师：我们根据等比数列的定义，用迭加的方法推导出了等比数列｛
a
n
｝的前
n
项和
< br>公式
(
板书
)
如果已
知
a
1
，
n<
/p>
，
q
，则当
q<
/p>
≠
1
时，
S
n
的公式是什么；
(
学生演算、口答，教师板书
)
生：将
a
n
=a
1
q<
/p>
n
-
1
代入，得
生：老师，我还有一种证法．
师：你是如何证明的？
(
学生口述，教师板书．
)
当
q=1
时，
S
n<
/p>
=na
1
．
师：非常好！这位同学围绕等比数
列的基本概念，从等比数列的定义出发，运用等
比定理，导出了公式．
< br>
(
公式虽已导出，还可以再引导学生把思维发散开
)
师：还有没有其他的推导方法？
(
板书
)
S
n
=a
1
＋
a
2
＋„＋
a
n
-
1
＋
a
n
=a
1
＋
a
1
q
< br>＋„＋
a
1
q
< br>n
-
2
＋
a
1
q
n
-
1
．
观察等号右端，若每一项乘以公比
q
，就得到它后面相邻的一项，能否设法消去一
些项？同学们可以
讨论一下．
生：
(
学生口述，教师板书
)
在等号两边
乘以
q
，得
qS
n<
/p>
=a
1
q
＋
a
1
q
2
＋„＋
a
1
q
n
-
1
＋
a
1
q
n
< br>．
将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，
(1<
/p>
－
q)S
n
=a
1
－
a
1
q
n
．
得到前面的求和公式．
师：这种求和方法也很重要，由于设法消去了一些中间项，使
带有省略号的含任意
有限项的式子变成仅含有几项的式子，从而使问题得到解决．
(
用这种方法求和，对培养学生的观察、分析能力是有好处的
)
< br>这种求和方法称为“错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法．
(
板书
)
(
这种求和的思路在解决某些求和问
题时经常用到，应使学生掌握
)
(
以上三
种推导方法，
可以看出利用“发散思维”进行教学，
引导学生从
多条途径，
用多种方法推导公式，从而培养学生的创造性思维
)
师：在
求等比数列
(q
≠
1)
的前
n
项和时，如果已知首项
a
1
，公比
q
以及项数
n
，
师：与等差数列相似．等比数列的
前
n
项和公式
(1)
< br>和
(2)
，及通项公式
a
n
=a
1
q
n
1
，其
中涉及
a
1
，
q
，
n
，
a
n
和
S
n
这五个量，而它们又通过通项公式及前
n
项和的公式联系着
，
因此只要已知其中的任何三个量，即可得到以其余两个量为未知数的方程组，从而可以
求出其余两个量．
-
(
类比的方法是认识事物的重要方法，提示学生在学习过程中，注意
用类比的方法
记忆知识、解决问题
)
师：下面举例说明公式
(1)
、
(2)
的一些应
用．
(
利用投影片投影出例题
)
例
1
口答下列各题：
(3)
请
利用第
(2)
题的数据，自己编题，改求
a
1
或求
q
，并求解．
(
自己拟题能巩固和深化所学的知识
)
生：
(
口答
)
(3)
生
甲：已知：
q=3
，
S
3
=26
．求
a
1
．
生乙：已知：
a
1
=2
，
S
3
=
26
．求
q
．