《等比数列的概念与通项公式》教学设计
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《等比数列的概念与通项公式》教学设计
惠贞书院
陈磊
一、
教学内容解析
等比数列是学生学习了等差数列后的一个特殊而又重要数列
,
是数列整个
章节的重要组成部分
.
等比数列与实际生活有密切的联系
,
如细胞分裂、银行贷
款问题等都可以用等比数列的知识来解决
,
在这个过程中可让学生体验数学的
实用性
,
激发他们的学习兴趣
.
通过对等比数列的学习
,
既是对等差
数列学习的
一种巩固和提高
,
也为学
习等比数列前
n
项和奠定基础
.
而且在研究等比数列的
过程中
,
学生可以体验类比思想、特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想
等
,
这些都可以提升他们分析问题解决问题的能力
,
提升他们的学科素养
.
二、
教学目标设置
1.
< br>知识与技能：
理解等比数列的定义
,
掌握等比数列的通项公式及推导过程
.
2.
过程与方法：在教学过程中
,
让学生观察、动手体验知识发生发展的过程
,
增强学生在学习过程中的互相合作
,
提高他们分析、类比猜想、归纳、证明的能
力
.
3.
情感态度与价值观：以国学经典
作为导入
,
激发学生学习数学的兴趣与爱
国主义热情
,
培养学生勇于探索敢于创新的精神
,
养成细心观察、认真分析、善
于总结的良好思维习惯
.
教学重点
:
等比数列的定义及通项公式
.
教学难点
:
等比数列通项公式的推导过程
.
三、学生学情分析
学生在学习等比数
列前已经完成了对函数知识的学习和以及等差数列有关
知识的学习
,
但对于孙子算经里的问题还有些陌生
,
不能用已学的等差数列来表
示
.
本课由此入手
,
引发学生的认知冲突
,
产生求知的欲望
.
而研究等比数列的
过程中学生可以类比等差数列的定义和性质去研究等比数列
,
又是符合他们
“
跳
一跳
,
摘得到
”
的最近发展区
.
另外
,
高一学生正处于从初中到高中的过渡阶段
,
是他们从形象思维过渡到抽象思维的关键时期
.
因此
,
本堂课的教学设计一方面
要遵循从特殊到一般的认知规律
,
让学生学会观察、
分析问题
,
并尝试自主解决；
第
1
页
另一方面也重视逻辑推理、归纳概括能力的培养
,
为后续的学习打下坚实的基
础
.
四、教学策略分析
等比数列与等差数列较为类似
,
可以利用类比的方式来学习等比数列
.
如由
等差数列的通项公式类比到等比数列的通项公式
,
由累加法类比到累乘法等
.
在
这个过程中需要学生经历从类比猜想到逻辑证明
,
从特殊到一般
,
从形象思维到
抽象思维的过程
,
培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力
.
而在证明等
比数列的过程中
,
让学生回归课本定义
,
训练学生逻辑思维的严密性和深刻性
,
提升他们的思维能力和数学学科的核心素养
.
五、教学过程
（一）创设情境
,
提出问题
（
1
）
《孙子算经》中有这样一个问题：出门见九堤
,
每堤有九木
,
每木有九
巢
,
每巢有九鸟
,
每鸟有九雏
,
每雏有九毛
,
问共有几堤
,
几木
,
几巢
,
几鸟
,
几
雏
,
几毛
,
几色？
可以构成怎样的数列？
解答：
9,9
2
,9
3
,9
4
,9
5
,9
6
,9
7
（
2
）如下图为
谢宾斯基三角形
,
着色的小三角形个数一次构成一个数列的<
/p>
前
5
项
,
依此规律
,
第
6
幅图有多少个小三角形？可以得到怎样的数列？如果假
设第
一幅图中三角形的面积为
1,
则图中每幅图中黑色面积又可以
构成怎样的数
列？
解答：第
6
幅图有
3
5
个小三角形
,
数列为
1,3
1
,3
2
,3
3
,3
4
,
……
3
3
3
3
面积构成的数列为
1,(
)
1
,(
)
2
,(
)
3
,(
)
4
,
……
4
< br>4
4
4
设计意图：
以国学经典作为引入
,
可以让学生们从数学的角度
去重新认识国
学经典
,
激起学生学习
兴趣和爱国热情；
谢宾斯基三角形在数列的递推公式中已
经碰到
过
,
但未点出是等比数列
,
在这里介绍引入起到很好的前后呼应作用
.
（二）自主探究
,
引入概念
探究：
上面的三个数列有什么共同点？
第
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页
引入
等比数列的概念
:
一般地
,
如果一个数列
,
从第二项起
,
每
一项与它的前
一项的比都等于同一常数
,
那么这个数列叫做等比数列
.
这个常数叫做等比数列
的公比
,
通常用字母
q
来表示
(
q
≠0)
.
即
类比引入
等比中项的定义
:
等差中项
等比中项
a
n
q
(
n<
/p>
2)
a
n
1
如果
a, A, b
成等差数列
,
那么
A
叫做
a
如果
a
, G,
b
成等比数列
,
那么
G
叫做
a
与
b
的等差中项
.
即
2A=
a
+b
与
b
的
等比中项
.
即
G
2
=
a
·
b
(
a·
b
>0)
设计意图
:
在学生对等比数列有初步
了解的基础上
,
通过具体例子
,
经历从特
殊到一般的过程
,
加深对概念的理解
,
培养学生辨证思维能力
.
（三）深入探究
,
合作学习
例
1.
判断下列数列是否为等比数列
?
若是
,
找出公比
;
不是
,
请说明理由．
(1) 1, 4, 16, 32
．
(2) 0, 2, 4, 6, 8.
(3) 1,
－
10,100,
－
1000,10000
．
(4)
3, 3, 3, 3, 3.
(5)
a, a, a, a, a
.
请以四人小组为单位
,
合作讨论
,
并派代表发言
.
解答：
(1)
不是；
(2)
不是；
(3)
是
,
公比是
-10
；
(4)
是
,
公比是
1
；
(5)
当
a
0
时不是等比数列；当
a
0
时是等比数列
,
公比是
1.
<
/p>
设计意图：
前
4
个数列重在考察等比数列的定义
,
其中第
4
个又为第
5
个做
了铺垫
,
让学生养成分类讨论的好习惯
,
让学生自主思考公比能否为
0.
练习
1
：
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
且
S
n
2
n
,
试判断
{
a
n
}
是否为等比数
列
.
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页