求一般(非等差,等比)数列通项公式的方法
-
求一般
（非等差
,
等比
）
数列通项公式的方法
湖北省麻城实验高中：
阮
晓
锋
通项公式反映的是数列的第
n
项
a
n
的项值与项序号
n<
/p>
之间联系的“固着关系”
，用函
数的观点
看，它实质为数列这种函数的对应法则。本文将介绍求存在通项公式的一般数列
（非等差
,
等比）的通项公式的方法。
1.
观察
-
归纳
-
（检验）证明的方法：即先通过对数列的前有限项观察归纳，形成
其通
项公式的猜想，再想法去（检验）证明的方法；
2.
利用数列｛
a
n<
/p>
｝的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系求
a
n
<
/p>
S
1
(
n
=1
< br>时）
，
一般的，我们有关系式：
a
n
=
若能合并要合并
，否则就
-
(
n
2
时）
S
n
S
n<
/p>
-1
写成分段函数的形式。
3.
通过迭加等手段求出通项，它又
可分为以下几种具体的方法：
⑴累加法：
即利用恒等式
它是求形如
a
=
a
+(
a
-
a
)+(
a
-
a
)+
L
+(
a
-
a
n
1<
/p>
2
1
3
2
n
n
-1
)
求通项的方法，
a
n
+1
=
a
n<
/p>
+
f
(
n
)
的递推数列通项公式的一般方法（其中
f(
n)
为可求和数列）
⑵累乘法：
即利用恒等式
a
< br>=
a
n
1
a
a
a
a
2
1
3
2
L
a
(
a
a
n
n
-1
n
0)
求通项公式的方法，
它是求形如
< br>a
n
+1
=
g
(
n
)
a
n
的递推数列通项公式的一般方法（其中
g
（
n
）
为可求其前
< br>n
项积的数列）
⑶迭代法：即通过不断地将前项代入后项，以找到规律，进而求得通项公式的方法
4.
通过构造辅助数列或解方程组求出通项
：即通过构造特殊新数列（等差
,
等比数列或
< br>常数列）
，或通过解方程组求得数列的通项公式。
例
1
：设数列｛
a
｝与｛
n
b
｝的通项公式分别为
n
a<
/p>
n
=
2
,
b
n
=3
n
-2
，若将他们的公共
n
项按由小到大的顺序排列成数列｛
解：∵数列｛
c
n
｝
，求
c
n
。
a
< br>n
｝中的项按由小到大的顺序排列为
2,4,8,16,
32,64,128,256,324
，…
< br>｝中的项按由小到大的顺序则排列为
1,4,7,10,13,16,19,22
,25,28
，
而数列｛
b
n
31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67,70,75,78,81
,84,87
，…
∴
c
1
=4,
c
2
=16,
c
3
=64
可发现它们成等比数列，故猜测得<
/p>
c
n
=
4
=
4
经检验知
128
为｛
n
-1
n
a
n
｝与｛
b
n
｝的第
4
个公共项，且所
有
c
n
均为它们的公共项
综上得：
c
n
=
4
。
S
n
（
n
1
）
< br>，
3
4
S
n
n
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项之
和，
a
1
=1
，
例
2
：
若数列
{
a
n
}
中，
且
S<
/p>
n
1
求数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
.
解：递推式
S
n
1
S
n
1
1
<
/p>
3
4
（
1
）
可变形为
S
n
1
S
n
3
4
S
n
< br>1
)
（
2
）
S
n
1
S
n
1
2
3
(
< br>1
2
)
。
S
n
令
1
S
n
1
3
(
比较（
1
）式与（
2
）式的系数可得
2
，则有
故数列
{
1
1
2
}
是以
2
3
为首项，以
< br>3
为公比的等比数列。
S
n
S
1
从而得
1
2
=
3
3
n
1
3
< br>n
。所以
S
=
< br>1
。
n
n
S
n
3
-2
∴当
n
2
，
a
n
S
n
S
n
1
1
1
< br>
2
3
n
n
。∵
a
1
=1
不符合此式
3
2
3
n
1
2
3
2
n
8
3
n
12
1
(
n
1
)
n
2
3
∴数列
{
a
n
}
的通项公式是
< br>a
n
。
(
n
2
)
3
2<
/p>
n
8
3
n
12
例
3
：
根据下面各个数列
{
a
n
}
的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
a
1
=1
,
a
n<
/p>
+1
=
a
n
+2
n
；⑵
a
1
=1,
a
n
+1
=
a
=1
,
a
1
n
1
n
+1
n
1
⑶
=1,
=
+1
a
a
a
a
n
1
< br>n
+1
n
n
+1
2
解：⑴∵
∴
=
a
n
+2
n
∴
a
n
+1
-
a
n
=2
n
2
1
3
2
n
n
-1
a
=
a
+(
a
-
a
)+(
a
-
a
)+
L
+
(
a
-
a
)<
/p>
=1+2
х<
/p>
1+2
х
2+
…
+2
х
(n-1)=1+n(n-1)
=
n
-
n
+1
2
a
n+1
=
n
n
>0<
/p>
从而得
⑵∵
a
1
=1,
a
n
+
1
=
∴
a
n<
/p>
a
n
+1
n
a
n
n
+1
∴
a
2
a
3
L
=
< br>
a
n
a
1
a
a
1
2
a
a
1
2
n
-1
1
=1
L
=
2
3
n
n
n
< br>-1
n