数列公式汇总
-
人教版数学必修五
第二章
数列
重难点解析
第二章
课文目录
2
．
1
数列的概念与简单表示法
2
．
2
等差数列
2
．
3
等差
数列的前
n
项和
2
．
4
等比数列
2
．
5
等比
数列前
n
项和
【重点】
1
、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2
、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3
、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公
式、性质的理解与应用。
4
、等差数
列
n
项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公
式。
5
、等比数列的定义及通项公式
，等比中项的理解与应用。
6
、等比
数列的前
n
项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式
和前
n
项和公式
【难点】
1
、根据数列的前
n
项观察、归纳数列
的一个通项公式。
2
、理解递推公式与通项公式的关系。
3
、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些
相关问题。
4
、灵活应用等差数列前
n
项公式解决一些简单的有关问题。
5
、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解
决相关问题。
6
、灵活应用等比数列
定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、
数列的概念与简单表示法
⒈
数列的定义
：按一定次序排列的一列数叫做
数列
.
注意
：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次
序不同，那么
它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现
.
⒉
数列的项
：数列中的每一个数都叫做这个数列的
项
.
< br>各项依次叫做这个数列的第
1
项（或首项）
，第
2
项，…，第
n
项，…
.
⒊数列的一般形式
：
a
1
,
a
2
,
a
3
,
,
a
n<
/p>
,
，或简记为
a
n
，其
中
a
n
是数列的第
n
项
⒋
数列的通项公式
：如果数列
a
n
的第
n
项
a
n
与
n
之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式
就叫做这个数列的通项公式
.
注意<
/p>
：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：
1
，
0
，
1
，
0
，
1
，
0
，…它的通项公式可以是
1
(
1
)
n
1
n
1
a
n
|
.
，也可以是
a
n
< br>
|
cos
2
< br>2
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一
项
.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第
项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通
项公式反映了一个数列项与项
数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可
求出数列的每一
项．
5.
数列与函数的关系：
*
数列可以看成以正整数集
N
（或它的有限子集
{1
，
2
，
3
，…，
n}
）为定义域的函数
a
n
f
(
n
)
，当
自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
1
反过来，对于
函数
y=f(x)
,
如果
f(i)
（
i=1
、
2
、
3
、
4
…）有意义，那么我们可以得到一个数列
f(1
)
、
f(2)
、
f(3)
、
f(4)
…，
f(n)
，…
6
．数列的分类：
1
）根据数列项数的多少分：
有穷数列
：项数有限的数列
.
例如数列
1
，
2
，
3
，
4
< br>，
5
，
6
。是
有穷数列
无穷数列
：项数无限的数列
.
例如数列
1
，
2
，
3
，
4
，
5<
/p>
，
6
…是
无穷数
列
2
）根据数列项的大小分：
递增数列：从第
2
项起，每一项都不小于它的前
一项的数列。
递减数列：从第
2
项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数
列：从第
2
项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一
项的数列
7
．数列的表示方法
（
1
）通项公式法
如果数列
a
n
的第
n
项与序号之
间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的
通项公式。
如数列
的通项公式为
的通项公式为
；
；
的通项公式为
；
（
2
）图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数
为横坐标，相应的项
标，即以
为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
为纵坐
为例，做出一个
数列的图象）
，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，
而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以
直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（<
/p>
3
）递推公式法
如果已知数列
a
n
的第
1
项（或前几项）
，且任一项
a
n
与
它的前一项
a
n
1
（或前
n
项）间的关系可
以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
递推公式为：
a
1
3
,
a
2<
/p>
5
,
a
n
a
n
1
a
n
2
(
3
n
8
)
4
、列表法
．简记为
．
典型例题：
例
1
：
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17,
33,
……；
(2)
4<
/p>
2
6
8
10
,
,
,
,
,
……；
3
15
35
63
99
(3) 0, 1, 0, 1, 0,
1,
……；
(4) 1, 3, 3, 5, 5,
7, 7, 9, 9,
……；
(5) 2,
－
6, 12,
－
20, 30,
－
42,
……
.
2
2
n
1
(
1
)
n
解：
(1)
a
n
＝
2n
＋
1
；
(2)
a
< br>n
＝
；
(3)
a
n
＝
；
< br>
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
(4)
将数列变形为
1
＋
0, 2
＋
1,
3
＋
0,
4
＋
1,
5
＋
0,
6
＋
1,
7
＋
0,
8
＋
1,
……
,
∴
a
n
＝
；
(5)
将数列变形为
1
×
2,
－
2
×
3,
3
×
4,
－
4
×
5,
5
×
6,
……，
∴
a
n
＝
a
1
1
例
2
：
设数列
a
n
满足
写出这个数列的前五项。
1
< br>a
1
(
n
1).
