(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
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求数列通项公式常用的七种方法
一、
公
式
法
：
已
知
或
根
< br>据
题
目
的
条
件
能
够
推
出
数
列
a
n
为
等
差
或
等
比
数
列
，
< br>根
据
通
项
公
式
a
n
a
1
n
1
d
或
a
n
a
1
1
< br>q
n
进行求解
.
例
1
：已知
a
n
< br>是一个等差数列，且
a
2
1
,
a
5
5
，求
a
n
的通项公式
.
分析：设数列
a
的公差为
d
，则
a
1
d
<
/p>
1
a
1
3
n
a
1
4
d
5
解得
d
2
a
n
a
1
n
1
d
< br>
2
n
5
二、前
n
项和法：
已知数列
a
n
的前
n
项和
s
n
的解析式，求
a
n
.
例
2
：已知数列
a
n
的前
n<
/p>
项和
s
n
2
n
1
，求通项
a
n
.
分析：当
n
2<
/p>
时，
a
n
n
s
n
s
n
1
=
2
< br>3
2
n
1
3
=
2
n
1
而
a
1
n
1
1
s
1
< br>
1
不适合上式，
a
n
2
n
1
n
2
三、
s
n
与
a
n
的关系式法：
已知数列
< br>
a
n
的前
n
项和
s
n
与通项
a
n
的关系式，求
a
n
.
例
3
：已知
数列
a
n
的前
n
项和
s
n
满足
a
n<
/p>
1
1
3
s
n
，其中
a
1
1
，求
a
n
.
分析：
s
n
3
a
n
1
①
s
n
1
3
a
n
< br>n
2
②
①
-
②
得
a
n
3
a
n
1
3
a
n
4
a
n
3
a
n
1
即
a
n
1
a
4
n
2
又
a
1
1
2
< br>s
1
a
1
不适合上式
n
< br>3
3
3
数列
<
/p>
a
n
从第
2
项起是以
4
3<
/p>
为公比的等比数列
n
< br>
2
n
2
1
n
1
a
4
n
a
2
3
< br>
1
4
3
3
n
2
a
n
1
4
n
< br>2
3
3
n
2
注：
解决这类问题的方法，
用具俗话说就是
“比着葫芦画瓢”
，
由
s
n
与
a
n
的关系式，
类比出
a
n
1
与
s
n
1
的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验
a
1
是否适合用上面的方法求出的通项
.
四、累加法：<
/p>
当数列
a
n<
/p>
中有
a
n
a
n
1
f
n
，即第
n
项与第
n
1
项的差是个有“规律”的数时，就
可以用这种方法
.
例
4
：
a
1
0
,
a
n
1
< br>
a
n
2
n
1
，求通项
a
n
分析：
a
n
1
a
n
2
n
1
a
2
a
1
1
a
3
a
2
< br>
3
a
4
a
3
5
┅
a
n
a
n
1
2
n
3
n
2
以上各式相加得
a
n
a
1
1
3
5
7
2
n
3
< br>
n
1
2
n
2
又
a
2
1
0
，
所以
a
n
n
1
n
2
，
而
a
1<
/p>
0
也适合上式，
a
2
n
n
1
n
N
< br>
五、累乘法：
它与累加法类似
，当数列
a
a
n
n
中有
a
f
n
，即第
n
项与第
n
1
项的商是个有“规
n
1
律”的数时，就可以用这种方法
.
例
5
：
a
n
1
1,
a
n
n
1
a
n
1
n
2,
n
N
求通项
a
n
分析：
Q
a
n
n
n
1
a
a
n
a
n
n
2,
n
N
n
1
n
1
n
1
故
a
2
n
a
1
g
a
a
a
g
a
< br>3
a
g
a
4
g
L
n
1
g
2
g
3
g
4
g
L
g
n
n
n
< br>2,
n
N
1
2
a
3
a
n
<
/p>
1
1
2
3
n
1
而
a
1
1
也适合上式，所以
a
n
n
n
<
/p>
N
六、
构造法
：
㈠、
一次函数法
：
在数列
a
n
中有
a
n
ka
n
1<
/p>
b
（
k
,
b
均为常数且
k<
/p>
0
）
，
从表面形式上来看
a
n
是
关于
a
n
1
的“一次函数”的形式，这时用下面的方法
:
一般化
方法
：设
a
n
m
k
<
/p>
a
n
1
m
则
a
n
ka
n
1
< br>
k
1
m
而
a
n
ka
n
1
b
b
k
1
m
即
m
< br>b
b
k
1
故
a
n
k
1
k
a
b
n
1
< br>
k
1