n
a
n
1
解：
二、等差数列
1
．等差数列
：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个
常数，这个数列就
叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“
d
”表示）
。
⑴．公差
d
一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对
于数列
{
a
n
},
若
a
n
－
a
n
1
=d
(
与
n
无关的数或字母
)
，
n
≥
2
，
n
∈
N
，则此
数列是等差数列，
d
为公差。
2
．等差数列的通项公式：
a
n
a
1
< br>
(
n
1
)
d
【或
a
n
a
m<
/p>
(
n
m
)
d
】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得
若一等差数列
a
n
< br>
的首项是
a
1
，公差是
d
，则据
其定义可得
：
a
2
<
/p>
a
1
d
即：
a
2
a
1
d
a
3
< br>a
2
d
即：
a
3
a
2
d
<
/p>
a
1
2
d
a
4
a
3
d
即：
a
4
< br>
a
3
d
a
1
3
d
……
由此归纳等差数列的通项公式可
得：
a
n
a
1
(
n
1
)
d
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和公差
d
，
便可求得其通项
a
n
。
由上述关系还可得：
a
m<
/p>
a
1
(
m
1
)
d
即：
a
1
a
< br>m
(
m
1
)
d
则：
a
n
<
/p>
a
1
(
n
1
)
d
=
a
m
(
m
1
)
d
(
n
1
)<
/p>
d
a
m
(
n
m
)
d
即等差数列的第二通项公式
a
n
a
m<
/p>
(
n
m
)
d
∴
d=
3
．
有几种方法可以计算公差
d
a
m
a
n
m
n
a
a
m
a
n
a
1
③
d
=
n
<
/p>
n
m
n
1
4
．结论：
（性质）
在等差数列中，若
m+n=p+q
，则，
a
m
a
n
a
p
a
q
①
d=
a
n
－
a
n
1
②
d
=
即
m+n=p+q
a
m
a
n
a
p
a
q
(m, n, p, q
∈
N )
但通常
①由
a
m
a
n<
/p>
a
p
a
q
推不出
m+n=p+q
，②
a
m
a
n
a
m
< br>
n
典型例题：
例
1
：
⑴求等差数列
8
，
5
，
2
…的第
20
项
3
⑵
-
401
是不是等差数列
-5
，
-9
，
-13
…的项？
如果是，是第几项？
解：
例<
/p>
3
：
求等差数列
3
，
7
，
11
，……的第
4
项与第
< br>10
项
.
例
5
：
100
是不是
等差数列
2
，
9
，
16
，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由
.
<
/p>
例
6
：
－
20
是不是等差数列
0
，－
3
1
2
，－
7
，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由<
/p>
.
例
8
：
在等差数列
{
a
n
}
中，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7,
求
a
3
,
a
9
.
三、等
差数列的前
n
项和
< br>1
．等差数列的前
n
项和公式<
/p>
1
：
S
a
n
)
n
n
(
a
1
2
证明：
S
n
a
1
<
/p>
a
2
a
3
a
n
1
a
n
①
< br>S
n
a
n
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
②
①
+
②：
2
S
n
(
a
1
a
n
)
(
a
2
a
n
1
)
(
a<
/p>
3
a
n
2
)
(
a
n
a
n
)
∵
a
1
a
< br>n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
∴
2
S
a
1
a
n
)
n
n
(
a
1
a
n
)
< br>
由此得：
S
n
n
(
2
< br>
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2
．
等差数
列的前
n
项和公式
2
< br>：
S
(
n
1
)
d
n
na
1
<
/p>
n
2
用上述公式要求
S
n
< br>必须具备三个条件：
n
,
a
1
,
a
n
但
a
n
a
1
(
n
1
)
d
< br>代入公式
1
即得：
S
n
(
n
1
)
d
n
na
1
2
此公式要求
< br>S
n
必须已知三个条件：
n
,
a
1
,
d
（有时比较有用）
对等差数列的前
n
项和公式
2
：
S
n
(
n
1
)
d
n
na
1
2
可
化成式子：
S
d
n
2
n
2
(
a
d<
/p>
1
2
)
n
，当
d
≠
0
，是一个常数项为零的二次式
4
3
．
由
S
n
的定义可知，当
n=1
时，
S
1
=
a
1
；当
n
≥
2
时，
a
n
=
S
n<
/p>
-
S
n
1
，
即
a
1
(
n
1
)
n
=
S
S
S
2
)<
/p>
.
n
n
1
(
n
4
．
对等差数列前项和的最值问题有两种方法
:
（
1
）
利用
a
n
:
当
a
n
>0<
/p>
，
d<0
，前
n
项和有最大值
可由
a
< br>n
≥
0
，且
a
n
1
≤
0
，求得
n
的值
当
a
n
<0
，
d>0
，前
n
项和有最小值
可由
a
n
≤
0
< br>，且
a
n
1
≥
0
，求得
n
的值
（
2
）
利用
S
n
：
由
S
d
2
n
2
(
a
d
n
1
2
)
n
利用二次函数配方法求得最值时
n
的值
典型例题：
例
2
：
等差数列－
10
，－
6
，－
2
，
2
，·······前
9<
/p>
项的和多少？
解：
例<
/p>
3
：
等差数列前
10
项的和为
140
，其中，项数为奇
数的各项的和为
125
，求其第
6
项．
解
例
6
：
已知等差数列
{a
n
}
中，
S
3
=21
，
S
6
=64
，求数列｛
|a
n
|
｝的前
n
项和
T
n
．
例
7
：
在等差数列
{a
n
}
中，已知
a
6
＋
a
9
＋
a
12
＋
a
15
＝
34
，求前
20
项之和．
例
8
：
已知等差数列
{a
n
}
的公差是正数，且
a
3
·
a
7
=
－
12
，
< br>a
4
＋
a
6
=
－
4
，
求它的前
20
项的和
S
20
的值．
例
9
：
等差数列
{a
n
}
、
{b<
/p>
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，若
<
/p>
S
n
2
n
a
100
T
3
n
1
，则
b
等于
[ ]
n
100
A
．
1
B
．
2
3
C
．
199
299
D
．
200
301
5